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高数总结.pdf

高数总结

用户9u7e96h4cz
2014-02-25 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《高数总结pdf》,可适用于高等教育领域

考研数学知识点高等数学Editedby杨凯钧年月一函数的概念.用变上、下限积分表示的函数()()dttfyx∫=其中()tf连续则()xfdxdy=()()()()dttfyxx∫=ϕϕ其中()xϕ()xϕ可导()tf连续则()()()()xxfxxfdxdyϕϕϕϕ′−′=.两个无穷小的比较设()lim=xf()lim=xg且()()lxgxf=lim()=l称()xf是比()xg高阶的无穷小记以()()xgxf=称()xg是比()xf低阶的无穷小。()≠l称()xf与()xg是同阶无穷小。()=l称()xf与()xg是等价无穷小记以()()xgxf~.常见的等价无穷小当→x时xx~sinxx~tanxx~arcsinxx~arctan~cosxx−xex~−()xx~ln()xxαα~−二.求极限的方法.利用极限的四则运算和幂指数运算法则.两个准则准则.单调有界数列极限一定存在()若nnxx≤(n为正整数)又mxn≥(n为正整数)则Axnn=∞→lim存在且mA≥()若nnxx≥(n为正整数)又Mxn≤(n为正整数)则Axnn=∞→lim存在且MA≤准则.(夹逼定理)设()()()xhxfxg≤≤若()Axg=lim()Axh=lim则()Axf=lim.两个重要公式公式.sinlim=→xxx公式.ennn=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∞→limeuuu=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∞→lim()evvv=→lim.用无穷小重要性质和等价无穷小代换.用泰勒公式(比用等价无穷小更深刻)(数学一和数学二)当→x时()nnxxnxxxe!!=Λ()()()!!!sin−−=nnnxnxxxxxΛ()()()nnnxnxxxx!!!cos−−−=Λ()()()nnnxnxxxxxln−−−=Λ()()arctan−−−=nnnxnxxxxxΛ()()()()()nnxxnnxxx!!−−−−=αααααααΛΛ.洛必达法则法则.(型)设()()lim=xf()lim=xg()x变化过程中()xf′()xg′皆存在()()()Axgxf=′′lim(或∞)则()()Axgxf=lim(或∞)(注:如果()()xgxf′′lim不存在且不是无穷大量情形则不能得出()()xgxflim不存在且不是无穷大量情形)法则.(∞∞型)设()()∞=xflim()∞=xglim()x变化过程中()xf′()xg′皆存在考研数学知识点高等数学Editedby杨凯钧年月()()()Axgxf=′′lim(或∞)则()()Axgxf=lim(或∞).利用导数定义求极限基本公式:()()()limxfxxfxxfx′=∆−∆→∆如果存在.利用定积分定义求极限基本公式()∫∑=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∞→limdxxfnkfnnkn如果存在三.函数的间断点的分类函数的间断点分为两类:()第一类间断点设x是函数()xfy=的间断点。如果()xf在间断点x处的左、右极限都存在则称x是()xf的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。()第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。四.闭区间上连续函数的性质在闭区间ba,上连续的函数()xf有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。定理.(有界定理)如果函数()xf在闭区间ba,上连续则()xf必在ba,上有界。定理.(最大值和最小值定理)如果函数()xf在闭区间ba,上连续则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。