2015考研数学《线性代数》知识点归纳与总结

www.kaoshidian.com 1 线性代数知识点归纳 【1.01】矩阵基本运算 设 11 12 1 21 22 2 1 1 ( ) n n i j m n m m mn a a a a a aA a a a a                  则   11 21 1 12 22 2T 1 2 n n ji n m m m nm a a a a a aA a a a a                  1 2 1 2( ) ( ) ( )i j m n i j m n i j i j m nk a k b k a k b     1 ( ) ( ) s i j m s i j s n i k k j k m n a b a b         它们有如下运算律： (1) 交换律: ,A B B A k A A k    ( )A B B A 一 般 (2) 结合律：( ) ( )A B C A B C     ( ) ( ),k l A k l A ( ) ( )AB C A BC (3) 分配律： ( ) , ( )k A B kA kB k l A kA lA      ( ) , ( )CA B CA CB A BC AC BC      (4) 转置T： T T T T T T( ) , ( )A B A B AB B A    T T 1 T T 1( ) , ( ) ( )A A A A   www.163kaoyan.com www.kaoshidian.com 2 【1.02】分块矩阵的运算 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算基本一样，只是要求相应的块元素之间也能进 行运算。如对对角分块矩阵（记作daig（•）），有： 1 2 1 2[diag( , , , )] diag( , , , )m m m mk kA A A A A A  T T T T 1 2 1 2[diag( , , , )] diag( , , , )k kA A A A A A  1 2 1 2| diag( , , , ) | | | | | | |k kA A A A A A   1 2 1 2[diag( , , , )] ( ) ( ) ( )k kR A A A R A R A R A    1 1 1 1 1 2 1 2[diag( , , , )] diag( , , , )k kA A A A A A     【1.03】特殊矩阵 (1) 零矩阵： 0, 0 , 0 0, 0 0A A A A A A      0 0 ( )A A 一般 (2) 单位阵： , , kAE A EA A E E   (3) 乘方幂： , ( )k l k l k l klA A A A A   , 0 1, ( )k kA E A A   (4) 对称阵： T ( )A A 对称矩阵 T ( )A A  反对称矩阵 www.kaoshidian.com 3 【1.04】伴随矩阵相关知识 设 11 12 1 21 22 2 1 1 ( ) n n i j n n n n nn a a a a a aA a a a a                  ( 1)i ji j i jD M 其中 i j i jM a为 的余子式 则定义其伴随矩阵 11 21 1 * 12 22 2 1 2 adj n n n n nn D D D D D DA A D D D                 伴随矩阵有如下关系： * * | | ,AA A A A E  * 1| | ,A A A * 1| | | |nA A  * 1 ,| | AA A   * 1( ) ,| | AA A   T * * T 1 * * 1( ) ( ) , ( ) ( ) ,A A A A   * , ( ) , ( ) 1, ( ) 1, 0, ( ) 1. n R A n R A R A n R A n      【1.05】行列式计算( )A n是 方 | | | 0 | | |A k A 行列 按行列展生更多的 的值 2 2 2| , , , | | , , , | | , , , |  n n n            T| | | |,A A | | | | | |,AB A B | | | |nA A  1 1| | | | ,A A  | | | | ,k kA A 11 22 11 22 0 0 0 | | | | | |nn nn A A A A A A            1 1 2 1 ( , , , ) | ( ) | ( )in n j n n j i i j n V x x x x x x       范德蒙行列式 【1.06】矩阵的秩( ( ) , ( ) )R A r A n 列 方法： 0( )rA B行变换 个非 行行阶梯 ( ) ( )R A R B B r  则 的非零行数 www.163kaoyan.com www.kaoshidian.com 4 结论： ( ) ( ) ( , ( ) )R A R B B R B行列 梯形或 易知 T( ) ( )R A R A ( ) ( ) ( ) ( , )R PA R AQ R A P Q  非奇异矩 ( ) ( ) ( ) min{ ( ), ( )}R A R B n R AB R A R B    ( ) ( ) ( )R A B R A R B   【1.07】求解矩阵的逆与解矩阵方程( ( ) , ( ) )R A r A n 列 AX B解矩方程 ：[ , ] [ , ] ( )A B E X A行变换 可逆 1, :A 特 求 逆 1[ , ] [ , ]A E