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首页 复变函数论(钟玉泉 编 第二版)

复变函数论(钟玉泉 编 第二版).pdf

复变函数论(钟玉泉 编 第二版)

shuxue
2010-02-13 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《复变函数论(钟玉泉 编 第二版)pdf》,可适用于人文社科领域

高等学校教材复变函数论(第二版)钟玉泉编高等教育出版社郑重声明高等教育出版社依法对本书享有专有出版权。任何未经许可的复制、销售行为均违反《中华人民共和国著作权法》,其行为人将承担相应的民事责任和行政责任,构成犯罪的,将被依法追究刑事责任。为了维护市场秩序,保护读者的合法权益,避免读者误用盗版书造成不良后果,我社将配合行政执法部门和司法机关对违法犯罪的单位和个人给予严厉打击。社会各界人士如发现上述侵权行为,希望及时举报,本社将奖励举报有功人员。反盗版举报电话:()转()传真:()Email:ddhepcomcn通信地址:N北京市西城区德外大街号高等教育出版社法律事务部邮编:购书请拨打读者服务部电话:()图书在版编目(CIP)数据复变函数论钟玉泉编版北京:高等教育出版社,(重印)ISBNⅠ复⋯Ⅱ钟⋯Ⅲ复变函数论Ⅳ中国版本图书馆CIP数据核字()第号出版发行高等教育出版社购书热线社址北京市西城区德外大街号免费咨询邮政编码网址http:wwwhepeducn总机http:wwwhepcomcn经销新华书店北京发行所排版高等教育出版社照排中心印刷开本×版次年月第版印张印次年月第次印刷字数定价元本书如有缺页、倒页、脱页等质量问题,请到所购图书销售部门联系调换。版权所有侵权必究第二版序本书自年出版以来已重印了八次,采用它作教材的学校,除一些综合大学、师范院校外,还有一些理工院校的应用数学专业、计算专业、师资班和研究生班等。许多教师和读者来信表示关切和鼓励,并对书中存在的不妥和错误之处予以指正,在此特向他们表示感谢。这次修订着眼于进一步提高质量,更加适应多数学校的教学需要,保留第一版阐述细致,便于自学的特点,对已经发现的错误和不妥之处,予以改正。除此之外,第二版与第一版的主要区别可概括如下:将第二章§解析函数与调和函数的关系后移至第三章,这样既可相对减轻第二章因讨论多值函数所引起的内容偏重,又可避免提前引用第三章中“解析函数的无穷可微性”。将保形变换这一章的前四节编成第七章列在解析开拓之前,把剩下的第节对称原理及多角形区域的保形变换纳入解析开拓这一章,避免了原来将对称原理切成两段,分属两章。将席瓦尔兹引理从第八章提前到第五章,放在可去奇点之后,这样既可使它与第四章末的最大模原理靠近,又可让读者早些熟悉、掌握函数论中这两个重要的有关联的定理。含点∞的区域上的柯西积分定理与柯西积分公式,原在第三章习题中,现后移至第五章习题中。因为这时已介绍了函数在点∞解析的意义,读者就可以借助函数在点∞去心邻域内的罗朗展式简捷地证明它们。为了第九章解单位圆内狄利克莱问题的需要,这一版在第·Ⅰ·三章§末添了一小段柯西型积分,并加上*号。另外,由于综合大学数学专业复变函数教学大纲中列有单值性定理,这次也补写了一段,列入解析开拓这一章。出于教学方法上的考虑,以这几年的教学实践为基础,我改写了第二章初等多值函数以及第六章应用多值函数的积分,目的在于使读者更加易于接受,使多值函数这一教学难点能有所突破。至于其他改写之处,各章都有,就不在这里一一道及了。考虑到不同层次的学校与不同程度的学生在学习上的多种需要,我以这几年的教学实践为基础,对原有习题作了些调整之后将其编入各章习题(一)另外,又适当慎选了一些较难的习题及与之相应的例题。新添的题目,将其编入各章习题(二)。经多次试用,它们虽较难些,但仍是紧扣教材的,有助于培养与增强学生的能力,学生可以根据自己的情况适当选做。根据综合大学数学专业复变函数教学大纲,在这一版中,将解析函数对平面场的应用及多角形区域的保形变换公式这些节都加上*号,并对第一版中排小字的内容全都改排大字,除柯西积分定理的古莎证明外,其余改排大字的部分都加上*号。其他院校和其他专业,在使用本教材时,可根据各自的教学大纲决定取舍。这一版删去了第一版中的附录,整函数与亚纯函数近代理论简介,因为国内已有这方面的专著出版了。①根据我的教学实践,教师使用本教材不必全讲,只需按教学大纲要求控制各章讲授学时和讲授内容,讲清楚基本理论、基本方法、重点和难点,其余还需要学生掌握的内容和例题就指定留给学生自学。