其中最大值M和最小值m的定义如下:定义设()Mxf=是区间ba,上某点x处的函数值如果对于区间ba,上的任一点x总有()Mxf≤则称M为函数()xf在ba,上的最大值。同样可以定义最小值m。定理.(介值定理)如果函数()xf在闭区间ba,上连续且其最大值和最小值分别为M和m则对于介于m和M之间的任何实数c在ba,上至少存在一个ξ使得()cf=ξ推论:如果函数()xf在闭区间ba,上连续且()af与()bf异号则在()ba,内至少存在一个点ξ使得()=ξf这个推论也称为零点定理五.导数与微分计算.导数与微分表()=′c()=cd()−=′αααxx(α实常数)()dxxxd−=ααα(α实常数)()xxcossin=′xdxxdcossin=()xxsincos−=′xdxxdsincos−=()xxsectan=′xdxxdsectan=()xxcsccot−=′xdxxdcsccot−=()xxxtansecsec=′xdxxxdtansecsec=()xxxcotcsccsc−=′xdxxxdcotcsccsc−=()axxalnlog=′(),≠>aaaxdxxdalnlog=(),≠>aa()xxln=′dxxxdln=()aaaxxln=′(),≠>aaadxadaxxln=(),≠>aa考研数学知识点高等数学Editedby杨凯钧年月()xxee=′dxedexx=()arcsinxx−=′dxxxdarcsin−=()arccosxx−−=′dxxxdarccos−−=()arctanxx=′dxxxdarctan=()cotxxarc−=′dxxxdarccot−=()lnaxaxx=′()dxaxaxxdln=()lnaxaxx−=′−()dxaxaxxdln−=−.四则运算法则()()()()xgxfxgxf′±′=′±()()()()()()xgxfxgxfxgxf′′=′⋅()()()()()()()xgxgxfxgxfxgxf′−′=′⎥⎦⎤⎢⎣⎡()()≠xg.复合函数运算法则设()ufy=()xuϕ=如果()xϕ在x处可导()uf在对应点u处可导则复合函数()xfyϕ=在x处可导且有()()xxfdxdududydxdyϕϕ′′==对应地()()()dxxxfduufdyϕϕ′′=′=由于公式()duufdy′=不管u是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。.由参数方程确定函数的运算法则设()txϕ=()tyψ=确定函数()xyy=其中()tϕ′()tψ′存在且()≠′tϕ则()()ttdxdyϕψ′′=()()≠′tϕ二阶导数()()()()()tttttdtdxdtdxdyddxdxdyddxydϕϕψϕψ′′′′−′′′=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=.反函数求导法则设()xfy=的反函数()ygx=两者皆可导且()≠′xf则()()()ygfxfyg′=′=′()()≠′xf二阶导数()()()dxdydxxfddyygdyg⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡′=′=′′()()()(){}ygfygfxfxf′′′−=′′′−=()()≠′xf.隐函数运算法则设()xyy=是由方程(),=yxF所确定求y′的方法如下:把(),=yxF两边的各项对x求导把y看作中间变量用复合函数求导公式计算然后再解出y′的表达式(允许出现y变量).对数求导法则先对所给函数式的两边取对数然后再用隐函数求导方法得出导数y′。对数求导法主要用于:①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数关于幂指函数()()xgxfy=常用的一种方法考研数学知识点高等数学Editedby杨凯钧年月()()xfxgeyln=这样就可以直接用复合函数运算法则进行。.可微与可导的关系()xf在x处可微()xf⇔在x处可导。.求n阶导数(≥n正整数)先求出,,,Λyy′′′总结出规律性然后写出()ny最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n阶导数公式()xey=()xney=()(),≠>=aaayx()()nxnaayln=()xysin=()⎟⎠⎞⎜⎝⎛=sinπnxyn()xycos=()⎟⎠⎞⎜⎝⎛=cosπnxyn()xyln=()()()nnnxny−−−−=!