中值定理与导数的应用微分习题及答案

第一章 函数、极限与连续 第三章 中值定理与导数的应用 (A) 1．在下列四个函数中,在 上满足罗尔定理条件的函数是( ) A． B． C． D． 2．函数 满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A． B． C． D． 3．方程 在 内根的个数是 ( ) A．没有实根 B．有且仅有一个实根 C．有两个相异的实根 D．有五个实根 4．若对任意 ，有 ，则 ( ) A．对任意 ，有 B．存在 ，使 C．对任意 ，有 ( 是某个常数) D．对任意 ，有 ( 是任意常数) 5．函数 在 上有 ( ) A．四个极值点； B．三个极值点 C．二个极值点 D． 一个极值点 6．函数 的极大值是 ( ) A．17 B．11 C．10 D．9 7．设 在闭区间 上连续，在开区间 上可导，且 ， ，则必有 ( ) A． B． C． D． 8．若函数 在 上连续，在 可导，则 ( ) A．存在 ，有 B．存在 ，有 C．存在 ，有 D．存在 ，有 9．若 ，则方程 ( ) A．无实根 B．有唯一的实根 C．有三个实根 D．有重实根 10．求极限 时，下列各种解法正确的是 ( ) A．用洛必塔法则后，求得极限为0 B．因为 不存在，所以上述极限不存在 C．原式 D．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在 11．设函数 ，在 ( ) A． 单调增加 B． 单调减少 C． 单调增加，其余区间单调减少 D． 单调减少，其余区间单调增加 12．曲线 ( ) A．有一个拐点 B．有二个拐点 C．有三个拐点 D． 无拐点 13．指出曲线 的渐近线 ( ) A．没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B． 为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C．即有垂直渐近线，又有水平渐近线 D． 只有水平渐近线 14．函数 在区间 上最小值为 ( ) A． B．0 C．1 D．无最小值 15．求 16．求 17．求 18．求 19．求 20．求函数 的单调区间。 21．求函数 的极值。 22．若 ，证明 / 23．设 ，证明 。 24．求函数 的单调区间与极值。 25．当 为何值时， 在 处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值。 26．求内接于椭圆 ，而面积最大的矩形的边长。 27．函数 的系数满足什么关系时，这个函数没有极值。 28．试证 的拐点在曲线 上。 29．试证明曲线 有三个拐点位于同一直线上。 30．试决定 中的 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。 (B) 1．函数 ，则 ( ) A．在任意闭区间 上罗尔定理一定成立 B．在 上罗尔定理不成立 C．在 上罗尔定理成立 D． 在任意闭区间上，罗尔定理都不成立 2．下列函数中在 上满足拉格朗日定理条件的是( ) A． B． C． D． 3．若 为可导函数， 为开区间 内一定点，而且有 ， ，则在闭区间 上必有 ( ) A． B． C． D． 4．若 在开区间 内可导，且对 内任意两点 ， 恒有 则必有( ) A． B． C． D． (常数) 5．设 为未定型，则 存在是 也存在的 ( ) A．必要条件 B．充分条件 C．充分必要条件 D． 既非充分也非必要条件 6．已知 在 上连续，在 内可导，且当 时，有 ，又已知 ，则 ( ) A． 在 上单调增加，且 B． 在 上单调减少，且 C． 在 上单调增加，且 D． 在 上单调增加，但 正负号无法确定 7．函数 的图形，在 ( ) A． 处处是凸的 B． 处处是凹的 C． 为凸的，在 为凹的 D． 为凹的，在 为凸的 8．若在区间 内，函数 的一阶导数 ，二阶导数 ，则函数 在此区间内是( ) A．单调减少，曲线上凹 B．单调增加，曲线上凹 C．单调减少，曲线下凹 D．单调增加，曲线下凹 9．曲线 ( ) A．