河源高中

1 变 教 为 导 龙川县实验中学 杨丽红 摘 要：社会的发展和进步迫切要求教育应培养和发展学生的主体性品质， 这就要求教师的角色和教学方式必须转变：从以知识为目标转移到以活生生的学 生本人为目标。通过恰当的“导”，激发学生的学习激情，促进学生主体认知结 构的完善形成。本文几个具体案例是变教为导在教学中的实施。实践证明：变教 为导让学生受益匪浅。 关键词：变教为导 引导 主体性品质 尊重 探究 一、变教为导的现实意义 进入 20 世纪 90 年代以后，在建立社会主义市场经济的过程中，教育就把 人的主体意识的觉醒、主体能力的培养提到了一个前所未有的高度。社会的发展 和进步迫切要求教学活动应培养和发展学生的主体性品质。教学活动对人的发展 从而对社会的发展所起作用的大小，基本上取决于它在多大程度上培养出主体性 的人来。所以，培养和发展学生的主体性品质成为了我国当前教学理论研究的一 个热点问题，也是我国当前课堂教学改革与实验的主题。 二、变教为导是教育本身的内在规定性，亦是对学生的尊重。 受教育者是有自由意志和人格尊严的、具体的、现实的个体，“引导”区别 于“宰制”、“驱使”、“奴役”、“灌输”和“愚弄”。尊重学生的自由意志和独立 人格不仅是真正教育的条件，而且是教育本身的内在规定性。变教为导是对学生 的尊重。尊重学生，意味着尊重学生的探究、获得新的体验、获得认可与欣赏、 责任承担的需要。正如学生所言：只是告诉我，我会忘记；只是演示给我看，我 会记住；如果让我参与其中，我会明白。 三、教师的角色和教学方式的要求 教师的角色和教学方式必须转变：树立“以活动促发展”的现代教学观念， 尊重、鼓励学生的各种自由、自主的活动，不仅要为学生的各种活动创造、提供 适宜的机会、条件、场所和更多的选择可能性，而且要组织和亲自参与、指导学 生的学习活动，成为学生学习活动的组织者、指导者和参与者。在课堂上变“教” 为“导”，正确引导学生去学、去探索、去实践、去接受各种挑战，激发他们的 内心动力，让兴趣和自信心引发学生内在潜力。现在提倡的“导”比以前的“教” 2 还要辛苦：教什么、怎么教、什么时间教得把握好，要合理化、科学化安排，因 为“导”比单纯的“教”更注重学生的主动性和消化接受能力。同时，老师应很 清楚知道每位学生的知识水平，知道在课堂上什么时候可以一带而过，什么时候 要重点强调，做到有的放矢，确实有效提高课堂效率，落实学生在课堂教学中的 主体地位，变“要我学”为“我要学”，让每一位学生均有收获，真正培养和发 展学生的主体性品质。 四、变教为导在教学中的实施及案例 （一）、改变教法，引导学生去读书。 教材编排就好像教案，主线：实际理论、背景⇒引出问题⇒通过学生思考、 探究、实验、猜测、推理、交流、 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达、类比、反思等理性思维的基本过程⇒获 得数学知识、思想方法⇒解决问题⇒小结、归纳形成知识体系和能力⇒推上高 一层次或拓广到更大的范围。 为此，教师的工作就不是原来意义上的教书，应改变为导书，即指导学生去 读书，在指导学生学习的同时要教给学生学习的方法，帮助学生解难析疑，指导 学生形成知识体系与思想方法，亦即将教法向导法转变。 例 1：关于方程的根与函数的零点。 (1)首先开门见山地提出问题： 一元二次方程 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 的根与二次函数 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 的 图像有什么关系? (2)要解决上述问题还得先确定探索的方法，由特殊到一般，即通过具体的 函数与方程来讨论。 (3)分组实施。 (4)交流汇报结果。 (5)老师精点。 (6)引导猜想。 方程 ( ) 0f x = 有实根⇔函数 ( )y f x= 的图像与 x 轴有交点⇔函数 ( )y f x= 有零点，从而定义函数的零点。 (7)引导学生 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 出：函数 ( )y f x= 有零点的特征。 3 (8)应用。 学生完成相应练习。 (9)小结： ①探究问题的方法； ②得到的结果； ③能解决什么问题； ④解决问题的步骤。 （二）、引导学生去探究 探究能力是各种能力中的较高层次的能力，它要求学生会对问题或资料进行 观察、比较、分析、综合、抽象与概括，并能准确、清晰、有条理地进行表述。 因而探究能力的培养不是一朝一夕可以完成的，所以应该把探究能力的培养贯穿 于数学教学的全过程。如何培养呢，我认为应该在课堂教学中充分暴露思维过程， 充分调动学生的探究欲望。下面以一道例题的教学为例，说说我在教学中的做法。 例 2：用总长 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面 一边比另一边长 0.5m，那么高为多少的时候，容器的容积最大？并求它的最大 容积。