光的电磁理论

1 第十章 光的电磁理论基础 第一节 光的电磁性质 一、电磁场的波动性 （一）麦克斯韦（Maxwell）方程组 麦克斯韦提出了时变场情况下电磁场的传播规律，为 10-1 D 10-20 B 10-3 t B E    10-4 t D jH    式中，D电感强度、E电场强度、B磁感强度、H磁场强度；ρ封闭曲面内的电荷密度；j积分闭 合回路上的传导电流密度； 为位移电流密度。 t D   10-1是电场的高斯定律。表示电场可以是有源场，此时电力线必须从正电荷出发，终止于负电荷。 10-2是磁通连续定律，即穿过一个闭合面的磁通量等于零，表示穿入和穿出任一闭合面的磁力线的 数目相等。磁场是个无源场，磁力线永远是闭合的。 10-3是法拉第电磁感应定律。指出变化的磁场会产生感应电场，这是一个涡旋场，其电力线是闭合 的。麦克斯韦指出，只要所限定面积中磁通量发生变化，不管有无导体存在，必定伴随着变化的电场。 10-4是安培全电流定律。在交变电磁场的情况下磁场既包括传导电流产生的磁场，也包括位移电流 产生的磁场。麦克斯韦认为，在激发磁场这一点上，电场的变化相当于一种电流，称为位移电流。位移 电流是由变化电场产生的，与传导电流在产生磁效应方面是等效的，进一步揭示了电场和磁场的紧密关 系。 （二）物质方程 时变场情况下的麦克斯韦方程组描述电磁场的变化规律。实际电磁场总是在媒质中传播，媒质的性 质影响电磁波的传播。 描写物质在场的作用下特性的关系式称为物质方程。静止的、各向同性的媒质中物质关系有 10-5Ej  2 10-6 ED  10-7DB  式中，σ是电导率；ε介电常数（电容率）和μ磁导率，是两个标量。在各向同性均匀介质中，ε 和μ是常数；σ=0。在真空中ε0= 8.8542×10-12C2/N m2（库 2/牛 米 2）；μ0= 4π×10-7 N S2/ C2（牛秒 2/库 2）。对于非磁性物质μ=μ0。 物质方程给出了媒质的电、磁学性质，它们是光与物质相互作用时，媒质中大量分子平均作用的结 果。麦克斯韦方程组与物质方程一起构成完整的方程组，用于描写时变场情况下电磁波的普遍规律。在 适当的边界条件下，用于处理具体的光学问题。 （三）电磁场的波动性 从麦克斯韦方程组知道，随时间变化的电场在周围的空间产生一个涡旋的磁场，随着时间变化的磁 场在周围的空间产生一个涡旋的电场，它们互相激励，交替产生，在空间形成统一的场—电磁场，交变 电磁场在空间以一定的速度由近及远地传播，就形成了电磁波。 从麦克斯韦方程组出发，可以证明电磁场传播具有波动性。为简单起见，讨论无限大各向同性均匀 介质的情况，这时ε、μ是常数；σ=0。若电磁场远离辐射源，则ρ= 0、j = 0。麦克斯韦方程简化为 10-8 ~ 110 E 0 B t B E    t E B     分别对 10-10、10-11取旋度，同时令 10-12 /1v 有 10-13 ~1401 2 2 2 2     t E v E 0 1 2 2 2 2     t B v B 上两式具有一般的波动微分方程的形式，表明 E、B随时间和空间的变化是遵循波动规律，电磁波 以波动形式在空间传播，电磁波的传播速度 ，与介质的电学和磁学性质有关。/1v 在真空中，由 10-12，传播速度为 10-1500/1 c 代入ε0、μ0值，求得 c=2.99794×10 8m/s，与实验测定的值一致。 在介质中引入相对介电常数 εr=ε/ε0 和相对磁导率 μr=μ/μ0 ，由 10-12得电磁波的 速度 10-16 rr cv / 电磁波在真空中的速度 c与介质中的速度 v的比值 n为介质对电磁波的折射率，由 10-16 10-17 rr vcn  / 3 麦克斯韦通过理论计算后预言：交变的电场和磁场产生电磁波，而光波就是电磁波。20年后，赫 兹发现了电磁驻波，并且证明电磁波具有与光波相同的反射、折射、相干、衍射和偏振特性，传播速度 等于光速。从此人们接受光的电磁理论。 表 10-1 电磁波谱 电磁波谱如表 10-1所示。通常的光谱包括紫外线、可见光、红外光。我们要学习的范围是光学波 谱内，研究辐射光的性质，光所引起的现象及应用。 二、平面电磁波及其性质 利用 10-13和 10-14可以分别求出 E、B的多种形式的解，例如平面波、球面波、柱面波等。方程 的解还可以写成各种频率的间谐波及其叠加。 （一）波动方程的平面波解 平面电磁波是在与传播方向正交的平面上各点电场或磁场具有相同的值的波。设平面波沿直角坐标 系的 z方向传播，则平面波的 E、B仅是 z和 t的函数。10-13和 10-14化为 10-18 ~ 190 1 2 2 22 2       t E vz E 0 1 2 2 22 2       t B vz B 求解方程，有 10-20 ~ 21)( t v z fE  )( t v z fB  这正是行波的表示形式。表示源点的振动经过一定时间才传播到场点，电磁波是逐点传播的。 （二）平面简谐电磁波的波动形式 以上是波动方程的通解，具体的波动形式取决于源的波动形式。取最简单的简谐振动作为波动方程 的特解，因为这种振动形式简单，更重要的是可以从傅里叶分析方法可知，任何形式的波动都可以分解 为许多不同频率的简谐振动的和。