有极值点 ，但无拐点 B．有拐点 ，但无极值点 C． 有极值点且 是拐点 D． 既无极值点，又无拐点 10．设函数 在 的某个邻域内连续，且 为其极大值，则存在 ，当 时，必有( ) A． B． C． D． 11．抛物线 在顶点处的曲率及曲率半径为多少？正确的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 是 ( ) A．顶点 处的曲率为 ，曲率半径为2 B．顶点 处的曲率为2，曲率半径为 C．顶点 处的曲率为1，曲率半径为1 D．顶点 处的曲率为 ，曲率半径为2 12．设函数 在 处有 ，在 处 不存在，则 ( ) A． 及 一定都是极值点 B．只有 是极值点 C． 与 都可能不是极值点 D． 与 至少有一个点是极值点 13．求极限 。 14．求 15．求 16．试证当 时， 取得极值。 17．求由 轴上的一个给定点 到抛物线 上的点的最短距离。 18．设 在 上可导，且 ，对于任何 ，都有 ，试证：在 内，有且仅有一个数 ，使 。 19．设 在 上具有二阶导数 ，且 ，如果 ，证明至少存在一点 ，使 。 20．设 在 上连续，在 内二阶可导且 ，且存在点 ，使得 ，试证至少存在一点 ，使得 。 (C) 1．函数 它在 内 ( ) A．不满足拉格朗日中值定理的条件 B．满足拉格朗日中值定理的条件，且 C．满足中值定理条件，但无法求出 的表达式 D．不满足中值定理条件，但有 满足中值定理结论 2．若 在区间 上二次可微，且 ， ， ( )，则方程 在 上 ( ) A．没有实根 B．有重实根 C．有无穷多个实根 D． 有且仅有一个实根 3．设 有二阶连续导数，且 ， 则 ( ) A． 是 的极大值 B． 是 的极小值 C． 是曲线 的拐点 D． 不是 的极值， 也不是曲线 的拐点 4．求 5．求 6．设函数 二次可微，有 ， ，证明函数 ， 是单调增函数。 7．研究函数 的极值。 8．若 在 上有二阶导数 ，且 ，试证在 内至少存在一点 ，满足 。 9．设 在 上具有二阶导数，且 ， ，证明：存在一点 使 。 10．设 是一向上凸的连续曲线，其上任意一点 处的曲率为 ，且此曲线上点 处的切线方程为 ，求该曲线方程，并求函数 的极值。 第三章 中值定理与导数的应用 (A) 1．在下列四个函数中,在 上满足罗尔定理条件的函数是( B ) A． B． C． D． 2．函数 满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( C ) A． B． C． D． 3．方程 在 内根的个数是 ( B ) A．没有实根 B．有且仅有一个实根 C．有两个相异的实根 D．有五个实根 4．若对任意 ，有 ，则 ( D ) A．对任意 ，有 B．存在 ，使 C．对任意 ，有 ( 是某个常数) D．对任意 ，有 ( 是任意常数) 5．函数 在 上有 ( C ) A．四个极值点； B．三个极值点 C．二个极值点 D． 一个极值点 6．函数 的极大值是 ( A ) A．17 B．11 C．10 D．9 7．设 在闭区间 上连续，在开区间 上可导，且 ， ，则必有 ( C ) A． B． C． D． 8．若函数 在 上连续，在 可导，则 ( B ) A．存在 ，有 B．存在 ，有 C．存在 ，有 D．存在 ，有 9．若 ，则方程 ( B ) A．无实根 B．有唯一的实根 C．有三个实根 D．有重实根 10．求极限 时，下列各种解法正确的是 ( C ) A．用洛必塔法则后，求得极限为0 B．因为 不存在，所以上述极限不存在 C．原式 D．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在 11．设函数 ，在 ( C ) A． 单调增加 B． 单调减少 C． 单调增加，其余区间单调减少 D． 单调减少，其余区间单调增加 12．曲线 ( D ) A．有一个拐点 B．有二个拐点 C．有三个拐点 D． 无拐点 13．指出曲线 的渐近线 ( C ) A．没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B． 