这对于开发学生智力,培养学生能力是大有裨益·Ⅱ·①杨乐著,值分布论及其新研究,科学出版社,。庄圻泰著,亚纯函数的奇异方向,科学出版社,。张广厚著,整函数和亚纯函数理论,科学出版社,。的。加*号的内容,自修的读者可以先不读它。编者年元旦·Ⅲ·第一版序本书是根据年理科数学教材会议上制订的复变函数教材编写大纲,在历年主讲该课使用的自编讲义基础上改编成的。全书系统地介绍了单复变函数的基本理论和基本方法。考虑到复变函数论是数学专业的一门重要基础课,又是数学分析的后继课,在编写本书时,注意了下列几点:对与数学分析中平行的概念,如极限、连续、微分等,既指出其相似之处,更强调其不同之点,以免初学者疏忽。对复变函数论中的基本定理和重要定理,如柯西积分定理和关于本性奇点的维尔斯特拉斯定理等,从叙述、证明到推广,均注意了科学性和严密性。这不仅反映了复变函数理论本身的系统性和严谨性,同时也可借以锻炼读者思考问题和逻辑推理的能力。对多值解析函数这个教学上的难点,为使读者较易接受,本书把它分散在第二章、第六章及第七章内。并在第二章内,把求根式函数nz的单值解析分支的方法写得较细,这样做或许能使读者举一反三。对解析函数在流体力学、机翼理论及电学等方面的应用,本书作了简明的介绍。藉以使读者了解复变函数论方法在解决实际问题上的重要性。配备了大量的例题和习题,习题大都附有答案或提示,以供教师选用,也便于读者自学。因限于篇幅或工具知识而不能给出证明的定理,大都指出参考资料。用小字排印的部分,对初学者可不作要求。附录中简单介绍了我国青年数学家杨乐、张广厚的出色工作,·Ⅳ·以适应有些缺乏这方面资料的读者的要求。使用本书作教材,大体可按、、、、、、、、的顺序来分配各章讲授学时。如讲授学时少于学时,教师可斟酌删去一些次要及较深部分的内容。例如,可删去克利斯脱弗席瓦尔兹公式及最末一章等。本书由武汉大学路见可教授主审。武汉大学、北京大学、南开大学、吉林大学、南京大学、上海师范大学、西南师范学院、四川师范学院、四川大学的同志参加了审查。他们提出了许多宝贵的意见,在此表示衷心感谢。特别是路见可教授不惮其烦,为编者复审修改了全部稿件,使原稿得到了很大改进,编者对他的这种负责精神表示敬佩和学习。本书初稿曾经四川大学蒲保明教授和周纪溥、张茂孝两同志审阅,也在此一并致谢。但限于编者水平,谬误之处仍然难免,敬请读者提出来批评指正。编者于四川大学数学系·Ⅴ·目录引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第一h章复数与复变函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯§复数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h复数域()复平面()复数的模与辐角()复数的乘幂与方根()共轭复数()复数在几何上的应用举例()§复平面上的点集⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯平面点集的几个基本概念()区域与约当曲线()§复变函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯复变函数的概念()复变函数的极限与连续性()§复球面与无穷远点⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯复球面()扩充复平面上的几个概念()第一章习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第二章解析函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯§解析函数的概念与柯西黎曼条件⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h复变函数的导数与微分()解析函数及其简单性质()柯西黎曼条件()§初等解析函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯指数函数()三角函数与双曲函数()§初等多值函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h根式函数()对数函数()一般幂函数与一般指数函数()具有多个有限支点的情形()反三角函数与反双曲函数()第二章习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯·Ⅰ·第三章复变函数的积分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯§复积分的概念及其简单性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h复变函数积分的定义()复变函数积分的计算问题()复变函数积分的基本性质()§柯西积分定理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h柯西积分定理()柯西积分定理的古莎证明()不定积分()柯西积分定理的推广()柯西积分定理推广到复围线的情形()§柯西积分公式及其推论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h柯西积分公式()解析函数的无穷可微性()柯西不等式与刘维尔定理()摩勒拉定理()*柯西型积分()§解析函数与调和函数的关系⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯*§平面向量场解析函数的应用(一)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h流量与环量()无源、漏的无旋流动()复势()第三章习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第四章解析函数的幂级数表示法⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯§复级数的基本性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h复数项级数()一致收敛的复函数项级数()解析函数项级数()§幂级数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h幂级数的敛散性()收敛半径R的求法、柯西阿达玛公式()幂级数和的解析性()§解析函数的泰勒展式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h泰勒定理()幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况()一些初等函数的泰勒展式()§解析函数零点的孤立性及唯一性定理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h解析函数零点的孤立性()唯一性定理()最大模原理()·Ⅱ·第四章习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯§解析函数的罗朗展式⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h双边幂级数()解析函数的罗朗展式()罗朗级数与泰勒级数的关系()解析函数在孤立奇点邻域内的罗朗展式()§解析函数的孤立奇点⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h孤立奇点的三种类型()可去奇点()席瓦尔兹引理()极点()本性奇点()毕卡定理()§解析函数在无穷远点的性质⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯§整函数与亚纯函数的概念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h整函数()亚纯函数()*§平面向量场解析函数的应用(二)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h奇点的流体力学意义()在电场中的应用举例()第五章习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第六章残数理论及其应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯§残数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h残数的定义及残数定理()残数的求法()函数在无穷远点的残数()§用残数定理计算实积分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h计算∫πR(cosθ,sinθ)dθ型积分()计