（这是一道有相当难度的应用题） 1、问题初探 大多数学生对问题作如下解答： 设底面较短的一边长为 x 米，容器的容积为 V，则有 ( 0.5)(3.2 2 )V x x x= + − (0,1.6)x∈ 而后利用均值不等式求其最值，却发现均值不等式的使用条件并不满足。 2、问题再探 师生共同分析，均值不等式在本题无法直接使用的原因 0.5x x≠ + 。那么能否避 开这个问题呢？ 甲学生（经过一番思考）： (2 1)(8 5 ) 3 (2 1)(8 5 )( 0.5)(3.2 2 ) 5 15 x x x x x xV x x x + − + −= + − = = 从而当 3 2 1 8 5x x x= + = − ,即 1x = 时 V取得最大值。 此时，全班学生大为振奋，认为是一种很了不得的做法。 师：首先应该表扬这位同学，但是请你回答这个问题： 4 从 (2 1)(8 5 ) 3 (2 1)(8 5 ) 5 15 x x x x x x+ − + −= ，你是怎样分析得知分子分母应同乘以 3， 请你向同学们传授传授。 甲同学（愣了一下，想不出解释这个问题的方法）：我承认自己只是灵机一动， 纯属巧合。 师：他虽然只是灵机一动，但这种做法值得赞许，有没有同学能对这种做法给出 合理的解释？ 乙学生：这不是巧合，其实我们只需从 2 1 8 5x x+ = − 求得 1x = ，而此时 2 1 8 5 3x x+ = − = ，要让 V取得最大值，当然只需对 x乘以 3。 以上的发现让学生们兴奋不已，但就在这时，丙同学提出疑问。 丙同学：若是如此，我们在求 ( 0.5)(3.2 2 )V x x x= + − 的最值中直接仿照以上做法 岂不更加简单？ 3、问题三探 师：丙同学的想法很有自己的见解，但到底可不可行呢？请大家动手试一下。 探讨的结果如下： 由 0.5 3.2 2x x+ = − 得 x＝0.9 0.5 3.2 2 1.4x x+ = − = 。 14 9( 0.5)(3.2 2 ) 9 14 V x x x⎡ ⎤∴ = + − ×⎢ ⎥⎣ ⎦ 由此求得的结果与甲同学不一致。这样，更增加了本题的神秘色彩。 4、教师点拨 这时候，考虑到往下的探索已非学生可以独立完成。我给予以下点拨： ①在 ( 0.5)(3.2 2 )V x x x= + − 基础上不能直接利用均值不等式进行求解的原因是 什么？（答：无法寻求这样的 x，使得 0.5x x= + ） ②甲同学能够利用均值不等式求解最值的原因又是什么？（答：他巧妙地利用了 式子的变形） ③他的变形主要是对 x， 0.5x + ，3.2 2x− 配上了系数，那么我们是否可以用通 法求得这些系数呢？ 经过一番思考，同学们总结出待定系数法是解决这一问题的通法。 5 我认为上述的做法，有助于引导学生对问题进行由表及内、由浅入深的探讨，对 提高学生的数学探究能力有着十分重要的作用。 （三）、引导学生站在系统的高度把握知识。 教师要引导学生站在系统的高度把握知识，让知识总是以“系统中的知识” 的面目出现。教师要着眼于知识之间的联系和规律，使学生从系统的高度进行思 考，做到八方联系，浑然一体，达到浮想联翩、思潮如涌的思维状态。 例 3： 正比例函数 y kx= ，二次函数 2y ax= ，幂函数 ay x= ，指函数 xy a= ， 对数函数 log xy a= ，比较它们的解析式中的常数 k、a、a 对于函数曲线的影响。 分析，这 5 个函数是分散在初三和高一的不同时期学习,除了它们都是函数 这个共同点以外，它们完全是不同类的，在教材里，它们分别写在不同的章节内。 但深入探讨后发现，它们的解析式中的常数 k、a、 a 对函数曲线的影响，十分 相似，如出一辙。 那就是，常数在它允许的范围内跑遍时，函数曲线扫遍某个区域；当常数 在它允许取值的范围内游走时，都是 0、1、-1，这些点起到了“分水岭”的关键 性作用。 对于正比例函数 ( 0)y kx k= ≠ ，k 决定着函数图像直线的位置。在这里．k 的 符号(实质是“0”这个点)，决定着直线所在象限的位置，k>0 时，直线通过 I、 Ⅲ象限，k<0 时，直线通过Ⅱ、Ⅳ象限； k 则决定着直线的向上方向与 y 轴正向 的夹角大小．而当 k 值遍取(-∞，+∞) 上的全体实数时，直线绕原点旋转扫遍 除 y 轴而外的整个坐标平面（这里要允 许 k=0，否则，也不包括 x 轴）如图 1 所示： 对于二次函数 2y ax= ，与一次函数相同，a 的符号（实质也是“0”这个点)， 决定着曲线所在的象限位置，a >0 时，抛物线通过 I、Ⅱ象限（即开口向上)，a <0 时，抛物线通过Ⅲ、Ⅳ象限(即开口向下)； a 也决定着曲线与 y 轴的相对位置状 6 况， a 越大，抛物线越贴近 y 轴(抛物线愈瘦)， a 越小，抛物线越疏远 y 轴(抛 物线愈胖)，当a 值跑遍在(-∞，+∞)上的全体实数 时，曲线 2y ax= 也是扫过除 y 轴而外的整个坐标平 面(这里也要允许 0a = ，否则，也不包括 x 轴)如图 2 所示： 对幂函数 ay x= ，仍是常数决定着曲线的位置 和形状。