为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C．即有垂直渐近线，又有水平渐近线 D． 只有水平渐近线 14．函数 在区间 上最小值为 ( D ) A． B．0 C．1 D．无最小值 15．求 解：原式 16．求 解：原式 17．求 解：原式 18．求 解：令 ，则 ∵ ∴原式 19．求 解：令 ，则 故原式 令 ，则 ∵ ∴原式 20．求函数 的单调区间。 解： 当 时， ， 当 时， 当 时， 故 在 及 单增，在 单减。 21．求函数 的极值。 解： 令 得 当 时， ，从而 单减 当 时， ，从而 单增 故 时， 取极小值0 22．若 ，证明 证明：令 ，则 当 时， ，从而 在 单增 因为 ，故 ，即 23．设 ，证明 。 证明： 10：令 ，则 因 ，则 ，从而 在 单减。 故 ，即 20：令 ，则 当 时， ，从而 在 单减 故 ，即 由100、20知， 24．求函数 的单调区间与极值。 解： 令 ，得 或 故可疑极值点1， 1 - + - 极小值0 极大值 25．当 为何值时， 在 处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值。 解： 由于 在 处有极值，则 ，从而 当 时， ，从而 单增 当 时， ，从而 单减 故 在 处取得极大值。 26．求内接于椭圆 ，而面积最大的矩形的边长。 解：设矩形在第一象限的顶点坐标为 ，则 故矩形面积为 当 时， 取最大值 ， 矩形边长分别为 和 。 27．函数 的系数满足什么关系时，这个函数没有极值。 解： ，因 ，则 是开口向上的抛物线 要使 没有极值，则必须使 在 是单增或单减 即必须满足 或 故只有 时，才能使 成立 即 时， 没有极值。 28．试证 的拐点在曲线 上。 证： ， 设 是 的拐点，则 即 ∵ ∴ 的拐点在曲线 上。 29．试证明曲线 有三个拐点位于同一直线上。 证： ， 令 得： ， ， ∴ ， ， 故三个拐点 ， ， 容易验证： 、 、 在同一直线上。 30．试决定 中的 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。 解： ， 令 ，得 或-1 则拐点为 及 10．在拐点 处切线斜率为 从而在拐点 处法线斜率为 ，这样法线方程为 ，因法线过原点，所以 20．在拐点 处切线斜率为 ，这样法线方程为 ，因法线过原点，所以 。 故 时，曲线的拐点处的法线通过原点。 (B) 1．函数 ，则 ( C ) A．在任意闭区间 上罗尔定理一定成立 B．在 上罗尔定理不成立 C．在 上罗尔定理成立 D． 在任意闭区间上，罗尔定理都不成立 2．下列函数中在 上满足拉格朗日定理条件的是( B ) A． B． C． D． 3．若 为可导函数， 为开区间 内一定点，而且有 ， ，则在闭区间 上必有 ( D ) A． B． C． D． 4．若 在开区间 内可导，且对 内任意两点 ， 恒有 则必有( D ) A． B． C． D． (常数) 5．设 为未定型，则 存在是 也存在的 ( B ) A．必要条件 B．充分条件 C．充分必要条件 D． 既非充分也非必要条件 6．已知 在 上连续，在 内可导，且当 时，有 ，又已知 ，则 ( D ) A． 在 上单调增加，且 B． 在 上单调减少，且 C． 在 上单调增加，且 D． 在 上单调增加，但 正负号无法确定 7．函数 的图形，在 ( B ) A． 处处是凸的 B． 处处是凹的 C． 为凸的，在 为凹的 D． 为凹的，在 为凸的 8．若在区间 内，函数 的一阶导数 ，二阶导数 ，则函数 在此区间内是( D ) A．单调减少，曲线上凹 B．单调增加，曲线上凹 C．单调减少，曲线下凹 D．单调增加，曲线下凹 9．曲线 ( D ) A．有极值点 ，但无拐点 B．有拐点 ，但无极值点 C． 有极值点且 是拐点 D． 既无极值点，又无拐点 10．设函数 在 的某个邻域内连续，且 为其极大值，则存在 ，当 时，必有( C ) A． B． C． D． 11．抛物线 在顶点处的曲率及曲率半径为多少？正确的答案是 ( B ) A．顶点 处的曲率为 ，曲率半径为2 B．顶点 处的曲率为2，曲率半径为 C．