于是有 10-22 ~ 23)](cos[ t v z AE   )](`cos[ t v z AB   就是平面简谐电磁波的波动公式，对于光波就是平面单色光波的波动公式。式中，A和 A`分别是 辐 射 波 频率范围 Hz 波长范围 无 线 电 波 ＜10 9 ＞300nm 微 波 10 9 ~ 10 12 300 ~ 0.3nm 光 波 红外光 10 12~ 4.3×10 14 300 ~ 0.7μm 可见光 4.3×10 14~ 7.5×10 14 0.7 ~ 0.4μm 紫外光 7.5×10 14 ~ 10 16 0.4 ~ 0.03μm 射 线 χ射线 10 16 ~ 10 18 30 ~ 0.03 nm γ射线 ＞10 18 ＜0.03 nm 4 电场和磁场的振幅矢量，表示平面波的偏振方向和大小；v是平面波在介质中的传播速度；ω是角频率； [ω（z/v-t）]称为位相，是时间和空间坐标的函数，表示平面波在不同时刻空间各点的振动状态。 利用物理量之间的关系 （介质中） （真空中） 10-24T/22   vT cT0 n/0  引入波传播方向的波矢量 kkk k ，其大小 k称为空间角频率或波数 10-24d vk //2   于是 10-22可以写为以下两种形式 10-25 ~ 26)](2cos[ T tz AE    )cos( tkzAE  10-22、25、26所描述的波是一个具有单一频率、在时间上和空间上无限延续的波。可以看出，某 一时刻波在空间是一个以波长λ为周期的周期分布，在空间域中，可以用空间周期λ、空间频率 1/λ、 空间角频率 k=2π/λ来表示它的空间周期性；对于空间固定的点，波在该点是以时间周期 T为周期的一 个周期振动，在时间域中，可以用时间周期 T、时间频率 1/ T、角频率ω=2π/ T来表示它的时间周期性 。 由 10-24的传播速度 v将空间周期性和时间周期性联系起来。任何时间周期性和空间周期性的破坏，都 意味着光波单色性的破坏。 利用波矢量 kkk k 可以写出沿空间任一方向的传播的平 面波的波动公式。如图 10-1所示，沿空间任一方向 kkk k 传播 的平面波，在垂直于传播方向的的任一平面Σ上场强相 同，且由该平面与坐标原点的垂直距离 s决定。平面Σ上 任一点 P的矢径 rrr r 在 kkk k 方向上的投影都等于 s，因此 kkk k ．rrr r = ks，于是有 10-27)cos( trkAE  上式就是沿 kkk k 方向传播的平面波波动公式。平面波的波面是 kkk k ．rrr r =常数的平面。设 kkk k 的方向余弦 为 cosα、cosβ、cosγ，平面上任意点 P的坐标为 x、y、z，10-27可写为 10-28])coscoscos(cos[ tzyxkAE   单色平面波波动公式 10-27也可以写为复数形式 10-29)](exp[ trkiAE  10-27实际上是 10-29的实数部分，这种代替是为了使计算简化。 把 10-29中的振幅和空间位相因子的乘积记为 10-30)exp(~ rikAE  5 称 E为复振幅，表示某一时刻光波在空间的分布。只关心其场振动的空间分布时（如干涉、衍射 等问题中），常用复振幅表示一个简谐光波。 （三）平面电磁波的性质 1．平面电磁波是横波 平面电磁波的波动公式为 10-31)](exp[ trkiAE  )](`exp[ trkiAB  取散度，并结合 10-8、10-9，可以得到 10-32 ~ 330 Ek 0 Bk 上式表明，电矢量和磁矢量的方向均垂直于波的传播方向，电磁波是横波。 2．EEE E 、BBB B 、kkk k 000 0 互成右手螺旋系 将 10-31代入 10-10，利用 10-11运算后得 )( 0 EkikBi  式中 kkk k 000 0 是波矢量 kkk k 的单位矢量。由 10-24，上式可写为 10-34)()( 1 00 EkEk v B   表明 EEE E 和 BBB B 互相垂直，由分别垂直于传播方 向 kkk k 000 0 ，互成右手螺旋系。 3．EEE E 和 BBB B 同位相 取 10-34的标量形式，有 10-35v B E   1 证明 EEE E 和 BBB B 的复振幅比为一正实数，所以 EEE E 和 BBB B 的振动始终同位相，它们在空间某一点对时间的 依赖关系相同。如图 10-2所示。 三、球面波和柱面波 将一个点光源放在各向同性均匀介质中，从点光源发出的光波以相同的速度沿径向传播，某一时刻 电磁波所到达的各点将构成一个以点光源为中心的球面，其等相面（波面）是球面。 球面简谐波在球坐标下的波动公式为 10-36)](exp[1 tkri r A E  表明球面波的振幅与离开源点的距离 r成反比，且等相位面是 r为常数的球面。 10-37)exp( ~ 1 ikr r A E  称为球面简谐波的复振幅，通常表示一个由源点向外的发散的球面波，而向源点会聚的球面波为 6 10-38)exp( ~ 1 ikr r A E  当考察平面离波源很远，并且只注意考察平面上一个小范围时，r的变化对球面波振幅的影响可以 忽略，这时的球面波可以视为球面波。 柱面波是具有无限长圆柱型波面（等位相面）的波。