两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式()()()()()()()∑=−=nkknkknnxvxuCxvxu其中()!!!knknCkn−=()()()xuxu=()()()xvxv=假设()xu和()xv都是n阶可导。微分中值定理一.罗尔定理设函数()xf满足()在闭区间ba,上连续()在开区间()ba,内可导()()()bfaf=则存在()ba,∈ξ使得()=′ξf二.拉格朗日中值定理设函数()xf满足()在闭区间ba,上连续()在开区间()ba,内可导则存在()ba,∈ξ使得()()()ξfabafbf′=−−或写成()()()()abfafbf−′=−ξ()ba<<ξ有时也写成()()()xxxfxfxxf∆⋅∆′=−∆θ()<<θ这里x相当a或b都可以x∆可正可负。推论.若()xf在()ba,内可导且()≡′xf则()xf在()ba,内为常数。推论.若()xf()xg在()ba,内皆可导且()()xgxf′≡′则在()ba,内()()cxgxf=其中c为一个常数。三.柯西中值定理(数学四不要)设函数()xf和()xg满足:()在闭区间,ba上皆连续()在开区间()ba,内皆可导且()≠′xg则存在()ba,∈ξ使得()()()()()()ξξgfagbgafbf′′=−−()ba<<ξ(注:柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广特殊情形()xxg=时柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。)四.泰勒定理(泰勒公式)(数学一和数学二)定理.(皮亚诺余项的n阶泰勒公式)设()xf在x处有n阶导数则有公式()()()()()()()()()()xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn−−′′−′=!!!Λ考研数学知识点高等数学Editedby杨凯钧年月()xx→其中()()nnxxxR−=()xx→称为皮亚诺余项。()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−→limnnxxxxxR前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形根据不同情形取适当的n所以对常用的初等函数如()xxxexln,cos,sin,和()αx(α为实常数)等的n阶泰勒公式都要熟记。定理(拉格朗日余项的n阶泰勒公式)设()xf在包含x的区间()ba,内有n阶导数在ba,上有n阶连续导数则对bax,∈有公式()()()()()()()()()()xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn−−′′−′=!!!Λ其中()()()()()!−=nnnxxnfxRξ(ξ在x与x之间)称为拉格朗日余项。上面展开式称为以x为中心的n阶泰勒公式。当=x时也称为n阶麦克劳林公式。如果()lim=∞→xRnn那么泰勒公式就转化为泰勒级数这在后面无穷级数中再讨论。导数的应用:一.基本知识.定义设函数()xf在()ba,内有定义x是()ba,内的某一点则如果点x存在一个邻域使得对此邻域内的任一点()xxx≠总有()()xfxf<则称()xf为函数()xf的一个极大值称x为函数()xf的一个极大值点如果点x存在一个邻域使得对此邻域内的任一点()xxx≠总有()()xfxf>则称()xf为函数()xf的一个极小值称x为函数()xf的一个极小值点。函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。.必要条件(可导情形)设函数()xf在x处可导且x为()xf的一个极值点则()=′xf。我们称x满足()=′xf的x为()xf的驻点可导函数的极值点一定是驻点反之不然。极值点只能是驻点或不可导点所以只要从这两种点中进一步去判断。.第一充分条件设()xf在x处连续在δ<−<xx内可导()xf′不存在或()=′xf。°如果在(),xxδ−内的任一点x处有()>′xf而在()δ,xx内的任一点x处有()<′xf则()xf为极大值x为极大值点°如果在(),xxδ−内的任一点x处有()<′xf而在()δ,xx内的任一点x处有()>′xf则()xf为极小值x为极小值点°如果在(),xxδ−内与()δ,xx内的任一点x处()xf′的符号相同那么()xf不是极值x不是极值点。.