E A行变换 1 ,A B AB E BA E      2( ) i i sA P A PP P   可逆非奇异 初等方 使 1 1 1 1 1 T 1 1 T( ) , ( ) , ( ) ( )A A kA k A A A         1 1 1 1( )AB C C B A     【1.08】线性方程组求解( ( ) , ( ) )R A r A n 列 A x b解 性方程 ：[ , ] [ ]rA b E行变换 出现 ( , ) , ( , )R A b r R A b r n  相 容 性 ： 解 有 唯 一 解 ( , ) ,R A b r n  有 多解 解集不是向量空 1 1 * ( , 1, )n r n rx k k       通解： 拉 通解 , 0A x 特 解 ：[ ] [ ]rA E行变换 出现 0 , 0 ,r n r n n r  相容性： 只有 解 有非 解 解空 （向量 空间：关于向量的加法和数乘封闭的非空集合） 克莱姆法则: A x b求 的分量解 ( 1, 2, , )ii Dx i nD   ( | | 0)n nA  只适合 , iD A D D i b其中 为在 中换第 列为 所得到的行列式. 【1.09】求向量组的秩和最大无关组 1 2( , , , )nA   ： 是列向量 www.kaoshidian.com 5 1 2 0( , , , ) ( )n rA B    行变换 个非 行方法： 行阶梯 1 2: ( ) ( , , , ) ( )nR A R R B r    结论 行阶梯 :A的一 最大 0B由 中各行的第一个非 元素所在列构成 T T T 1 2( , , , )n  行向量，考 即可 【1.10】向量组的线性相关性判别法 定义：若存在不全为0的常数 1 2, , , nk k k 使 1 1 1 2 0n nk k k      , 则称向量组 1 2: , , , nA    线性相关,否则, 称 1 2: , , , nA    线性无关. 1 2( , , , )nA   ： 是列向量 1 2 0( , , , ) ( )n rA     行 非行方法： 行梯 结论: ( )A R A n A  性 高矩 ( )A R A n A  性相 非高 T T T 1 2( , , , )n  行向量，考 即可 【1.11】向量组的线性 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示、过渡矩阵与等价关系 对 于 列 向 量 组 1 2: , , , nA    和 1 2: , , , ,mB    若 存 在 矩 阵 n mG  , 使 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )m n n mG        则称向量组B 可由A 线性表示.称 n mG  为过渡矩阵. 向量组B 可由A 线性表示的充要条件是 1 2 1 2 1 2( , , , , , , , ) ( , , , )n m nR R           向量组A 与B 等价的充要条件是 1 2 1 2( , , , , , , , ) ( ) ( )n mR R A R B         对于行向量组，矩阵的拼接按行进行，如： 1 1 2 2 m n m n G                             这时过渡矩阵为 m nG  【1.12】线性无关组的正交 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 化 www.163kaoyan.com www.kaoshidian.com 6 T[ , ] , || || [ , ]       ： 范： 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 3 2 3 3 3 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 , [ , ] ,[ , ] [ , ] [ , ] ,[ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] n n n n n n n n                                             正交化： ( 1,2, , )|| || [ , ] i i i i i i i n       范化： 【1.13】 特征值与特征向量( )A n是 方 | |E A 特征多项式： 11 1n n n nk k k        1 2( )( ) ( )n         | | 0E A  特征方程： 1 2, , , n  特征值： ( ) 0 0E A x  特征向量： 的非 解 Ax x（即： ） www.kaoshidian.com 7 【1.14】矩阵特征值与行列式的关系 1 2, , , , nA n   设 是 阶方阵 特征值为 ，则 1 2| | nA     | |E A  1 2( )( ) ( )n         1 1 1 1 1 2, , , nA A     的特征值： （ 可逆） 1 2 1 11 22tr( )n nnk A a a a             （A的迹） 【1.15】特征值的应用 应用1：设A与B相似,即存在P 使 1P AP B  ,使 1k kA PB P  （当B 或 2B 为对角阵时使用） 应用2：一般方阵的不同特征值对应的特征向量线性无关;对称方阵的不同特征值对应的特 征向量正交. 