在光学实验中，用一平面波照射一细长狭缝， 可以获得接近圆柱面型的柱面波。柱面波的场强分布只与离开光源（狭缝）的距离 r和时间 t有关，可 求得柱面波的波动公式为 10-39)](exp[1 tkri r A E  另一种常见的解是高斯形式的解，激光器发出的光束就是高斯光束。 四、光波的辐射和辐射能 光波是电磁波，它的传播就是能量的传播过程。光源发光实际上就是物体不断向外辐射电磁波的过 程。应用经典辐射理论可以说明物体发生辐射的物理过程和辐射规律。 （一）电偶极子辐射模型 大部分物体的发光属于原子发光类型。经典电磁理论把原子发光看 成是原子内部过程形成的电偶极子的辐射。在外界能量的激发下，原子中的电子和原子核在不停的运动 着，以至原子的正电中心（原子核）和负电中心（高速回转的电子）往往不在一起，两者的距离也在不 停地变化，从而使原子成为一个振荡的电偶极子。振荡的电偶极子必定在周围空间产生交变的电磁场， 并在空间以一定的速度传播，伴随着能量的传递。 若电偶极子作直线简谐振动，偶极距 ，式中ω是偶极子振荡角频率，p0振幅矢量。计tepp  0 算表明，远离偶极子中心的某点M的场为 10-40)( 32 0 2 4 )( tkri e rv rpr E     )( 23 0 2 4 )( tkri e rv rpr B     式中，r是偶极子中心到M点的矢径，v是介质中电磁波的传播速度。可知 （1）辐射电磁波的角频率与偶极子振荡的角频率相同，都等于ω。 （2）对 10-40取标量形式 )exp( 4 sin 2 0 2 tikr rv p E     )exp( 4 sin 3 0 2 tikr rv p B     式中，ψ为偶极距方向 ppp p 与传播方向 rrr r 的夹角。表明辐射电磁波是以偶极子中心为原点的发散球 面波，其振幅与 r成反比，并随 sinψ而变。在偶极子振动方向上，ψ=0，因此 EEE E =BBB B =0，此方向上无能 量辐射；而在ψ=90°方向上能量最大。 7 （3）由 10-40可得 10-41)( rB r v E  即 EEE E 、BBB B 、rrr r 彼此垂直，互成右手螺旋系，且 EEE E 在 ppp p 与rrr r 组成的平面内振动，而 BBB B 的振动方向与此垂直，表明了辐射 电磁波的偏振性。显然，电偶极子辐射的是单色的平面偏振 的球面波，如图 10-3所示。 （二）实际光波 实际光源发出的并不是在时间上和空间上无限延续的简协波，而是一些有限长度的衰减振动，是由 这些被称为波列的光波组成。由于原子的振动，使原子间发生相互碰撞，每个作自发辐射的原子所辐射 的波列的持续时间，只是原子两次碰撞的时间间隔（10-8~10-9s）。同时实际光波并不具有偏振性，虽然单 个原子在某一时刻辐射的光波具有偏振性，但原子的辐射是不连续的，同一原子不同时刻发出的波列之 振动方向和位相都是随机的，而且实际光源由大量的分子、原子组成，发出的波列之振动方向和位相也 是随机的。因此，在观测时间 T（远大于波列存在时间Δt）内接受这些光的组合时，各个波列的振动方 向和位相被完全平均，成为自然光，可以看作是在一切可能的方向上振动的光波的总和。 （三）辐射能 电磁波最重要的性质之一是能够传输能量，电磁波的传播过程伴随着能量在空间的传播。空间某一 区域中单位体积的辐射能可以用电磁场的能量密度 w表示 10-42) 1 ( 2 1 )( 2 1 22 BEBHDEw    上式包括了电场和磁场的贡献。引入辐射强度矢量（坡印亭 Poynting）SSS S ，描述电磁能量的传播。SSS S 的方向表示能量流动的方向，大小等于单位时间内垂直通过单位面积的能量。设一电磁波以速度 v通过 一面积σ，则在 dt时间内通过此面积的能量就等于 wvσdt，辐射强度矢量的大小为 10-43 EBEvvBEwvS     1 ) 1 ( 2 1 222  在各向同性介质中，能量的传播方向沿着波的传播方向，可写成矢量形式 10-44 BES   1 对光波而言，EEE E 、BBB B 是时间的函数，因此 SSS S 也随时间快速变化，频率在 1015Hz左右，人眼与其它探 8 测器都无法接收到 S的瞬间值，能够接收的是某一时间周期 T内 S的时间平均值。称辐射强度矢量 的时间平均值为光强，记为 I，对于平面波，有 10-452 0 0 222 2 1 2 1 )(cos 11 AvAdttkr T AvSdt T SI T T       可以看出，光强 I与平面波振幅 A的平方成正比。在求取同一均匀介质中两场点的相对强度时，可 以直接用表示 I=A2光强。 第二节 光在电介质分界面上的反射和折射 讨论单色平面电磁波入射到两电介质表面上引起的传播方向、振幅、相位、能量及偏振性的变化。 一、电磁场的连续条件 当电磁波由一种介质传播到另一种介质时，由于介质的物理性质不同，即 n（ε，μ）不同，电磁 场在界面上是不连续的。必须根据电磁场方程找出界面两边电磁场量之间的联系，这种联系借助于电磁 场的连续条件来实现。 电磁场的连续条件是：在没有传导电流和自由电荷的介质中，磁感强度 B和电感强度 D的法向分 量在界面上连续，而电场强度 E和磁场强度 H的切向分量在界面上连续。