顶点 处的曲率为1，曲率半径为1 D．顶点 处的曲率为 ，曲率半径为2 12．设函数 在 处有 ，在 处 不存在，则 ( C ) A． 及 一定都是极值点 B．只有 是极值点 C． 与 都可能不是极值点 D． 与 至少有一个点是极值点 13．求极限 。 解：令 ，则 ∵ ∴原式 14．求 解：原式 15．求 解：令 ，则 在 上连续，在 可导，故由拉格朗日定理知，存在一点 ，使 当 时，则 故原式 16．试证当 时， 取得极值。 证： 故 时， 有解 当 时， ，从而 单增 当 时， ，则 单减 当 时， ，则 单增 故 在 处取得极大值 在 处取得极小值 17．求由 轴上的一个给定点 到抛物线 上的点的最短距离。 解：设 是抛物线上任一点，则 到 的距离为 从而 令 ，得 或 10．当 时，只有一个驻点 当 时， ，从而 单减 当 时， ，从而 单增 故 是 的极小值点，极小值为 2．当 时，有三个驻点 ， ， 当 时， ，从而 单减 当 时， ，从而 单增 当 时， ，从而 单减 当 时， ，从而 单增 故 是极小点，极小值为 18．设 在 上可导，且 ，对于任何 ，都有 ，试证：在 内，有且仅有一个数 ，使 。 证：令 ，因为 在 上连续，且 ， ，则由零点存在定理在 内至少存在一点 ，使 ，即 。 下证唯一性。设在 内存在两个点 与 ，且 ，使 ， ，在 上运用拉格朗日中值定理，则有 ，使得 这与题设 矛盾，故只有一个 使 。 19．设 在 上具有二阶导数 ，且 ，如果 ，证明至少存在一点 ，使 。 证明：由题设知 在 上满足洛尔定理条件，则至少存在一点 ，使得 。 因为 ，则由题设知 在 上连续，在 内可导，且 ，故 在 上满足洛尔定理条件，则至少存在一点 ，使 ， 20．设 在 上连续，在 内二阶可导且 ，且存在点 ，使得 ，试证至少存在一点 ，使得 。 证： 在 及 上都满足拉格朗日定理条件，则存在 ， ，使得 因为 ，则 ， 因 在 内二阶可导，则 在 上满足拉格朗日定理条件，故至少存在一点 ，使 。 (C) 1．函数 它在 内 ( B ) A．不满足拉格朗日中值定理的条件 B．满足拉格朗日中值定理的条件，且 C．满足中值定理条件，但无法求出 的表达式 D．不满足中值定理条件，但有 满足中值定理结论 2．若 在区间 上二次可微，且 ， ， ( )，则方程 在 上 ( D ) A．没有实根 B．有重实根 C．有无穷多个实根 D． 有且仅有一个实根 3．设 有二阶连续导数，且 ， 则 ( C ) A． 是 的极大值 B． 是 的极小值 C． 是曲线 的拐点 D． 不是 的极值， 也不是曲线 的拐点 4．求 解：令 ，则 ，从而 故原式 5．求 解：令 ，则 故原式 6．设函数 二次可微，有 ， ，证明函数 ， 是单调增函数。 证：当 时， 连续 由于 故 因为 所以 在 处连续，故 在 上连续。 令 ，则 当 时， ， 单增，从而 当 时， ， 单减，从而 故 时， ，从而 因为 ，则 ，从而 有 ， 故 是单调增函数 7．研究函数 的极值。 解：10．当 时， ，从而 令 得 当 时， ，则 单增 当 时， ，则 单减 故 是 的极大值点，极大值为 20．当 时， ，从而 说明 单增，故 是极小值点，极小值为0 30．当 时， ，从而 说明 单减，故 是极大值点，极大值为1 8．若 在 上有二阶导数 ，且 ，试证在 内至少存在一点 ，满足 。 证：由泰勒展式 ，有 ， ， 令 ，得 于是 令  ，则 故结论成立。 9．设 在 上具有二阶导数，且 ， ，证明：存在一点 使 。 证：设 是 的最小值点，因为 在 上具有二阶导数，由题设知 ， ， 故 在 处的泰展式为 ， 在 与 之间 即 1．若 ，则 即 2．若 ，则 即 故存在一点 ，使 。 10．设 是一向上凸的连续曲线，其上任意一点 处的曲率为 ，且此曲线上点 处的切线方程为 ，求该曲线方程，并求函数 的极值。 解：因曲线上 处的曲率为 ，由题意 因曲线向上凸，则 ，故 令 ，则 ，从而 解之， 从而 因曲线在点 处的切线为 ，其斜率为1 则 ，即 故 因 在曲线上，则 即 故 令 得： ， ， ， 当 ，及 时， 当 ，及 时， 由于 的定义域 ， 故 在 及 处取得极大值