【备战2014中考数学专题讲座】第25讲：动态几何之定值问题探讨

福州五佳教育锦元数学工作室 编辑 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 就是研究，在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）等，就问题类型而言，有最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 16～18讲，我们从运动对象的角度对轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）问题进行了探讨， 19～21讲我们从运动对象的角度对点动、线动、面动问题进行了探讨，22～26讲我们从问题类型的角度对最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题进行探讨。 结合2013年全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。 一、线段（和差）为定值问题： 典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究 例1：（2013年云南昆明3分）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论： ①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有【 】 A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B。 例2：（2013年山东菏泽3分）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ= CE时，EP+BP=　 ▲ 　． 【答案】12。 例3：（2013年黑龙江绥化8分）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF （1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变； ①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； ②若正方形ADEF的边长为 ，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度． 【答案】解：（1）证明：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°。∴AB=AC。 ∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。 ∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。 ∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF， ∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴BD=CF。 ∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC。 （2）CF﹣CD=BC。 例4：（2013年云南昭通附加题14分）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF． （1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD； （2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系． AC、CF、CD之间存在的数量关系为AC=CD﹣CF。 例5：（2013年湖北孝感12分）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=900，且EF交正方形外角的平分线CF于点F． （1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）； （2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）． ①AE=EF是否总成立？请给出证明； ②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线 上，求此时点F的坐标． 【答案】解：（1）如图，取AB的中点G，连接EG，则 △AGE与△ECF全等。 例6：（2013年江苏南通13分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，AC= ，BC=3，△DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB，设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T。 （1）求证：点E到AC的距离为一常数； （2）若AD= ，当a=2时，求T的值； （3）若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示T。 二、面积（和差）为定值问题： 典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究 例1：（2013年浙江杭州4分）四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，且BC=CD=2，AB=3，把梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则|S1﹣S2|= ▲ （平方单位） 【答案】4π。 【考点】圆锥和圆柱的计算，点、线、面、体，旋转的性质。 例2：（2013年湖南长沙10分）如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2． （1）求∠OAB的度数； （2）求证：△AOF∽△BEO； （3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2．试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【考点】一次函数、二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，平行的性质，相似三角形的判定，勾股定理和逆定理，二次函数的性质，偶次幂的非负性质，转换思想和配方法的应用。 【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】（1）当x=0或y=0时分别可以求出y的值和x的值就可以求出OA与OB的值，从而就可以得出结论。 三、其它定值问题： 典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究 例1：（2013年广西贺州3分）直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B，C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是【 】 A．25°或155° B．50°或155° C．25°或130° D．50°或130° 例2：（ 2013年广西河池3分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作的⊙O切线，切点为B，连结AC交⊙O于D，∠C＝38°。点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是【 】 A．19° B．38° C．52° D．76° 例3：（2013年湖南衡阳8分）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4． （1）试说明AE2+CF2的值是一个常数； （2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值． 例4：（2013年湖南株洲10分）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0， ）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．[来 （1）求抛物线C1的解析式的一般形式； （2）当m=2时，求h的值； （3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP= ． 【答案】解：（1）设抛物线C1的顶点式形式 （a≠0）， ∵抛物线过点（0， ），∴ ，解得a= 。 ∴抛物线C1的解析式为 ，一般形式为 。 （2）当m=2时，m2=4， 然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证。 例5：（2013年广西南宁10分）如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N． （1）求此抛物线的解析式； （2）求证：AO=AM； （3）探究： ①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时 的值； ②试说明无论k取何值， 的值都等于同一个常数． 例6：（2013年湖北随州13分）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2．经过原点的抛物线 的对称轴是直线x=2． （1）求出该抛物线的解析式． （2）如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O和C．现在利用图2进行如下探究： ①将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E和点A重合时停止旋转．请你观察、猜想，在这个过程中， 的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出 的值． ②设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在①的旋转过程中，是否存在点F，使△DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由． ∴此种情形不存在。 综上所述，存在点F（ ，0）或F（ ，0），使△DMF为等腰三角形。 【考点】二次函数综合题，旋转问题，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定 ，勾股定理，分类思想的应用。 【分析】（1）根据抛物线过原点和对称轴为直线x=2这两个条件确定抛物线的解析式。 （2）①如答图1所述，证明Rt△PAE∽Rt△PGF，则有 ， 的值是定值，不变化。 ②若△DMF为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论，避免漏解。 例7：（2013年山东临沂11分）如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F． （1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则 的值为　 ▲ 　； （2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求 的值； （3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3， 的值是否变化？证明你的结论． 又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF。 例8：（2013年山东日照14分）已知，如图(a)，抛物线 经过点A(x1，0)，B(x2，0)，C(0，－2)，其顶点为D.以AB为直径的⊙M交y轴于点E、F，过点E作⊙M的切线交x轴于点N。∠ONE=30°， 。 （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）连结AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得△ABP与△ADB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图（b）,点Q为 上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AH·AQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。 （2）应用反证法分抛物线对称性的右侧和抛物线对称性的左侧两种情况说明在该抛物线上不存在点P，使得△ABP与△ADB相似。 （3）由垂径定理和相似三角形的判定和性质，可得 ，在Rt△AOF中，应用勾股定理可得 ，从而得出AH·AQ为定值的结论。 例9：（2013年广西贺州3分）直线AB与⊙O相切于B点，C是⊙O与OA的交点，点D是⊙O上的动点（D与B，C不重合），若∠A=40°，则∠BDC的度数是【 】 A．25°或155° B．50°或155° C．25°或130° D．50°或130° 例10：（2013年四川成都10分）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC． （1）求证：AC=AD+CE； （2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q； （i）当点P与A，B两点不重合时，求 的值； （ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程） 当点P运动至AC中点时，AP=4， ∴在Rt△ADP中，根据勾股定理得：DP=5。 文章来源：福州五佳教育网www.wujiajiaoyu.com(中小学快速提分，就上福州五佳教育)