当然，由于常数的位置发生了变化，从自 变量 x 的系数位置，转移到了自变量 x 的指数位置，那么常数 a 的符号，已不再 决定曲线所在的象限的位置，而是决定曲线是通过(0，0)点及(1，1)点(a>0 时)， 还是只通过(1，1)点，不通过(0，0)点(a<0 时)；a 决定着曲线在各点的曲率情况， 但与前面两种函数共同的，是 a 跑遍在(-∞，+∞)上的实数时，曲线扫过除直线 x=1(不包括点(0，1)而外的整个第一象限(这里也要允许 a =0，否则不包括直线 y=1)，如图 3 所示： 对于指数函数 xy a= （ a >0 并且 a ≠1)， 由于 a 的范围是（0，+∞)，使我们以“l”为 分界点，当 a >1 时，曲线从左向右呈上升状 态，当 0< a <1 时，曲线自左至右呈下降状态。 a a= ，也起着影响曲线与 y 轴正向的相对位 置及曲率的作用，与前面共同的是，a 跑遍(0， +∞)上的全体实数时，曲线扫过除 y 轴正半 轴(不包括点(0，1)而外的整个第 1、Ⅱ象限坐标平面（这里要允许 a =1，否则， 不包括直线 y=1)，如图 4 所示： 对于对数函数 log xy a= ( a >0，并且 a ≠1) 的情况的讨论，与对于上述指数函数的讨论十 分相似。 对上述 5 个函数的深入探讨所发现的，它 们的解析式中的常数在其所允许的范围内跑遍 7 时，影响着它的曲线扫遍某整个区域这个事实，这个惊人的相似（并且包括都是 0、1、-l 这些点起着关键性的作用）启示我们，事物之间的联系和规律，是我们 深入探寻事物本质的一个途径，它也是一种系统。 事实上，这个比较和归纳，远没有完结，就是说，某个量的数值跑遍某个 范围，可以影响一条曲线扫遍某个区域，也可以影响一个点跑遍某条曲线，如此 等等。 （四）、引导学生分析、归纳，发现一般规律。 归纳是通过认识个别现象达到认识普遍规律的重要思维形式。不仅在数学归 纳法的教学中要特别重视归纳法，在平时的每个问题中都要让学生去归纳，发现 一般规律，一般的归纳是离散的，如果应用函数思想，连续运动的思想进一步去 分析，可得到更深刻的结论。 例 4：在学习课本例题：写出集合{a，b}的所有子集，后让学生归纳以下问 题。 (1) 3 元集的子集有几个?n 元集的子集有多少个? (2) n 元素的子集中含 k个元素的子集有多少个? (3)集合增加一个元素、其子集增加多少个？减少一个元素呢？ 由以上问题的探讨可发现排列组合问题与二项式定理以及概率问题。在二 项式定理中，将 ( )na b+ 及展开式看成一种形式，让 n连续取实数，如 1 2 n = 时， 这个关系式如何呢？这就得到了牛顿二项式定理。 （五）、引导学生写小论文 学生论文的写作过程是学生自我学习、自我提高的过程。认知水平较高的 学生，在学习中往往会对自己感兴趣的问题进行探究，并形成自己的认识，但一 般不够深入，鼓励他们及时归纳总结并形成文字，这个过程就是他们对问题进行 深入再探讨的过程，他们必须经过认真观察、阅读相关材料、比较分析、演绎归 纳等步骤才能进一步论证自己的论点。而把这些材料形成文字又能使他们表达能 力得到很好的锻炼。所以学生论文写作对于提高学生的探究能力有着十分重要的 作用。 8 要让学生学习写作论文，就应该强调对材料的积累。它可以来源于课堂， 也可以是课外学习的心得感想。在学完了等差数列与等比数列的性质之后，我班 有一位同学提出了这样的命题： 1、设{ }na 是等差数列， , ,m n p N∈ ，若 1 2 1 2n nm m m p p p+ + + = + + +L L ， 则 1 2 1 2n nm m m p p p a a a a a a+ + + = + + +L L 。 2、设{ }na 是等比数列， , ,m n p N∈ ，若 1 2 1 2n nm m m p p p+ + + = + + +L L ， 则 1 2 1 2n nm m m p p p a a a a a a+ + + = + + +L L 。 这位同学把这两个命题交给我，让我给他论证命题的真假。我让他自己先 举出具体例子进行验证，而后考虑如何从理论上对这两个命题进行证明，如果必 要可以查阅相关的课外参考书。最后这位同学完成了对命题的严格证明，同时给 出了它们在解题中的应用。这篇文章在校级教研刊物发表以后，对全体学生都产 生了极大的影响。 五、变教为导实践阶段性成果 变教为导在数学教学中的实施，激发了学生的学习热情，学生变被动学习 数学为喜爱、主动学习数学，使学生整体以及每个成员，都在原有基础上获得知 识、能力、个性品质的全面发展，促进学生主体的认知结构完善形成，从而逐步 实现优秀生拔尖，中等生优化，后进生转化，使整体都有所进步，大面积提高教 学质量。 