表示为 10-46 nn BB 21  nn DD 21  tt EE 21  tt HH 21  有了这一连续条件，就可以建立两种介质界面两边场量的联系，讨论具体传播时的问题。 二、光在两电介质分界面上的反射和折射 光波入射到两电介质的分界面上会产生反射和折射现象，可以看成是光与物质（介质）相互作用的 结果。用介质的介点常数、磁导率表示大量分子的平均作用，根据麦克斯韦方程组和电场连续条件来研 究平面光波在两电介质的分界面上会产生反射和折射问题。 （1）光波的入射面是界面法线与入射光线组成的平面。 （2）光波的振动面是指电场矢量的方向与入射光线组成的平 面，或指电矢量平面。电矢量一般不在入射面内振动。振动面相 对于入射面的夹角用方位角α来表示。 （3）任一振动方向的光矢量都可以分解成互相垂直的两个分量（图 10-4），称平行于入射面振动的 分量为光矢量的 p分量，记作 Ep；称垂直于入射面振动的分量为光矢量的 sp分量，记作 Es。这样对于 9 任何光矢量，只要分别讨论这两个分量的变化就可以了。 （一）反射定律和折射定律 下面利用电磁场连续条件讨论反射波和折射波的存在、传播方向。 设无限大界面两边介质的折射率分别为 n1（ε1，μ1）和 n2（ε2，μ2）。一单色平面光波入射在界 面上（图 10-5），反射光波、折射光波也为平面光波。射入射波、反射波、折射波的波矢量分别为 kkk k 1、 kkk k `1、kkk k 2，相应的入射角、反射角、折射角为θ1、θ`1、θ2，角频率为ω1、ω`1、ω2。将入射波 E1分解 成 E1s 和 E1p两个分量。只考虑 s分量的情况（取 y的正向为 s分量的正向），入射波、反射波、折射波 分别表示为 ]])cossin([exp[)](exp[ 1111111111 tzxkiAtrkiAEE ssys   10-47]]`)`cos`sin(`[exp[`)]``(exp[``` 1111111111 tzxkiAtrkiAEE ssys   ]])cossin([exp[)](exp[ 2222222222 tzxkiAtrkiAEE ssys   式中三个波可以有不同的初相位，所以 A1s、A`1s、A2s 一般是复数。rrr r 是原点在界面上任一点的 O的位置矢量。由 连续条件 10-46的第四式，并且界面一边的场量应等于界面 另一边的场量，有 E1s + E`1s = E2s 将 10-47代入上式，有 + = 10-48)](exp[ 111 trkiA s  )]``(exp[` 111 trkiA s  )](exp[ 222 trkiA s  上式应该对于任意时刻 t及分界面上任意位置矢量 rrr r （xxx x ，yyy y ，zzz z ），连续条件都成立，因此 E1s 、 E`1s 和 E2s对变量 rrr r 和 t的函数关系必须严格相等，有 ω1=ω`1=ω2 A1s+ A`1s= A2s 10-49~50 10-49表明反射波、折射波的频率与入射波的频率相等。在界面上，同时还有 10-51rkrkrk  211 ` 即 10-520)`( 11  rkk 0)( 12  rkk 表明 和 在 rrr r 方向的投影（界面平面上）等于零。也就是说 kkk k 1、k`k`k` k` 1、kkk k 2均与界面法线)`( 11 kk  )( 12 kk  平行并且共面，都在入射面内。 利用 10-47中 k与 r的点积表达式，并考虑到在界面上 z = 0，由 10-51可得 221111 sin`sin`sin  kkk  10 因为 和 所以有111 /` vkk  22 / vk  10-5311 `  即入射角等于反射角，这就是反射定律。同理 或 10-54 2 2 1 1 sinsin vv   2211 sinsin  nn  这就是折射定律。n1、v1和 n2、v2分别是光波在两种介质中的折射率和传播速度。 三、菲涅尔公式及其讨论 （一）菲涅尔公式 利用电磁场的连续条件可以导出表示反射波、折射波与入射波的振幅和位相关系的菲涅尔公式。 对于入射平面光波 E1的两个互相垂直的分量 s波和 p波，其反射波和折射波的振幅和位相关系是不 同的，将分别予以讨论。同时必须给厂矢量的取向予与约定：无论是入射光波、反射光波、折射光波， 相对于光的传播方向，EEE E 、BBB B 、kkk k 0都必须具有相同的相对取向，这时认为所考察的两个场同相，其场量的 振幅为正值，场矢量取规定的正向；若两个场反向，则其场量的振幅比为负值（电介质时），场矢量 取向与规定的正向相反。因为菲涅尔公式是在特定的场矢量下推 出的。我们规定Es的正向沿 y轴方向，即垂直于图面向外（图 10-6）， Ep的正向如图所示；与其相应的 Hs、Hp的正向由 EEE E 、BBB B 、kkk k 0右手 螺旋关系给出。 1．S波（垂直于入射面分量） 图 10-6中同时给出了反射波、 折射波的场量正向。由 10-46，有 E1s + E`1s = E2s 10-55 10-56221111 coscos`cos  ppp HHH  由 10-34、10-7，有 )(1 0 Ek v H   且当两介质的折射率为 n1、n2时，根据 10-17，有 10-571221 // nnvv  10-56可以写成 10-5822 2 2 111 1 1 coscos)`(     sss E n EE n  由 10-55、10-58，利用 10-48、10-50。