一元三次方程的解法

一元三次方程的解法一元三次方程的解法第 1 页，共 4 页一元三次方程的解法对一元三次方程  0023  adcxbxax 　，用代数方法求解其在复数域内全部解的步骤，可以分为以下三个步骤。 1. 通过线性变换  xFy  将方程变化为无二次项的三次方程 03  qpyy 2. 求解上述方程的解集  3,2,1},0|{ 3  iCyqpyyyY i 　 3. 通过  yFx 1 反变换求出方程的解集  ...

一元三次方程的解法第 1 页，共 4 页一元三次方程的解法对一元三次方程  0023  adcxbxax 　，用代数方法求解其在复数域内全部解的步骤，可以分为以下三个步骤。 1. 通过线性变换  xFy  将方程变化为无二次项的三次方程 03  qpyy 2. 求解上述方程的解集  3,2,1},0|{ 3  iCyqpyyyY i 　 3. 通过  yFx 1 反变换求出方程的解集  3,2,1},0,0|{ 23  iCxadcxbxaxxX i 　。下面就按照这三个步骤求出三次方程的解。如何变换？则设存在线性变换    0 khkxxFy 　使得  0023  adcxbxax 　变为 03  qpyy 下面求解满足条件的　k 和　h。将方程　＝ hkxy  代入 03  qpyy 并整理得     033 322233  qphhxpkkhxhkxk 一元三次方程的解法第 2 页，共 4 页将上式与 023  dcxbxax 比较，可得            qphhd pkkhc hkb ka 3 2 2 3 3 3 则可解得　k 和　h：        3 2 3 3a b h ak 至此，可求得变换   3 2 3 3a b xaxFy  使得 023  dcxbxax 化为 03  qpyy 变换后如何求解？设有方程 03  qpyy 令       33 3 nmq mnp （其中 nm  ）代入方程：                 nmynmynmy mnnmnmymnnmynmynmynmy nmmnyy qpyy      22222223 333 3 3 所以方程 03  qpyy 一元三次方程的解法第 3 页，共 4 页的解可以归纳为         nmy nmy nmy   3 2 1 其中 2 31 i  ， 2 31 i  。下面求解m、 n与 p、 q之间的关系，即解关于m、 n的二元一次方程组       33 3 nmq mnp    2 1 的解集。  2 式等号两边平方得   63362332 2 nnmmnmq  所以     2 232233 3 44        p qmnqnm 故 2 233 3 4        p qnm 由此可以解得                                   3 32 3 32 322 322 qpq n qpq m 这就建立了m、n和 p、q的函数关系。因此，方程 03  qpyy 的全部解为                                                                                        3 32 3 32 3 3 32 3 32 2 3 32 3 32 1 322322 322322 322322 pqqpqq y pqqpqq y pqqpqq y   一元三次方程的解法第 4 页，共 4 页如何进行反变换？由   3 2 3 3a b xaxFy  可知   331 1 3 1 a b y a yFx   于是解出             3 3 3 3 3 2 3 2 3 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 a b y a x a b y a x a b y a x 这就是方程  0023  adcxbxax 　在复数域内的解。 Xu Wen, Tongji University, Shanghai. All rights reserved.

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