参考文献： ［1］孙维刚 《孙维刚谈全班 55%怎样考上北大考上清华》 北京妇女儿童出版社 2000.5 ［2］吴惟粤 《高中新课程数学优秀教学设计与案例》 广东高等教育出版社 2005.3 ［3］钟启泉 崔允郭 张华 《为了中华民族的复兴，为了每位学生的发展》 华东师范大 学出版社 2003.7 ［4］肖成全 《有效教学》 辽宁师范大学出版社 2006.6 ［5］陆志平 辜伟节 《新课程：我们怎样上课》 东北师范大学出版社 2006.7 ［6］肖川等著 《造就自主发展的人》 四川教育出版社 2006.11 ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ 9 浅谈圆锥曲线综合题中减少运算量的思想与方法 龙川县第一中学 张建毕 在讲解训练解析几何综合题时，我们会发现，一般情况下解析几何题比代数 题运算篇幅更长，运算量更大，并且解决一个问题的途径或方法较多，因此在解 决问题时要形成简便运算，合理设计算法的原则．本文结合近几年的高考试题和 自己的解题教学体会浅谈如何简化或减少圆锥曲线综合题中的运算量． 一、巧用整体思想，设而不求简化运算 例 1、已知椭圆 2 2 1 4 3 x y+ = 试确定m 的值，使得在此椭圆上存在不同两点关 于直线 4 3y x m= + 对称． 解：设 A ( )1 1,x y ，B ( )2 2,x y ，AB 中点 M ( )0 0,x y ， 2 1 2 1 1 4AB y yk x x −= = −− ． 将Ａ、Ｂ两点坐标代入椭圆方程得 ( ) ( ){ 2 21 12 2 2 2 3 4 12 1 3 4 12 2 x y x y + = + = ． 由（１）－（２）得 ( ) ( )2 2 2 22 1 2 13 4 0x x y y− + − = 即 ( )1 2 1 23y y x x+ = + 0 0 0 03 3 4y x x x m∴ = = +, . 0 0, 3x m y m∴ = − = − ． QM ( )0 0,x y 在椭圆内部 则 2 29 2 3 2 31 4 3 13 13 m m m+ < − < <，即 ． 评注：与中点或中垂线有关的问题可考虑用“整体思想，设而不求”这种方 法简化运算． 二、巧用圆锥曲线定义、向量和平面几何性质解题 （1）巧用圆锥曲线定义法 10 例 2、（1999 年全国高考题）设椭圆 ( )2 22 2 1 0x y a ba b+ = > > 的右焦点为 1F ，右 准线为 1l ；若过 1F 且垂直于 x 轴的弦的长等于 1F 点到 1l 的距离，则椭圆的离心率 是 _____________ ． 分析：若想先求出a 、c的值，再求离心率是相当 麻烦的，而依据椭圆的第二定义，运用数形结合思想 便可迅速获解． 解：作 1PK l⊥ ，K 是垂足， 1PF x⊥ 轴，且与椭 圆交于 Q 点， 1 1F R l⊥ ，R 是垂足， 1 1 1 1 12 2 . 2 PQ PQPF e PK FR PQ = = = = 评注：与焦点有关的圆锥曲线问题一般先考虑直接利用其定义和数形结合法 解题，可起到简化运算作用． （2）巧用圆锥曲线定义与平面几何性质结合法 例 3、（2001 年广东、河南 21）已知椭圆 2 2 1 2 x y+ = 的右准线 l与 x 轴相交于 点 E，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、B 两点，点 C 在右准线上，且 BC x� 轴．求证：直线 AC 经过线段 EF 中点． 分析：本题若用常规方法即是证 A、C 与 EF 中点 N 三点共线问题，因此可求出 ANK 与 CNK ，则较繁．若 能巧用圆锥曲线定义与平面几何性质，则会有事半功 倍之感． 如图：设直线 AC 与 x 轴交点为 N，过点 A 作 ,AD l⊥ 点 D 是垂足，因为点 F 是椭圆的右焦点，直线 l是右准线，BC 平行 x 轴， 即 BC l⊥ ，根据椭圆几何性质，得 AF BF e AD BC = = ( e 是椭圆离心率 ) AD EF BCQ � � y F1 R x L1 P Q K NFO x y l A D B C 11 EN CN BF AD CA AB ∴ = = ， FN AF BC AB = 即 AD BF AD BC AF BCEN e FN AB AB AB ⋅ ⋅ ⋅= = = = N∴ 为 EF 中点，即 AC 经过线段 EF 的中点． 评注：巧用圆锥曲线定义与平面几何性质结合法是解决圆锥曲线焦点、准线 问题的常用方法． （3）巧用圆锥曲线定义与向量性质法 例 4、已知直角坐标系中，点 ( ) ( )1 25,0 , 5,0F F− ，M 是第一象限内一动点． (1) 若 1 2 8MF MF− = uuuur uuuur ．求 M 的轨迹方程． (2) 若 A，B，C 是 M 的轨迹上任意不同三点，求证： ABC� 为钝角三角形． 分析：由 1F 和 2F 是关于原点对称，且 1 2 8MF MF− = uuuur uuuur 可联想圆锥曲线定义简 化运算求 M 的轨迹方程． 