第二充分条件设函数()xf在x处有二阶导数且()=′xf()≠′′xf则当()<′′xf时()xf为极大值x为极大值点。当()>′′xf时()xf为极小值x为极小值点。考研数学知识点高等数学Editedby杨凯钧年月二.函数的最大值和最小值.求函数()xf在ba,上的最大值和最小值的方法首先求出()xf在()ba,内所有驻点和不可导点kxx,,Λ其次计算()()()()bfafxfxfk,,,,Λ。最后比较()()()()bfafxfxfk,,,,Λ其中最大者就是()xf在ba,上的最大值M其中最小者就是()xf在ba,上的最小值m。.最大(小)值的应用问题首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间然后再求出目标函数在区间内的最大(小)值。三.凹凸性与拐点.凹凸的定义设()xf在区间I上连续若对任意不同的两点,xx恒有()()()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛<⎟⎠⎞⎜⎝⎛>⎟⎠⎞⎜⎝⎛xfxfxxfxfxfxxf则称()xf在I上是凸(凹)的。在几何上曲线()xfy=上任意两点的割线在曲线下(上)面则()xfy=是凸(凹)的。如果曲线()xfy=有切线的话每一点的切线都在曲线之上(下)则()xfy=是凸(凹)的。.拐点的定义曲线上凹与凸的分界点称为曲线的拐点。.凹凸性的判别和拐点的求法设函数()xf在()ba,内具有二阶导数()xf′′如果在()ba,内的每一点x恒有()>′′xf则曲线()xfy=在()ba,内是凹的如果在()ba,内的每一点x恒有()<′′xf则曲线()xfy=在()ba,内是凸的。求曲线()xfy=的拐点的方法步骤是:第一步:求出二阶导数()xf′′第二步:求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点x、x、…、kx第三步:对于以上的连续点检验各点两边二阶导数的符号如果符号不同该点就是拐点的横坐标第四步:求出拐点的纵坐标。四.渐近线的求法.垂直渐近线若()∞=→xfaxlim或()∞=−→xfaxlim则ax=为曲线()xfy=的一条垂直渐近线。.水平渐近线若()bxfx=∞→lim或()bxfx=−∞→lim则by=是曲线()xfy=的一条水平渐近线。.斜渐近线若()lim≠=∞→axxfx()baxxfx=−∞→lim或()lim≠=−∞→axxfx()baxxfx=−−∞→lim则baxy=是曲线()xfy=的一条斜渐近线。五.曲率(数学一和数学二)设曲线()xfy=它在点()yxM,处的曲率()yyk′′′=若≠k则称kR=为点()yxM,处的曲率半径在M点的法线上凹向这一边取一点D使RMD=则称D为曲率中心以D为圆心R为半径的圆周称为曲率圆。不定积分一.基本积分公式.Cxdxx=∫ααα()实常数−≠α考研数学知识点高等数学Editedby杨凯钧年月.∫=Cxdxxln.∫=Caadxaxxln(),≠>aaCedxexx=∫.∫=Cxxdxsincos.∫−=Cxxdxcossin.Cxdxxxdx==∫∫tancossec.Cxdxxxdx−==∫∫cotsincsc.Cxxdxx=∫secsectan.Cxxdxx−=∫csccsccot.Cxxdx−=∫coslntan.Cxxdx=∫sinlncot.Cxxxdx=∫tanseclnsec.Cxxxdx−=∫cotcsclncsc.∫=−Caxxadxarcsin()>a.Caxaxadx=∫arctan()>a.Cxaxaaxadx−=−∫ln()>a.Caxxaxdx±=±∫ln()>a二.换元积分法和分部积分法.第一换元积分法(凑微分法)设()()CuFduuf=∫又()xϕ可导则()()()()()()duufxuxdxfdxxxf∫∫∫==′ϕϕϕϕϕ令()()CxFCuF==ϕ这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”也就是非常熟练地凑出微分。