对于非平稳时间序列yt，假定经过d次差分之后可
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达为一个自回归移动平均过程， 偏自相关函数 时间序列的偏自相关函数是它的自相关函数的一个函数，在决定一个AR模型的阶p的时候，偏自相关函数是一个有力的工具。 设时间序列 ，一个简单而有效的介绍偏自相关函数的方式是考虑如下的一串AR模型： 。。。。。。。。。 其中 是 的系数， 是AR( )模型的误差项。由于这些模型都是多元回归的形式，因此可以用最小二乘法来对它们的系数作估计，即选择系数 使得 达到极小。 定义 使得残差的方差达到极小的 阶自回归模型的第 项系数 称为时间序列 间隔为 的偏自相关函数。 注： 1、偏自相关函数与自相关函数有密切的联系，即由下列的Yule-Wolker方程： 将残差的方差 改写为 则有 由 ，得 将矩阵展开得 各等式两端同除以 ，则有 2、利用Yule-Wolker方程，我们可以得到偏自相关函数的计算公式： ， ， 。。。。。。 ， ， 。。。。。。由此可以看出，偏自相关函数是自相关函数的函数。 对于 ，显然由第一个方程式即得 。 对 ，由方程 利用克莱姆法则得 对 ，由方程 利用克莱姆法则得 3、偏自相关函数 所表示的是：在AR(1)模型 的基础上添加的 对 的贡献；偏自相关函数 所表示的是：在AR(2)模型 的基础上添加的 对 的贡献；一般地，偏自相关函数 所表示的是：在AR( )模型 的基础上添加的 对 的贡献。换言之， 所表示的是在AR( )模型的基础上添加的 时 与 的相关关系，而不是完全的 与 的相关关系，因而被称为偏自相关函数。 4、对于一个AR(p)模型来说，间隔为 的偏自相关函数应当不等于零，而大于 阶的偏自相关函数应当为零，即有 且对所有的 ， 。 5、如果用样本自相关函数 代替Yule-Wolker 方程中自相关函数 ，则所得到的 称为样本偏自相关函数， 即 ， 例4 已知AR(2)模型为 ，其中 是均值为0方差为0.5的白噪声序列，写出该模型的Yule-Walker方程，并求出其自相关函数 和 ，偏自相关函数。 由于 ， ，并且 ，所以该模型的Yule-Walker方程为： 由此解得自相关函数 ， 。偏自相关函数为 ， 。
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