解：因为 1 2 8MF MF− = ，所以设 M ( ),x y ，则由双曲线定义可知，上式表 示动点 ( ),M x y 到两定点 ( ) ( )1 25,0 , 5,0F F− 的距离之差为常数 8 ( )1 2 10F F = ，所以 M 的轨迹为双曲线在第一象限的部分，则易得2 8,2 10a c= = ， 4, 3a b∴ = = M∴ 轨迹方程为 ( )2 2 1 4, 0 16 9 x y x y− = > > ( )2 因为 A，B，C 三点各不相同，不妨设 ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , , , ,A x y B x y C x y ， 且 1 2 34 x x x< < < ， 1 2 30 y y y< < < ．则 ( )1 2 1 2,BA x x y y= − −uuur ， ( )3 2 3 2,BC x x y y= − −uuur ． ( )( ) ( )( )1 2 3 2 1 2 3 2BA BC x x x x y y y y⋅ = − − + − −uuur uuur ( )( )1 2 3 2 0x x x x− − 上两动点 Q、R，O 为抛物线的顶点，若 0OQ OR⋅ =uuur uuur ．试求以 OQ、OR 为 直径之两圆的交点 P 的轨迹． 分析：本题涉及两动点 Q、R，故在引入参数时， 尽量减少参数个数，因此根据题意可设 Q、R 两点坐 标分别为 ( )21 12 , 2pt pt ， ( )22 22 , 2pt pt ．以 OQ，OR 为 直径的圆方程分别为 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ 21 122 22 2 0 12 2 0 2x x pt y y ptx x pt y y pt− + − =− + − = 从 ( )( )1 2 可知 1 2,t t 是关于 t的方程： ( )2 2 22 2 0pxt pyt x y+ − + = 的两根． 由韦达定理可得 ( )2 21 2 32 x yt t px += − OQ OR⊥Q ． 1 22 2 1 2 2 2 1 2 2 pt pt pt pt ∴ ⋅ = − ，即 ( )1 2 1 4t t = − 由 ( )( )3 4 可得 2 2 2 0x y px+ − = 即是所求点 P 的轨迹方程． 评注：此题选用一般方法建系设点列式的方法比较麻烦，但若能用参数利用 系数法消参便是一个好的解法． 当然，对于圆锥曲线综合题的运算问题，我们还要根据题目的实际情况，结 合所学内容进行求解，在这里就不再一一叙述．通过这些思想方法训练，有效地 培养了学生的数学思维品质． 2008 年 10 月 8 日 ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ O P x Q R y 15 有关几何概型的几个有教学价值的问题 河源市源城区教育局教研室 付雪芹 几何概型是课程 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 新增的内容。对于几何概型教学中的一些有教学功能和 教学价值的问题，许多师生容易忽略，有的甚至在认识和理解上还存在着一定的 困难，本文试图对几个这样的问题加以整理，供大家参考。 1、从一个有争议的问题到贝特朗悖论 问题 1：如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，过点 A 作一射线，交 BC 于 点 D，求使 AB>BD 的概率。 [1] 上述问题存在两种有代表性的解法。 解法一：以点 B 为圆心 BA 为半径作弧，交 BC 于点 M，不妨设 BA＝a，则 BC＝ a2 ，如图 2， 当 D、B 两点位于点 M 同一侧时，有 AB>BD 成立， 因为点 D 在线段 BC 上的是等可能出现的，故所求 的概率为： 2 22 BM a BC a = = 解法二：以点 B 为圆心 BA 为半径作弧，交 BC 于点 M，连接 AM，则 067.5BAM∠ = ，如图 2， 当射线 AD 位于 BAM∠ 内部时，有 AB>BD 成立， 因为射线 AD 在 BAC∠ 内部是等可能出现的，故所 求的概率为： 0 0 67.5 3 90 4 BAM BAC ∠ = =∠ 上述两种解法争议的焦点在于“把什么看作一次试验”，若把“在线段 BC 上任取一点 D”看作一次试验，则解法一正确；若把“在 BAC∠ 内任作一射线 AD”看作一次试验，则解法二正确。还有人认为 “在线段 BC 上任取一点 D” 和“在 BAC∠ 内任作一射线 AD”可以建立一一对应，故上述两种试验应该是等 价的，然而两种解法的结果不同，从而对几何概率的逻辑严密性产生怀疑。事实 图 1 图 2 A B CD M A B CD 16 上，类似的争议历史上也曾有过。1899 年法国学者贝特朗提出过一个关于几何 概率的悖论：“在圆内任作一弦，求其长超过圆内接正三边形边长的概率 [2]”。 他自己给出了三种 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 完全不同的解法。 