得 11 10-59 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 coscos coscos `         nn nn A A r s s s    2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 coscos cos2       nn n A A t s s s   这两个式子称为 s波的菲涅尔公式，rs、ts称为 s波的振幅反射系数和振幅透射系数。当两种介质都 是电介质时，μ1=μ2，再利用 10-54，10-59可以写成 10-60a 2211 2211 12 21 1 1 coscos coscos )sin( )sin(`     nn nn A A r s s s       10-60b 2211 11 21 21 1 2 coscos cos2 )sin( sincos2     nn n A A t s s s     2．P波（平行于入射面分量） p波的电矢量的正向与相应的 磁矢量的取向如图 10-7所示，并假定在界面处入射波、反射波、 折射波同时取正向。根据连续条件，有 10-61221111 coscos`cos  ppp EEE  因为磁矢量垂直于入射面，由 10-46第三式和 10-7，有 10-62 ppp E v E v E v 2 22 1 11 1 11 1 ` 11   利用 10-57、10-48，由 10-61、10-62，得到有关 p波的菲涅尔公式为 10-63 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 coscos coscos `         nn nn A A r p p p    2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 coscos cos2       nn n A A t p p p   若考虑μ1=μ2，及折射定律 10-54，可得 10-64a 2112 2112 21 21 1 1 coscos coscos )( )(`     nn nn tg tg A A r p p p       10-64b 2112 11 2121 12 1 2 coscos cos2 )cos()sin( cossin2     nn n A A t p p p     rp、tp分别称为 p波的振幅反射系数和振幅透射系数。 对于θ1=0的垂直入射的特殊情况，菲涅尔公式为 10-65 1 1    n n r s 1 2   n t s 1 1    n n r p 1 2   n t p 式中，n = n2 / n1 为相对折射率。 12 （二）反射和折射的振幅关系 菲涅尔公式直接给出了反射波或折射波与入射波的振幅变化，这种变化用振幅反射（透射）系数 r （t）来描述，并且随着入射角而变化。根据菲涅尔公式画出的 rs、rp、ts、tp随入射角θ1的变化关系如图 10-8所示。 图 a表示光从光疏介质入射到光密介质（如从空气入射 到玻璃）时的情况。当θ1=0时（即垂直入射）， |rs|、|rp|、ts、 tp都不等于零，表示存在反射波和折射波。当θ1= 90°时（即 掠入射）时，|rs| = |rp| =1，ts=tp=0，即没有折射光波。从图中 可见，ts、tp随θ1的增大而减少； |rs| 随θ1的增大而增大， 直到等于 1；而 |rp| 的值在θ1=θB（满足θB +θ2=90°）时 ， 有|rp|=0，即反射光波中没有 p波，只有 s波，产生全偏振现 象。 图 b表示从光密到光疏介质的情况（如从玻璃入射到空 气）。当θ1=0时，|rs|、|rp| 与图 a相同；当θ1≥θc（θc为θ 2=90°时对应的θ1）时，|rs| = |rp| =1，表示发生全反射现象， 并且 ts、tp都大于 1，随θ1的增大而增大。 （三）相位变化 当光波在电介质表面反射或折射时，由于其折射率为实数故 rs、rp、ts、tp通常也为实数（暂不考虑 全反射），随θ1的只会出现正值或负值的情况，表示所考虑的两个场同相位（振幅比取正值），或者反相 （振幅比取负值），相应的相位变化为 0或π。 对于折射波，不管θ1取何值，ts、tp都是正值，即折射波和入射波的相位总是相同的，其 s波和 p 波的取向与规定的正向一致，光波通过界面时，折射波不发生相位改变。 对于反射波，应区分 n1＞n2， n1＜n2两种情况，并注意θ1＞θB，θ1＜θB时的不同。 当 n1＜n2（光从光疏介质入射到光密介质）时，由 10-60a、10-64a可知，rs 对所有的θ1都是负值， 即 E`1s 的取向与规定的相反，表明反射时 s波在界面上发生了π的相位变化；对 rp 分量，当θ1+θ2＜ π/2，θ1＜θB时为正值，表明 E`1p取规定的正向，其相位变化为零；当θ1+θ2＞π/2，rp为负值，即 13 E`1p取向与规定的正向相反，表明在界面上，反射光的 p波有 π的相位变化；当θ1+θ2=π/2，rp= 0，表明反射光中没有平 行于入射面的振动，只有垂直于入射面的振动，即发生全偏振 现象。