算∫∞∞P(x)Q(x)dx型积分()计算∫∞∞P(x)Q(x)eimxdx型积分()计算积分路径上有奇点的积分()杂例()应用多值函数的积分()§辐角原理及其应用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h对数残数()辐角原理()儒歇定理()·Ⅲ·第六章习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第七章保形变换⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯§解析变换的特性⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h解析变换的保域性()解析变换的保角性导数的几何意义()单叶解析变换的保形性()§线性变换⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h线性变换及其分解()线性变换的保形性()线性变换的保交比性()线性变换的保圆周(圆)性()线性变换的保对称点性()线性变换的应用()§某些初等函数所构成的保形变换⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h幂函数与根式函数()指数函数与对数函数()由圆弧构成的两角形区域的保形变换()*机翼剖面函数及其反函数所构成的保形变换()儒可夫斯基函数的单叶性区域()§关于保形变换的黎曼存在定理和边界对应定理⋯⋯⋯h黎曼存在定理()边界对应定理()第七章习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第八章解析开拓⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯§解析开拓的概念与幂级数开拓⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h解析开拓的概念()解析开拓的幂级数方法()§透弧解析开拓、对称原理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h透弧直接解析开拓()黎曼席瓦尔兹对称原理()§完全解析函数及黎曼面的概念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h完全解析函数()单值性定理()黎曼面概念()*§多角形区域的保形变换⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h克利斯托弗席瓦尔兹公式()退化情形()广义多角形举例()第八章习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第九章调和函数⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯·Ⅳ·§平均值定理与极值原理⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h平均值定理()极值原理()§波阿松积分公式与狄利克莱问题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯h波阿松积分公式()狄利克莱问题()单位圆内狄利克莱问题的解()上半平面内狄利克莱问题的解()第九章习题⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯·Ⅴ·引言我们知道,在解实系数一元二次方程axbxc=(a≠)时,如果判别式bac<,就会遇到负数开平方的问题最简单的一个例子,是在解方程x=时,就会遇到开平方的问题十六世纪中叶,意大利卡尔丹(Cardan,)在解三次方程时,首先产生了负数开平方的思想他把看作与的乘积,然而这只不过是一种纯形式的表示而已当时,谁也说不上这样表示究竟有什么好处为了使负数开平方有意义,也就是要使上述这类方程有解,我们需要再一次扩大数系,于是,就引进了虚数,使实数域扩大到复数域但最初,由于对复数的有关概念及性质了解得不清楚,用它们进行计算又得到一些矛盾,因而,长期以来,人们把复数看作不能接受的“虚数”直到十七世纪和十八世纪,随着微积分的发明与发展,情况才逐渐有了改变另外的原因,是由于这个时期复数有了几何的解释,并把它与平面向量对应起来解决实际问题的缘故关于复数理论最系统的叙述,是由瑞士