问题 1及贝特朗悖论之所以有不同解答，是因为当一个随机试验有无穷多个 可能结果时，有时很难客观地规定“等可能”这一概念。这反映了几何概率的逻 辑基础是不够严密的。但在高中阶段教师不可能跟学生介绍概率的公理化系统， 当碰到喜欢“刨根问底”的学生时，还真的不好应付。因此，笔者认为类似问题 大可不必在课堂上讲，但不可否认这又是激发学生兴趣，培养学生质疑能力和探 究能力的好素材，具有不容忽视的教学价值，因此可以鼓励有能力的学生自主探 究。 2、从古典概型到几何概型 从古典概型到几何概型实际上是从有限到无限的延伸，伴随而来的是一系列 有趣的问题。 问题 2：不可能事件概率为 0，反过来，概率为 0 的事件一定是不可能事件 吗？类似地，必然事件的概率为 1，概率为 1的事件一定是必然事件吗？ 在古典概型的试验里，概率为 0的事件是不可能事件，这一点是毫无疑问的。 但在几何概型的试验里情况就不一样了。例如，在边长为 1 的正方形(含边界) 中任取一点，所取的点在正方形的对角线上的概率P = 两对角线的面积之和正方形的面积 0 1 = 0= ，但很显然“所取的点在对角线上”并非不可能。所以 概率为 0的事件不一 定是不可能事件。类似地，我们有：概率为 1的事件不一定是必然事件。 问题 3：在[ ]0,1 内任取一实数，求所取到的数为有理数的概率。 这个问题很容易列出式子， ( ) [ ][ ] 0,1 0,1 P = 内有理数的个数所取的数为有理数 内实数的个数 ， 但出现了“无穷比无穷”的情况。这个比值到底等于多少?当教师告诉学生这个 比值等于 0时，许多学生惊呆了。在无限的世界里有很多奇妙的现象，而这些现 象又是激发学生兴趣和求知欲的良药。 问题 4：连接圆周上任意三点，得到锐角三角形的概率是多少？ 17 我们先考虑以下问题：圆周上有均匀分布的2 ( 2)n n > 个点，任意连接其中的 三个点，求得到锐角三角形的概率。 如图 3，给2n个点依次编号为 1 2nA A至 ，由对 称性，可预先固定三角形的一个顶点 1A 。在直径 1 1nA A + 的一侧任取一点 kA 作为三角形的第二个顶 点，则三角形的第三个顶点在弧 1 1n kA A+ + (不含端 点)之间时，可得到锐角三角形。故所有锐角三角 形的个数为 ( )1 2 3+ + +…+ n-2 = ( )( )2 1 2 n n− − ,所 有 以 1A 为 顶 点 的 三 角 形 的 个 数 为 ( )( ) ( )( )22 1 2 1 2 2 2 1 12n n n C n n− − −= = − − 。所求概率为： ( )( ) ( )( ) 2 1 22 2 1 1 4 2 n n nP n n n − − −= =− − − 。 现在，我们让n →∞，则问题 4所求的概率为 1 4 。 文[3]和文[4]对问题 4分别给出了漂亮的解答，但上述解法所体现的从有限 到无限的极限思想，却是数学的一块瑰宝。 3、从几何概型到随机模拟方法 概率是描述随机事件发生可能性大小的度量，它已经渗透到人们的日常生活 中，成为一个常用词汇。用什么样方法来计算随机事件的概率呢？随机模拟的方 法常常会被怱略。 问题 5：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6：30-7：30 之间把报 纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上 7：00-8：00 之间，问你父亲 离开家前能得到报纸（称为事件 A）的概率是多少？ 这是教材中的一道例题，教材分别利用几何概型公式和随机模拟两种方法给 予解答。但在实际教学中，教师往往重前者而轻后者。借助计算器或计算机产生 随机数来代替大量重复的试验结果，用样本的频率来估计概率是几何概型这一节 也是概率这一章的主要思想方法。为此，教材在几何概型的教学中特别引入了“均 O A1 Ak A2 A2n An+1 Ak+1 图 3 18 匀随机数的产生”这一教学内容，教材的设计意图无疑是好的，希望学生借助这 节内容的学习来加深对随机模拟思想的理解。但在实践的层面，许多教师会因为 操作的困难而放弃，而是反复强调能得到“精确”答案的解决方法。诚然，用随 机模拟方法得到得只是近似结果，但形式化的技巧跟深遂优美的数学思想、方法 和精神相比就显得微不足道了。 ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ 关于古典概型的几点教学体会 河源市源城区啸仙中学 张利辉 古典概型是最基本的概率模型，是发展学生数学应用意识，激发学生学习兴 趣的良好素材。本文从三个方面阐述了笔者在古典概型教学中的实践与认识。 一、教学中应把握好重点，避免在“如何计数”问题上纠缠不清 现行普通高中课程标准实验教科书大多把“古典概型”的教学编排在必修Ⅲ 进行，先于“排列组合”出现。许多一线教师对这样的编排颇为不解，纷纷表示 这样的编排“无法教”。由于古典概型的习题大量地使用到排列组合的处理方法， 使有关概率的计算与排列组合的计算似乎成了一回事。事实上，这样的理解是片 面的。