相位变化情况如图 10-9a、b所示。 对于 n1＞n2（光从光密介质射向光疏介质）情况，s波和 p波的相位变化情况如图 10-9c、d所示。由图可知，当入射 角θ1＞θc时，相位的改变即不是零也不是π，而是随 着θ1变化，这是发生了全反射现象。而在θ1＜θc时，s波和 p波的相位变化情况与 n1＜n2时的结果相 反，并且也有θ1=θB时产生全偏振现象。 当光在光疏-光密介质界面上反射时，对于正入射（θ1→0）或掠入射（θ1→π/2）的情况，由菲涅 尔公式，并考虑到在界面上光传播方向的改变，可以知道，反射光的光矢量产生π的相位改变。图 10-10 示出正入射（θ1→0）时的情况，由菲涅尔公式，E1s与 E`1s 互相方向相反；同时考虑传播方向的改变，也有 E1p与 E`1p 互相方向相反，即在反射过程中有π的相位改变。这种现象 在讨论干涉现象时，如牛顿环必须予以注意。 一般斜入射的情况下，界面上任一点的三束光的振动方向不一致，比较它们的相位没有意义。但在 干涉研究中，有时需要注意。 （四）反射比和透射比 由菲涅尔公式还可以得到入射波、反射波、折射波的能量关系，用反射比ρ和透射比τ来表征。考 虑界面上一单位面积（图 10-11），设光强分别为 I1、I`1、I2，通过此面积的光能为 入射波 1 2 1 1 1 111 cos2 1 cos     AIW  反射波 1 2 1 1 1 111 cos`2 1 cos``     AIW  折射波 2 2 2 2 2 222 cos2 1 cos     AIW  界面上反射波、透射波的能流与入射波的能流之比为 14 10-662 1 1 1 1 11 11 1 1 ) ` ( ` cos cos`` A A I I I I W W     10-672 1 2 11 22 11 22 1 2 )( cos cos cos cos A A n n I I W W       上式利用了μ1=μ2的假定。当不考虑介质的吸收和散射时，根据能量守恒关系，有 ρ+τ=1 10-68 应用菲涅尔公式可以写出 s波和 p波的反射比、透射比表示式 10-69 )(sin )(sin ) ` ( 21 2 21 2 22 1 1       s s s s r A A 10-70 )(sin cossin4 cos cos cos cos cos cos )( 21 2 1 2 2 2 11 222 11 22 11 222 1 2            n n t n n n n A A s s s s 10-71 )( )( ) ` ( 21 2 21 2 22 1 1       tg tg r A A p p p p 10-72 )(cos)(sin cossin4 cos cos cos cos cos cos )( 21 2 21 2 1 2 2 2 11 222 11 22 11 222 1 2            n n t n n n n A A p p p p 同样满足能量守恒定律，有 10-731 ss  1 pp  影响反射比和透射比的因素，除了界面两边的性质以外，还要考虑入射波的偏振性和入射角的影响 。 当入射波电矢量取任意方位角α时，可以证明 10-74  22 cossin ps    22 cossin ps  对于自然光，可将其看成具有一切可能振动方向的光波的总和，利用上面的结果，对所有可能的方 位角取值α（α从 0→π）所对应的反射比取平均，求得自然光反射比为 10-752/)(cossin 22 pspsn   < >表示取平均。容易证明ρn与ρ45°完全一样。 图 10-12示出了空气-玻璃界面（n =1.52），ρs、ρp和ρ n随入射角变化的关系曲线（n＜1的情况在全反射时讨论）。 在入射角小于 45°的区域，ρn几乎不变，与正入射时 相近；当θ1→π/2时，ρn很快趋于 1，因此，即使是很粗糙的表面也可以获得很高的反射比。正入射 时，自然光的反射比为 10-762) 1 1 (    n n n  15 这时ρn只取决于相对折射率 n = n2 / n1。如果 n1接近 n2，ρn就降低，这一原理用于需要减少反射 损失的情况。由图 10-12还看到，即使是正入射，反射损失总是存在的（如 n = 1.52时，ρn = 0.04），当 反射面多时，光能损失相当严重。现代光学技术普遍采用在光学元件表面镀增透膜的方法，以减少光能 损失。 （五）反射和折射时的偏振关系 从前面的讨论可见，一般情况下，rs≠rp，ts≠tp，反射光波和折射光波的振动面相对于入射光波的 振动面将发生偏转。 当入射光是自然光，如果入射角满足θ1+θ2=π/2，由式 10-71和图 10-12可知，ρp= 0，即反射光 中没有 p波，只有垂直于入射面振动的 s波，发生全偏振现象，反射光是偏振光，称这时的入射角为起 偏振角或布儒斯特（Brewster）角，记作θB。由折射定律可知 10-77ntg B  此时折射光波含有全部 p波和部分 s波，是一个 p波占优势的部分偏振光。