数学家欧拉(Euler)作出的他在年系统地建立了复数理论,发现了复指数函数和三角函数间的关系,创立了复变函数论的一些基本定理,并开始把它们用到水力学和地图制图学上用符号“i”作为虚数的单位,也是他首创的此后,复数才被人们广泛承认和使用··在复数域内考虑问题往往比较方便例如,一元n次方程axnaxn⋯anxan=(a≠),其中系数a、a、⋯、an都是复数,在复数域内恒有解这就是著名的代数学基本定理,它用复变函数理论来证明,是非常简洁的又如,在实数域内负数的对数无意义,而在复数域内,我们就可以定义负数的对数在十九世纪,复变函数的理论经过法国数学家柯西(Cauchy)、德国数学家黎曼(Riemann)和维尔斯特拉斯(Weierstrass)的巨大努力,已经形成了非常系统的理论,并且深刻地渗入到代数学、解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支同时,它在热力学、流体力学和电学等方面也有很多的应用二十世纪以来,复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面,与数学中其它分支的联系也日益密切致使经典的复变函数理论,如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等有了新的发展和应用并且,还开辟了一些新的分支,如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论和拟保形变换等另外,在种种抽象空间的理论中,复变函数还常常为我们提供新思想的模型复变函数研究的中心对象是所谓解析函数,因此,复变函数论又称为解析函数论,简称函数论复变函数是我国数学工作者从事研究最早也最有成效的数学分支之一我国老一辈的数学家在单复变函数及多复变函数方面做过许多重要的工作,不少成果均已达到当时的国际水平而今,在他们的热忱帮助下,我国许多中青年数学工作者,正在健康成长,不少人已在数学的各个领域中做出了许多优异的成绩··第一章复数与复变函数复变函数就是自变量为复数的函数我们研究的主要对象,是在某种意义下可导的复变函数,通常称为解析函数为建立这种解析函数的理论基础,在这一章中,我们首先引入复数域与复平面的概念其次引入复平面上的点集、区域、约当曲线以及复变函数的极限与连续等概念§复数复数域形如z=xiy或z=xyi的数,称为复数,其中x和y是任意的实数,i合于i=,称为恳虚单位实数x和y分别称为复数z的恳实部和恳虚部,常记为:x=Rez,y=Imz复数z=xiy及z=xiy相等,是指它们的实部与实部相等,虚部与虚部相等,即xiy=xiy必须且只须x=x,y=y虚部为零的复数就可看作实数,即xi·=x因此,全体实数是全体复数的一部分特别,i·=虚部不为零的复数称为呸虚数实部为零且虚部不为零的复数称为茋纯虚数复数xiy和xiy称为互为共轭复数,即xiy是xiy的共轭复数,或xiy是xiy的共轭复数复数z的共轭复数··常记为珔z于是xiy=xiy对于这样定义的复数我们必须规定其运算方法由于实数是复数的特例,规定复数运算的一个基本要求是:复数运算的法则施行于实数特例时,能够和实数运算的结果相符合,同时也要求复数运算能够满足实数运算的一般定律复数的加(减)法可按实部与实部相加(减),虚部与虚部相加(减)即复数z=xiy,z=xiy相加(减)的法则是:z±z=(x±x)i(y±y),结果仍是复数我们称复数zz是复数z与z的和,称复数zz是复数z与z的奸差复数的加法遵守剑交换律与剑结合律,而且减法是加法的逆运算,这些都很容易验证两个复数z=xiy及z=xiy相乘,可按多项式乘法法则进行,只需将结果中的i换成,即zz=(xxyy)i(xyyx),结果仍是复数,我们称它为z与z的积也易验证,复数的乘法遵守列交换律与列结合律,且遵守列乘法对于贉加法的分配律两个复数z=xiy及z=xiy相除(除数≠)时,可先把它写成分式的形式,然后分子分母同乘以分母的共轭复数,再进行简化,即zz=xxyyxyiyxxyxy(z≠),结果仍是复数,我们称它为z与z的苬商这里除法是乘法的逆运算全体复数并引进上述运算后就称为复数域在复数域内,我们熟知的一切代数恒等式,如象··ab=(ab)(ab),ab=(ab)(aabb)等等,仍然成立实数域和复数域都是代数学中所研究的“域”的实例和实数域不同的是,在复数域中不能规定复数的大小事实上,若有像实数那样的大小关系由于非零实数的平方大于零,而i≠,则应有i>,即>,这是不可能的复平面一个复数z=xiy本质