应用3：对于任一非0列向量α，矩阵 T 有唯一的非0 特征值 T  ，且α为其对应的特征 向量, 因为 T T[( ) ] 0E     应用 4：若 λ是方阵 A的特征值 , 则 11 1( ) n n n nk k k          必定是矩阵 1 1 1( ) n n n nA A k A k A k I       的特征值. 【1.16】初等变换与初等矩阵 矩阵的初等变换及与之相应的初等方阵有3种： 行变换 列变换 （1） , i jr r i jA B E A  i jc c i jA B AE  （2） ( ) , ikr iA B E k A  ( )ikc iA B AE k  （3） ( ) , i jr kr i jA B E k A  ( )i jc kc j iA B AE k  方阵P 为非奇异矩阵 P 可表示成若干个初等方阵的乘积. 此表示可通过初等行（列）变换把方阵变为单位矩阵的 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 直接获得. www.163kaoyan.com www.kaoshidian.com 8 【1.17】矩阵变换及特点 （以下变换均有反身性、对称性和传递性） （1）等价变换（应用于一般矩阵） , ,P Q PAQ B 可逆矩阵 使 A B（称 与 等价）等价变换阵P,Q 可通过行列变换记录直接获得. 特 点：最简单, 保秩不变 充要条件：同型矩阵A与B等价 ( ) ( )R A R B r   标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形：对任意矩阵A，总存在可逆矩阵P,Q,使 00 0 rEPAQ      r为 A 的秩 （2） 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 变换（应用于对称矩阵） T,C C AC B 可逆矩阵 使 A B（称 与 合同） 合同变换阵C 可通过行列同时变换记录直接获得. 特 点：稍复杂, 保秩不变, 保对称性, 保正定性（保特征值的符号不变） 充要条件：同阶矩阵A与B合同它们的正负惯性指标相同 标准形：对实对称阵A，总存在可逆矩阵C,使 T 0 p q E C AC E        p,q分别为 A 的正负 惯性指标 （3）相似变换（应用于一般方阵） 1,P P AP B 可逆 使 A B（称 与 相似） 特 点：较复杂, 保秩不变, 保行列式, 保特征值, 保迹不变 对角化：A可对角化 A为非亏损矩阵 A的每特征λ对应的特征向量的无关个数=λ的重数, 即 ( )R I A n    标准形：实对称矩阵A总可以对角化. 当A可对角化时,总存在可逆矩阵P,使 1 21 0 0 n P AP              1 2, , , n   为 A 的全部 特征值P由 1 2, , , n   对应的线性无关的特征向量拼成 （4）正交变换（相似合同变换,应用于对称矩阵） T 1 T 1( ),P P P P AP P AP B    正交矩阵 使 www.kaoshidian.com 9 特 点：最复杂保秩不变，保对称性，保正定性,保行列式，保特征值，保迹不变 充要条件：同阶矩阵A与B相似合同它们的特征值相同 标 准 形 ： 实 对 称 阵 A 总 可 对 角 化 . 即 总 存 在 正 交 矩 阵 P, 使 1 2T 1 0 0 n P AP P AP               1 2 , , , n   为 A 的全部特征值P由 1 2, , , n   对应的正 交规范化的特征向量拼成 【1.18】用合同变换化二次型为标准形 即找可逆变换 x=C y, 使二次型 T( )f x x Ax 化为标准形： T 2 2 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 ( ) p q p p p q E A C AC E f f x y y y y                     矩 的准形： 二次型 的准形： 其中合同变换（即行、列同时作相应的变换）的变换矩阵C 可由变换过程直接记录得到（合 同变换 x=C y 亦可由拉格朗日配方法获得） 其中二次型的秩（即A的秩）为正负惯性指标 p,q 之和. 【1.19】用正交变换化二次型为标准形 T(1) ( )f x x Ax A出与二次型 的 矩 (2) | | 0E A  解特征方程 得特征值 ： 1 2, , , n   （含重复） 1 2(3) ( ) 0 0 : , , ,i nE A x     求 非 解得特征向量组 1 2(4) , , , :n   正交 范化并拼成正交 1 2( , , , )nP p p p  (5) ( )x Py在正交 下准形： www.163kaoyan.com www.kaoshidian.com 10 1 2T 1 2 2 2 1 1 2 2 0 0 ( ) n n n A P AP P AP f f x y y y                           矩 的 准形： 二次型 的 准形： 其中二次型的秩（即A的秩）为非 0 特征值的个数. 【1.20】正定概念与正定的充要条件 定义： 0x  ， T 2 2 2 21 1( ) x Cy p p p qf x x Ax y y y y           0, , ( , ) 0, , ( , ) 0, , ( , ) 0, , ( , ) p r n f A p r n f A q r n f A q r n f A           正定的 半正定的 定的 半定的 实对称矩阵A 正定的充要条件： 0 0A A A n   正定 的所有特征值 的 个前主子式 0A A 负定 的所有特征值 0, 0A  的奇数阶前主子式 偶数阶前主子式