当自然光以其它角度入 射时，反射光一般是 s波占优势的部分偏振光，而透射光是 p波占优势的部分偏振光。 光在界面上反射时产生全偏振现象。拨片堆由若干薄玻璃片叠 合而成（图 10-13），当光以θB角入射到玻片堆时，经过各片上下 表面的反射和折射，透射光中的 s波随反射次数的增加变得越来越 少，最后得到偏振程度相当高的平行于入射面振动的透射光。 全偏振现象在近代激光技术中的一个应用就是可以获得高相干度的单色线偏振光，在激光器谐振腔 的放电管上，以布儒斯特角斜贴上两块波片（图 10-14），形成一布儒斯特窗。S波在反射光方向上， 不能在谐振腔中形成多次反射，但沿轴向行进的 p 波能无损耗地通过布儒斯特窗，在谐振腔中经多次 反射得到增益而形成激光，最后出射的是平行于入 射面振动的 p波。 四、全反射 光波从光密介质射向光疏介质（n＜1）时，若增大折射角，根据折射定律，有 10-781sinsin 1 2 1 2   n n 16 满足上式条件的折射角不存在，这时没有折射光，在界面上所有的光都反射回介质 1。这种现象称 为全反射。当入射角为 10-79 n n n c  1 2sin 折射角θ2=90°，此时开始全反射，称θc为临界角。 （一）反射比 由菲涅尔公式及图 10-15，在全反射区间（θ1≥θc）， 有ρs=ρp=1，即ρn=1，所有光线全部返回介质 1。 从图 10-15还可看到，当入射角从θB变化到θc时，ρp从 0很快上升到 1，反射率在临界角附近发 生急剧变化，当折射率差大时更为显著。例如，玻璃-空气界面（n1=1.52，n2=1），当θB =33°20′，ρ p =0；相应的θc =41°8′，ρp =1，入射角变化了 7°48′。如果是透红外光的锗片（n1=4.0），则有θB =14°2′，θc =14°29′，入射角仅变化了 27′，反射比就从 0陡然上升到 1。这种性质在激光技术等 方面得到应用。 图 10-16是利用临界角高精度对焦。当光点准确聚焦在光 盘上时，经反射后入射在全反射棱镜的斜面上的光是平行光， 且入射角大于临界角，因此光检测器全亮；当光点没有被准确 聚焦时，光在棱镜斜面上的入射角就有部分小于临界角，故反 射率急剧下降，使光检测器上出现明暗区域。通过检查明暗区 域之差，就可以知道离焦量、判断离焦的方向，具有很高的对 焦精度。 （二）相位变化 光在界面上发生全反射，由折射定律，给出以下形式的折射角 10-80n/sinsin 12   1 sin cos 2 1 2 2  n i   代入 10-60a、10-64a，有 10-81aSi ss er ni ni r    || sincos sincos 2 1 2 1 2 1 2 1     10-81bPi pp er nin nin r    || sincos sincos 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2     17 以上两式表明，rs和 rp是复数，分子分母为共轭关系。| rs| 和 | rp| 表示反射波和入射波的实振幅之 比，其值等于 1，说明全反射时光能全部反射回介质 1。δs和δp分别表示全反射时 s波和 p波的相位 变化，由 10-81可以求得 10-82 1 2 1 2 cos sin 2    n tg s   1 2 2 1 2 cos sin 2    n n tg p   δs和δp随θ1的变化关系如图 10-17所 示。可见全反射时的 s波和 p波在界面上有不 同的相位改变。因此在反射光中 s波和 p波有 一相位差δ，为 10-8312 2 1 2 1 sin sincos 22     n tgtg ps     可见，当入射角θ1等于临界角θc和 90°时，反射光中 s波和 p波的相位差为零，如果这时入射光 为线偏振光，则反射光也为线偏振光。但当入射角θ1＞θc，且入射线偏振光的振动方向与入射面的交 角α≠0或 90°时，δ≠0或π，反射光将成为椭圆偏振光。 （三）倏逝波 实验表明，全反射时光波不是绝对地在界面上被全部反射回第一介质，而是透入第二介质大约一个 波长的深度，并沿着界面流过波长量级的距离后重新返回第一介质，沿着反射光方向射出。这个沿着第 二介质表面流动的波称为倏逝波。从电磁场的连续条件来看，倏逝波的存在是必然的。因为电场和磁场 不会在两介质的界面上突然中断，在第二介质中应有透射波存在，并具有特殊的形式。 设取 xz平面为入射面，由 10-28，其透射波可表示为 )exp()]cossin(exp[ 22222 tizxikAE   将 10-80代入上式，并利用 k1= k2 / n，可得 10-84)]sin(exp[]sinexp[ 11 2 1 2 122 txkinzkAE   式中，k、k分别为介质 1和 2中的波数。10-84表 明，透射波是一个沿 x方向传播其振幅在 z方向作指数衰 减的波，就是倏逝波（图 10-18）。可以看出，这是一个 非均匀波，其等振幅面是 z为常数的平面，其等相面 18 是 x为常数的平面，两者互相垂直，波长和传播速度分别为 10-85~86 1 1 11 2 sinsin 2       k 1 1 2 sin v v  10-84还表明，倏逝波的振幅随透入深度 z的增加急剧下降。