上由一对有序实数(x,y)唯一确定于是能够建立平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系换句话说,我们可以借助于横坐标为x、纵坐标为y的点来表示复数z=xiy(图)由于x轴上的点对应着实数,故x轴称为姬实轴y轴上的非原点的点对应着纯虚数,故y轴称为組虚轴这样表示复数z的平面称为襟复平面襟或z平面图图引进了复平面之后,我们在“数”和“点”之间建立了联系以后在研究复变函数时,常可借助于几何直观,还可采用几何术语这也为复变函数应用于实际提供了条件,丰富了复变函数论的内容为了方便起见,今后我们不再区分“数”和“点”、“数集”和“点集”,说到“点”可以指它所代表的“数”,说到“数”也可以指这个数代表的“点”例如,我们常说“点i”,“顶点为z,z,z的三角形”··等等在复平面上,从原点到点z=xiy所引的向量与这个复数z也构成一一对应关系(复数对应着零向量),这种对应关系使复数的加(减)法与向量的加(减)法之间保持一致例如,设z=xiy,z=xiy,则zz=(xx)i(yy)由图可以看出,zz所对应的向量,就是z所对应的向量与z所对应的向量的和向量又如,将粊zz表成z(z),可以看出,zz所对应的向量就是z所对应的向量与(z)所对应的向量的和向量,煎也就是从z到z的向量(图)图图例考虑一条江面上的水在某时刻的流动假定在江面上取好一坐标系xOy,我们把江面上任意一点P的速度v的两个分量记为vx与vy,则我们可以把速度向量v写成复数(图)v=vxivy人们经过长期的摸索与研究发现,对于很多的平面问题(如流体力学与弹性力学中的平面问题等)来说,用复数及复变函数作工具是十分有效的,这正是由于复数可以表示平面向量的缘故复数的模与辐角表示复数z的位置,也可以借助于点z··的极坐标r和θ来确定(图)上面我们用向量Oz→来表示复数z=xiy,其中x,y顺次等于Oz→沿x轴与y轴的分量向量Oz→的长度称为复数z的穜模或穜绝对值,以符号|z|或r表示,因而有r=|z|=xy≥,且|z|=的充要条件是z=这里引进的模的概念与对于实数的绝对值的概念是一致的由于复数z的模|z|是非负实数,所以能够比较大小根据图,我们有不等式|x|≤|z|,|y|≤|z|,|z|≤|x||y|()根据图,我们有不等式|zz|≤|z||z|,()(三角形两边之和大于第三边)它称为聚三角不等式此外,根据图,我们还有不等式||z||z||≤|zz|()(三角形两边之差小于第三边)()及()中等号成立的几何意义是:复数z、z所表示的两个向量共线且同向由图可见,洛|zz|表示点z与点z的距离,记为d(z,z)=|zz|二复数差的模的这个几何意义是非常重要的它还可以借助解析几何中两点间的距离公式用解析方法得出:|zz|=|(xiy)(xiy)|=(xx)(yy)实轴正向到非零复数z=xiy所对应的向量Oz→间的夹角θ合于··tgθ=yx,称为复数z的辐角(Argument),记为θ=Argz我们知道,任一非零复数z有无穷多个辐角,今笅以argz表其中的一个特定值,并称合条件π<argz≤π()的一个为Argz的簘主值,或称之为z的簘主辐角于是θ=Argz=argzkπ()(k=,±,±,⋯)注意当z=时,辐角无意义当argz(z≠)表z的主辐角时,它与反正切Arctgyx的主值arctgyx有如下关系(图,图):argz=(z≠)arctgyx(x>),π(x=,y>),arctgyxπ(x<,y≥),arctgyxπ(x<,y<),π(x=,y<)其中π<arctgyx<π例求Arg(i)及Arg(i)解Arg(i)a=arg(i)kπ··图图=arctgkπ=πkπ(k=,±,±,⋯)Arg(i)=arg(i)kπ=arctgπkπ=(k)πarctg(k=,±,±,⋯)例已知流体在某点M的速度v=i,求其大小和方向解大小:|v|=方向:argv=arctgπ=π从直角坐标与极坐标的关系,我们可以用复数的模与辐角来表示非零复数z,即(由图)z=r(cosθisinθ)()特别,当r=时有z=cosθisinθ,··这种复数称为单位复数我们引出熟知的妒欧拉公式(参看本书第二章§):eiθ=cosθisinθ,()并且容易验证eiθeiθ=ei(θθ),eiθeiθ=ei(θθ),()利用公式(),就可以把()改写成z=reiθ()我们分别称()及()式为非零复数z的三角形式和指数形式并称z=xiy为复数z的矫代数形式复数的这三种表示法,可以互相转换,以适应讨论不同问题时的需要,且使用起来各有其便例i=