常用的几种凑微分形式:()()()()∫∫=baxdbaxfadxbaxf()≠a()()()()∫∫=−baxdbaxfnadxxbaxfnnnn(),≠≠na()()()()xdxfxdxxflnlnln∫∫=()⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∫∫xdxfxdxxf()()()()∫∫=xdxfxdxxf()()()()∫∫=xxxxadafadxaafln(),≠>aa()()()∫∫=xxxxedefdxeef()()()()∫∫=xdxfxdxxfsinsincossin()()()()∫∫−=xdxfxdxxfcoscossincos()()()()∫∫=xdxfxdxxftantansectan()()()()∫∫−=xdxfxdxxfcotcotcsccot()()()()∫∫=xdxfxdxxxfsecsectansecsec()()()()∫∫−=xdxfxdxxxfcsccsccotcsccsc()()()()∫∫=−xdxfdxxxfarcsinarcsinarcsin()()()()∫∫−=−xdxfdxxxfarccosarccosarccos()()()()∫∫=xdxfdxxxfarctanarctanarctan()()()()∫∫−=xarcdxarcfdxxxarcfcotcotcot考研数学知识点高等数学Editedby杨凯钧年月()∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛xdxfdxxxfarctanarctanarctan()()()()()∫∫=lnlnlnaxxdaxxfdxaxaxxf()>a()()()()()∫∫−−=−−lnlnlnaxxdaxxfdxaxaxxf()>a()()()()Cxfdxxfxf=′∫ln()()≠xf.第二换元积分法设()txϕ=可导且()≠′tϕ若()()()CtGdtttf=′∫ϕϕ则()()()()()()CxGCtGdtttftxdxxf==′=∫∫−ϕϕϕϕ令其中()xt−=ϕ为()txϕ=的反函数。第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数通过换元把根式去掉其常见的变量替换分为两大类:第一类:被积函数是x与nbax或x与ndcxbax或由xe构成的代数式的根式例如baex等。只要令根式()txgn=解出()txϕ=已经不再有根式那么就作这种变量替换()txϕ=即可。第二类:被积函数含有()≠ACBxAx如果仍令tCBxAx=解出()txϕ=仍是根号那么这样变量替换不行要作特殊处理将>A时先化为()lxxA±−<A时先化为()()xxlA−−−然后再作下列三种三角替换之一:根式的形式所作替换三角形示意图(求反函数用)xa−taxsin=xataxtan=ax−taxsec=.分部积分法设()xu()xv均有连续的导数则()()()()()()∫∫−=xduxvxvxuxdvxu或()()()()()()∫∫′−=′dxxvxuxvxudxxvxu使用分部积分法时被积函数中谁看作()xu谁看作()xv′有一定规律。()()axnexP()axxPnsin()axxPncos情形()xPn为n次多项式a为常数要进行n次分部积分法每次均取axeaxsinaxcos为()xv′多项式部分为()xu。()()xxPnln()xxPnarcsin()xxPnarctan情形()xPn为n次多项式取()xPn为()xv′而xlnxarcsinxarctan为()xu用分部积分法一次被积函数的形式发生变化再考虑其它方法。()bxeaxsinbxeaxcos情形进行二次分部积分法后要移项合并。()比较复杂的被积函数使用分部积分法要用凑微考研数学知识点高等数学Editedby杨凯钧年月分法使尽量多的因子和dx凑成一.定积分的概念与性质.定积分的性质()()()∫∫−=baabdxxfdxxf()()=∫aadxxf()()()()()∫∫∫=bababadxxfkdxxfkdxxfkxfk()()()()∫∫∫=bccabadxxfdxxfdxxf(c也可以在ba,之外)()设ba≤()()xgxf≤()bxa≤≤则()()∫∫≤babadxxgdxxf()设ba<()Mxfm≤≤()bxa≤≤则()()()abMdxxfabmba−≤≤−∫()设ba<则()()∫∫≤babadxxfdxxf()定积分中值定理设()xf在ba,上连续则存在ba,∈ξ使()()()abfdxxfba−=∫ξ定义:我们称()∫−badxxfab为()xf在ba,上的积分平均值()奇偶函数的积分性质()=∫−aadxxf(f奇函数)()()∫∫=−aaadxxfdxxf(f偶函数)()周期函数的积分性质设()xf以T为周期a为常数则()()∫∫=TTaadxxfdxxf二.