让我们重温一下课标的要求吧。《普通高中课程标准》关于古典概型的教 学要求是这样阐述的：“古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征： 实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。应让学生初步把一些实际 问题化为古典概型，教学中不要把重点放在‘如何计数’上。” 计数本身只是方法与策略问题，在具体的模型中，有很多特殊的计数方法， 这些不应成为教学的重点。因此，在教学过程中要把握好这个“度”，不要让“如 何计数”问题喧宾夺主。 例 1：某人有 4 把钥匙，其中有一把是办公桌的抽屉钥匙，但他忘了是哪一 把，于是他将四把钥匙逐把不重复地试开。求恰好第二次试开时打开抽屉的概率。 解法一：将 4 把钥匙依次编号为 a,b,c,d，不妨设 a 是办公桌的抽屉钥匙。这 实际上是 a,b,c,d 四个元素的排列问题。所有的排法有 2444 =A 种，其中 a 排第 2 位的排法有 633 =A 种，考虑到 a 排四个位置的等可能性，故恰好在第二次试开时 打开抽屉的概率为 4 1 4 4 3 3 = A A 。 19 也有不同的意见。解法二：既然是逐把钥匙不重复试开，如果第二次试开已 经打开了抽屉，那么第三、四次试开就没必要了。故所求的概率为 8 1 4 4 1 3 = A A 。 我们可以用树状图分析一下上述两种解法。 若考虑全部 4 次试开，如图 1，所有的基本事件数为 24，其中事件“第二次 试开时打开抽屉”所包含的基本事件数为 6，故所求的概率为 4 1 c——d c——d b a d——c d——c b——d a——d a c b c d——b d——a b——c a——c d d c——b c——a b——d b——c a a d——b d——c a——d a——c c b d b d——a c——a b——a a——b d c a——b b——a 图 1 若只考虑前两次试开。如图 2，则所有的基本事件数为 12，其中事件“第二 次试开时打开抽屉”所包含的基本事件数为 3，所求的概率仍为 4 1 。 b a a a a c b c c b d b d d d c 图 2 由此可见，用树状图（或列表）的方法处理古典概型问题不但不容易出错， 而且思路清晰直观。这才是概率问题中所要体现的思想方法。 二、教学中应淡化形式，重视实质 20 古典概型“有限，等可能”的基本特征及其计算公式 ( ) n mAP = 看起来容易 理解，但在具体的问题中却容易产生混淆。上述解法二的错误就是一个例子。 事实上，在公式 ( ) n mAP = 中，n 指的是一次试验中所有的基本事件数，m 则 是事件 A 所包含的基本事件数。若在一次试验中，“所有的基本事件”构成一个 集合 I，“事件 A 所包含的基本事件”构成集合 M，则必有 IM ⊆ 。故 ( ) ( )( )Icard Mcard n mAP == ，（其中 ( )card M 表示集合 M 的元素个数）。 根据上述的分析，我们就不难发现解法二的错误所在了。在解法二中， { }L,,, adbcacbdabcdI = ，而 { }L,,, dacabaM = ，显然 IM ⊄ ，所以是错误的。 但若强调“第二次试开”的情景，将“一次试验”确定为前两次试开，则所 有的基本事件构成的集合 { }L,,,,,, bdbcbaadacabI = ， ( ) 1224 == AIcard ，而事件 A 所 包 含 的 基 本 事 件 构 成 的 集 合 { }L,,, dacabaM = ， 有 IM ⊆ ， ( ) ( )( ) 4 1 2 4 1 3 === A A Icard McardAP 。 解法二的错误表明我们的学生在学习中对公式的表象给予了太多关注，而把 公式的实质忽视了，即“重视了形式， 淡化了实质”。我们在教学过程中，不应 只强调公式本身，更要揭示公式背后隐藏的深刻内容。我们反对机械地教与学， 提倡对公式进行有效的重建。 三、教学中应让学生体会建立适当的概率模型是解决古典概型问 题的关键 一般来说，在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件是人为规定的。 例如，在对例 1 的分析中，根据问题的需要我们可以考虑全部四次试开，把 a,b,c,d 四个元素的任意一种排列视为一个结果，则有 44A 个试验结果，也可以只考虑前 两次试开，把从 a,b,c,d 四个元素中任取两个元素的排列视为一个结果，则有 24A 个 试验结果。我们甚至还可以单独考虑第二次试开，则只有 14A 个试验结果。只要 每次试验有且只有一个结果出现，并且每个试验结果的出现是等可能的，就是古 21 典概型。 例 2：任取一正整数，求该数的平方的末位数为 1 的概率。 分析：若把“任取一正整数”看作一次试验，显然结果是无限的，不属于古 典概型问题。事实上，一个正整数的平方的末位数只取决于该正整数的末位数， 正整数的末位数可以是 0，1，2，…，9 中的任意一个数，而且这十个数字是等 可能出现的。