cosπisinπ=eπii=·cosπisinπ=eπi=·(cosisin)=e·i=(cosπisinπ)=eπii=cosπisinπ=eπi例将复数cosφisinφ(<φ≤π)化为指数形式解原式=sinφisinφcosφ··=sinφsinφicosφ=sinφcosπφisinπφ=sinφeπφi利用复数的指数形式作乘除法较简单因由()可立得zz=reiθreiθ=rrei(θθ),zz=reiθreiθ=rrei(θθ),()所以|zz|=|z||z|,zz=|z||z|(z≠),()Arg(zz)=ArgzArgz,Argzz=ArgzArgz()公式()的第一式说明,zz所对应的向量是把z所对应的向量伸缩r=|z|倍,然后再旋转一个角度θ=argz得到的(图)特别是,当|z|=时,只需旋转一个角度θ=argz就行了这就是说,以单位复数乘任何数,几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度特别,iz相当于将z所对应的向量Oz→沿反时针方向旋转图π注在复平面上,一直线绕其上一定点旋转,可有两种旋转方向,一种是“逆时针”的,一种是“顺时针”的按惯例,我们规定逆时针方向旋转的角度为正,顺时针方向旋转的角度为负··上面关于辐角的两个等式,两边各是无穷多个数(角度)的数集例如,设()第一个等式右边Argz=πnπn=,±,⋯,Argz=πmπm=,±,⋯,则左边Argzz=πkπk=,±,⋯,()的第一个等式意味着,在等式左边取出一个数值(相当于取定一个k值),等式右边也可以相应地分别找出m与n的值,使得右边的和数等于左边之值反过来,也对注意公式()的Argz可以换成argz,但argz应理解为辐角的某个特定值,不必是主值若均理解为主值,则两端允许相差π的整倍数即有argzz=argzargzkπ,argzz=argzargzkπ,()′其中k、k各表某个适当整数,argz表主值例对于复数α、β,若αβ=,则α、β至少有一为零试证之证若αβ=,则必|αβ|=,因而|α||β|=由实数域中的对应结果知|α|、|β|至少有一为零所以α、β至少有一为零复数的乘幂与方根作为乘积的特例,我们考虑非零复数z的正整数次幂zn,它是n个相同因子的乘积设z=reiθ,则zn=rneinθ=rn(cosnθisinnθ),··当r=时,则得德摩弗(DeMoivre)公式(cosθisinθ)n=cosnθisinnθ求非零复数z的n次方根,相当于解二项方程wn=z(n≥,整数)()今记其根的总体为nz,下面我们来求它们设z=reiθ,w=ρeiφ,则()变形为ρneinφ=reiθ,从而得两个方程ρn=r,nφ=θkπ,解出得ρ=nr(取算术根),φ=θkπn,因此z的絗n次方根为wk#=(nz)k=nreiθkπn=eikπn·nreiθn()这里k表面上可以取,±,±,⋯,但实际上只要取k=,,⋯,n就可得出()的总共n个不同的根所以记号nz与记号(nz)k(k=,,,⋯,n)是一致的现在,我们将()表为wk=(nz)k=eikπn·w,其中w=nreiθn为了在复数平面上表示nz的不同值wk,可由w依次绕原点旋转πn,·πn,·πn,⋯,但当k取到n时,又与w重合了故非零复数z的n次方根共有n个,它们沿中心在原点、半径为nr(取算术根)的圆周均匀地分布着,即它们是内接于该圆周的正n角形的n个顶点(图是n=的情形)··图例求cosθ及sinθ用cosθ与sinθ表示的式子解由德摩弗公式cosθisinθc=(cosθisinθ)=cosθicosθsinθcosθsinθisinθ,因此cosθ=cosθcosθsinθ,=cosθcosθ,及sinθ!=cosθsinθsinθ=sinθsinθ例计算解因=(cosπisinπ),故()k=cosπkπisinπkπ(k=,,)当k=时,()v=cosπisinπ=i=i当k=时,()=(cosπisinπ)=当k=时,()v=cosπisinπ=cosπisinπ=i注在实数域内,规定的三次方根为,即规定==这时就只取上述三值之一的实值()··共轭复数设z=xiy,则z的共轭复数为珔z=xi显然|珔z|=|z|,Arg珔z=Argz()这表明在复平面上,z与珔z两点对于实轴是对称点我们也容易验证下列公式:()(珔z)=z,z±z=珔z±珔z()zz=珔z珔z,zz=珔z珔z(z≠)()|z|=z珔z,Rez=z珔z,Imz=z珔zi()设R(a,b,c,⋯)表示对于复数a,b,c,⋯的任