通常定义振幅减少到界面（z= 0）处振 幅的 1/e时的深度为穿透深度，则 10-87 2 1 1 0 sin2 n z     例如，n1=1.5，n2=1，θ1=45°时，有 z0=0.45λ。说明穿透深度很小，只有入射波长量级。进一步 研究倏逝波在第二介质中能量流动情况，计算辐射强度矢量的平均值，有 ＜Sy＞=0， ＜SZ＞=0， ＜SX＞=＜EyHz-EzHy＞= 10-880)|||(| 2 1 22 2 2 1  ps tt v A 即只有沿 x方向（界面）有能量流动，而 y、z方向 的平均能流为零。表明流入第二介质的能量全部返回第一 介质。实验和计算还证明，一束有限宽度的平行光全反射 时，反射光沿界面产生侧向位移，称为古斯-哈恩森（Goos- Haenchen）位移。例如 n1=1.5，n2=1，θ1=45°，λ=632.8nm， 入射光是平行于入射面振动的 p波时，其 位移 l=0.9λ。从图 10-19可以看到，入射到M点并全反射的光，只沿 x方向进行了 l=M M`距离，就在 M`点沿反射光方向出射。反射光对应入射光是圆偏振光。 全反射的特点：无反射能量损失、反射时有相位变化、存在倏逝波，在许多方面得到应用。 由于全反射没有透射损失，使用各种全反射棱镜。光导纤维和薄膜光波导。 利用倏逝波特性产生的受抑全反射效应，制成光调制器和光输出偶合器。 利用全反射时的相位变化，选取适当的折射率和入射角，可以得到特定的相位差，从而改变入射光 的偏振状态。 第三节 光在金属表面的反射和透射 金属是导电媒质，一般为良导体，电导率σ很大，并且σ/（ωε）＞＞1，表明金属的导电性能还 与外界电磁场（入射光波）的角频率ω有关。一般金属导体的σ/ω的大小在 10-17s左右，故光波频率ω ＜＜1017Hz时，金属均可看成为良导体。 19 一、金属中的光波 媒质是导体（金属）的情况下，麦克斯韦方程组的形式与电介质时不同。因为金属中存在着大量的 非束缚自由电子，即σ≠0，在外界场的作用下，金属中能产生传导电流密度 jjj j =σEEE E 。此时波动的微分方 程为 10-890 2 2 2        t E t E E  对于单色光波， 和 ，因此上式可以写成t eEE  ~ i t    （金属中） 10-900)(22  EiE    （电介质中） 10-91022  EE  定义复介电常数 10-92 r i      0 则金属也具有和电介质情况下的波动方程完全相同的形式。可类似地定义复相位速度、复折射率。 10-93~94 rr c v     k c v c n rr ˆ       复折射率一般又可表示为 10-95)1(ˆ inn  式中，n是金属的折射率，等价于电介质的折射率，决定光波在金属中的传播速度；κ是衰减系数， 决定光波在金属中的传播时振幅的衰减（或吸收）特性。利用 10-94，于是有 10-96)1(ˆˆ iknnkk  为简单起见，设波沿 x方向行进，这样可以写出金属中沿 x方向行进的平面波的表示式为 10-97)(exp)exp()]ˆ(exp[ tknxixknAtxkiAE   上式第二个指数项表示沿 x方向行进的平面波，第一个指数项表示金属中光波的振幅，随着进入金 属中深度 x的增加，振幅按指数变化急剧衰减，并且当入射光波频率ν（即ω）和衰减系数κ（正比于 σ）增大时，这种衰减优为明显。设进入金属中的光其振幅下降到界面上振幅的 1/e时的深度 x0为穿透 深度，由 10-97，有 10-98   n x 1 20  利用 10-95和 10-92、10-94，对金属良导体（ε≤σ/ω）的情况，得到 10-99 02   r n  代入 10-98，得穿透深度为 20 10-100         22 2 2 2 00 0  c x 对银来说，σ=6.21×107Ω-1m-1，μ=1.26×10-6H m-1，ω=3.2×1015s-1，当λ=550nm 时，可算出 x0=2.73nm。可见光波只能透入金属表面很薄的表层。这因为金属中有大量的自由电子，使金属存在明显 的吸收，所以金属一般是非透明的。 二、金属表面的反射 对于电介质表面反射和折射时的菲涅尔公式，只要将复折射率代替实折射率。有 10-10112 sinˆ 1ˆsin  n  对于金属界面依然有效。当然由于金属表面存在强烈吸收，所以界面上观察到的现象几乎是由反射 引起的。改写后的菲涅尔公式为 10-102~103Si ss err    |ˆ| )ˆsin( )ˆsin( ˆ 21 21     Pi pp er tg tg r    |ˆ| )ˆ( )ˆ( ˆ 21 21     其反射比表示式为 10-104~105 222 1 222 12 )cos( )cos( |ˆ|    nn nn r ss    222 1 222 12 ) cos 1 ( ) cos 1 ( |ˆ|      nn nn r pp    正入射时有 10-106 nn nn n n 21)1( 21)1( 1ˆ 1ˆ 22 222          由上式可知，当σ=0时κ→0，可得到与电介质相同的