因此可取样本空间为： { }9,,3,2,1,0 L=I ，所求的事件为 { }9,1=A ， 所以 ( ) 5 1 10 2 ==AP 。 教学中应通过具体例子让学生体会建立适当的概率模型是解决古典概型问 题的关键，让学生加深对古典概型概念的理解。 ★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★ 由对称性证明周期函数 河源市田家炳实验中学 骆华骁 对称性与周期是高考常见的考点与热点之一,由于根据对称性得出的是函数 方程，而不是具体的函数解析式，所以很多考生不知如何入手。注意到周期性是 由三角函数开始导出的，可联想相应的三角函数（如奇函数可联想正弦函数，偶 函数可联想到余弦函数等）的图像，类比可得待证函数的周期（不一定是最小正 周期），从而明确证题方向，这体现了“一般——特殊——一般”的思维方法。 已知对称性证明周期函数主要有三种类型： 1、 已知两条对称轴，求证函数是周期函数。 例 1、定义在 R上的函数 ( )f x 为偶函数，且其图像关于直线 1x = 对称，证明 ( )f x 为周期函数。（选自 2001 年高考数学（广东）题） 分析：本题相当于已知函数 ( )f x 的图像有两条对称轴 0x = 和 1x = 。联想余弦函 数的图像中两条相邻的对称轴 0x = 和 x π= ，它们之间的距离恰好为半个最小正 周期，类比可猜想 ( )f x 是周期为 2的函数。 证明： ( )f xQ 的图像关于直线 1x = 对称 22 (1 ) (1 )f x f x∴ − = + 又 ( )f xQ 为偶函数 (1 ) ( 1)f x f x∴ − = − (1 ) (1 )f x f x∴ + = − ( ) ( )( 2) 1 1 1 1 ( )f x f x f x f x∴ + = + + = + − =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( )f x∴ 为周期函数，且 2是它的一个周期． 例 2、设函数 ( )f x 在 ( , )−∞ +∞ 上满足 (2 ) (2 )f x f x− = + ， (7 ) (7 )f x f x− = + ， 且在闭区间[ ]0,7 上，只有 (1) (3) 0f f= = 。 （1）试判断函数 ( )y f x= 的奇偶性： （2）试求方程 ( ) 0f x = 在闭区间[ ]2005, 2005− 上的根的个数，并证明你的结论。 （1）解：由于在闭区间[ ]0,7 上，只有 (1) (3) 0f f= = ，故 (0) 0f ≠ ，若 ( )f x 是 奇函数则 (0) 0f = 矛盾。所以， ( )f x 不是奇函数。 由 (2 ) (2 ) (7 ) (7 ) f x f x f x f x − = +⎧⎨ − = +⎩ ，得 ( ) (4 ) ( ) (14 ) f x f x f x f x = −⎧⎨ = −⎩ ， 得 (4 ) (14 )f x f x− = − ，得 ( ) ( 10)f x x= + 从而知函数 ( )y f x= 是以 10T = 为周期的函数。 若 ( )y f x= 是偶函数，则 ( 1) (1) 0f f− = = ， 又 ( 1) ( 1 10) (9)f f f− = − + = ，从而 (9) 0f = ， 由于对任意的 (3,7)x∈ 上， ( ) 0f x ≠ ，又函数 ( )y f x= 的图像关于 7x = 对称， 所以对区间 [ ]7,11 上的任意 x 均有 ( ) 0f x ≠ 。所以 (9) 0f ≠ ，这与前面的结论 矛盾 所以，函数 ( )y f x= 是非奇非偶函数。 或：因为在闭区间[ ]0,7 上，只有 (1) (3) 0f f= = ，所以 (0) 0f ≠ ，若 ( )y f x= 是奇函数，则 (0) 0f = ，矛盾。所以， ( )y f x= 不是奇函数。 又 ( 1) (2 3) (2 3) (5) 0f f f f− = − = + = ≠ ，而 (1) 0f = ，所以 ( 1) (1)f f− ≠ ，所以 23 ( )y f x= 不是偶函数。所以，函数函数 ( )y f x= 是非奇非偶函数。（周期性证明 同上） （2）证明：由第（1）小节的解答，我们知道 (0) 0f = 在区间 [ ]0,10 有且只有 两个解，并且 ( ) 0f x ≠ 。由于函数 ( )y f x= 是以 10T = 为周期的函数，故 ( )(10 ) 0f k k Z≠ ∈ 。所以在区间[ ]2000, 2000− 上，方程 ( ) 0f x = 共有 800 个解。 在区间[ ]2000, 2010 上，方程 ( ) 0f x = 有且只有两个解。因为 (2001) (1) 0, (2003) (3) 0f f f f= = = = ，所以， 在区间[ ]2000, 2005 上，方程 ( ) 0f x = 有且只有两个解， 在区间[ ]2005, 2000−