一有理运算则R(a,b,c,⋯)=R(a,b,c,⋯)熟练、灵活地运用这些简单公式,对化简计算、解答问题都会带来方便例求复数w=zz(复数z≠)的实部、虚部和模解()因为w=zz=(z)(珔z)(z)(z)=z珔zz珔z|z|=|z|iImz|z|,所以Rew=|z||z|,Imw=Imz|z|()因为··|w|=w珡w=zz·珔zz=z珔zz珔z|z|=|z|Rez|z|,所以|w|=|z|Rez|z|例设z及z是两个复数,试证|zz|=|z||z|Re(z珔z),并应用此等式证明三角不等式()证|zz|>=(zz)(zz)=(zz)(珔z珔z)=z珔zz珔zz珔z珔zz=|z||z|z珔zz珔z=|z||z|Re(z珔z)其次,由所证等式以及Re(z珔z)≤|z珔z|=|z||z|就可导出三角不等式()例若|a|<,|b|<,试证ab珔ab<证两端平方,比较ab珔ab与的大小,即比较|ab|与|珔ab|的大小由上例可知|ab|=|a||b|Re(珔ab),|珔ab|=|a||b|Re(珔ab),则I=|珔ab||ab|=|a||b||a||b|··=(|a|)(|b|)由假设|a|<,|b|<,则I>,故得证图复数在几何上的应用举例下面我们举例说明两方面的问题:怎样用复数所适合的方程(或不等式)来刻划适合某种几何条件的平面图形怎样从复数所适合的方程(或不等式)来确定平面图形的特征()曲线的复数方程例连接z及z两点的线段的参数方程为z=zt(zz)(≤t≤)过z及z两点的直线(图)的参数方程为z=zt(zz)(∞<t<∞)由此可知,三点z、z、z共线的充要条件为zzzz=t(t为一非零实数)例z平面上以原点为心,R为半径的圆周的方程为|z|=Rz平面上以z≠为心,R为半径的圆周的方程为|zz|=R(图)z平面上实轴的方程为Imz=虚轴的方程为Rez=注由本章习题(一)、、可见,直线和圆周等平面曲线皆可用多种形式给出其方程··图()应用复数证明几何问题例求证:三个复数z,z,z成为一等边三角形三顶点的充要条件,是它们适合等式zzz=zzzzzz证△zzz是等边三角形的充要条件为:向量zz→绕z旋转π或π即得向量zz→也就是zz=(zz)e±πi即zzzz=±i,即zzzz=±i,两端平方化简,即得zzz=zzzzzz例证明三角形的内角和等于π证设三角形的三个顶点分别为z,z,z对应的三个顶角分别为α,β,γ于是··图α=argzzzz,β=argzzzz,γ=argzzzz由于zzzz·zzzz·zzzz=,根据公式()′,argzzzzargzzzzargzzzz=arg()kπ=πkπ(k为某个整数)由假设<α<π,<β<π,<γ<π,所以<αβγ<π,故必k=,因而αβγ=π(图)§复平面上的点集我们在上节中提到过的复平面上的线段、直线和圆周等都是复平面上的点集今后,我们的研究对象解析函数,其定义域和值域都是复平面上的某个点集平面点集的几个基本概念定义由不等式|zz|<ρ所确定的脙平面点集(以后平面点集均简称点集),就是以z为心,以ρ为半径的圆,称为点z娘的ρ邻域,常记为Nρ(z)定义考虑点集E若平面上一点z(不必属于E)的任意邻域都有E的无穷多个点,则称z为E的芢聚点或芢极限点若z属于E,但非E的聚点,则称z为E的孤立点若z不属于E,又非E的聚点,则称z为E的侨外点··定义若点集E的每个聚点皆属于E,则称E为闭集若点集E的点z有一邻域全含于E内,则称z为E的肚内点若点集E的点皆为内点,则称E为穣开集若在点z的任意邻域内,同时有属于点集E和不属于E的点,则称z为E的边界点点集E的全部边界点所组成的点集称为E的篙边界点集E的边界常记成E点集E的孤立点必是E的边界点定义若有正数M,对于点集E内的点z皆合|z|≤M,即若E全含于一圆之内,则称E为籾有界集,否则称E为籾无界集区域与约当(Jordan)曲线复变函数论的基础几何概念之一是区域的概念定义具备下列性质的非空点集D称为綃区域:()D为开集()D中任意两点可用全在D中的折线连接(图)定义区域D加上它的边界C称为縸闭域,记为D=DC图注意区域都是开的,不包含它的边界点例试证:点集E的边界E是闭集*证设z为E的聚点取z的任意ε邻域Nε(z),则存在z(≠z)使得Nε(z)∈z∈E在Nε(z)内能画出以z为心,充分小半径的圆这时由z∈E可见,在此圆内属于E的点和不属于E的点都存在于是,在Nε(z)内属于E的点和不属于E的点都存在故z∈E因此E是闭

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