基本定理.变上限积分的函数定义:设()xf在ba,上可积则()()∫=xadttfxFbax,∈称为变上限积分的函数定理:()若()xf在ba,上可积则()()∫=xadttfxF在ba,上连续()若()xf在ba,上连续则()()∫=xadttfxF在ba,上可导且()()xfxF=′推广形式:设()()()()∫=xxdttfxFϕϕ()()xx,ϕϕ可导()xf连续则()()()()()xxfxxfxFϕϕϕϕ′−′=′.牛顿一莱布尼兹公式设()xf在ba,上可积()xF为()xf在ba,上任意一个原函数则有()()()()aFbFabxFdxxfba−==∫(注:若()xf在ba,上连续可以很容易地用上面变上限积分的方法来证明若()xf在ba,上可积牛顿一莱布尼兹公式仍成立但证明方法就很复杂)三.定积分的换元积分法和分部积分法.定积分的换元积分法设()xf在ba,上连续若变量替换()txϕ=满足()()tϕ′在βα,(或αβ,)上连续()()a=αϕ()b=βϕ且当βα≤≤t时()bta≤≤ϕ则()()()∫∫′=badtttfdxxfβαϕϕ.定积分的分部积分法设()()xvxu′′,在ba,上连续则()()()()()()dxxvxuxvxudxxvxubababa∫∫′−=′或()()()()()()∫∫−=bababaxduxvxvxuxdvxu考研数学知识点高等数学Editedby杨凯钧年月定积分的应用一.平面图形的面积.直角坐标系模型I()()dxxyxySba∫−=其中()()xyxy≥bax,∈模型II()()dyyxyxSdc∫−=其中()()yxyx≥dcy,∈.构坐标系模型I()θθβαdrS∫=模型II()()θθθβαdrrS∫−=.参数形式表出的曲线所围成的面积设曲线C的参数方程()()⎩⎨⎧==tytxψϕ()βα≤≤t()a=αϕ()b=βψ()tϕ在βα,(或αβ,)上有连续导数且()tϕ′不变号()≥tψ且连续则曲边梯形面积(曲线C与直线bxax==,和x轴所围成)()()∫∫′==βαϕψdtttydxSba二.平面曲线的弧长(数学一和数学二).直角坐标系设光滑曲线()xyy=()bxa≤≤也即()xy有连续的导数弧长()dxxySba∫′=而()dxxydS′=也称为弧微分.构坐标系设光滑曲线()θrr=()βθα≤≤()θr在βα,上有连续导数弧长()()θθθβαdrrS∫′′=.参数方程所表曲线的弧长设光滑曲线()()⎩⎨⎧==tyytxxC()βα≤≤t()tx()ty在βα,上有连续的导数曲线C的弧长()()dttytxS∫′′=βα三.特殊的空间图形的体积(一般体积要用二重积分).已知平行截面面积的立体体积设空间一个立体由一个曲面和垂直于z轴两平面cz=和dz=所围成z轴每一点()dzcz≤≤且垂直于z轴的立体截面的面积()zS为已知的连续函数则立体体积()∫=dcdzzSV.绕坐标轴旋转的旋转体的体积()平面图形由曲线()xyy=()≥与直线ax=bx=和x轴围成绕x轴旋转一周的体积考研数学知识点高等数学Editedby杨凯钧年月()dxxyVbax∫=π绕y轴旋转一周的体积()∫=baydxxxyVπ()平面图形由曲线()yxx=()≥与直线cy=dy=和y轴围成绕y轴旋转一周的体积()dyyxVdcy∫=π绕x轴旋转一周的体积()∫=dcxdyyyxVπ四.绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积(数学一和数学二)设平面曲线ABC∩=位于x轴上方它绕x轴一周所得旋转曲面的面积为S。.设AB∩的方程为()xyy=()bxa≤≤则()()dxxyxySba∫′=π.设AB∩的极坐标方程为()θrr=()βθα≤≤则()()()θθθθθπβαdrrrSsin′′=∫.设AB∩的参数方程为()txx=()tyy=()βα≤≤t则()()()dttytxtyS′′=∫βαπ常微分方程二.变量可分离方程及其推广.变量可分离的方程()方程形式:()()()()≠=yQyQxPdxdy通解()()∫∫=CdxxPyQdy(注:在微分方程求解中习惯地把不定积分只求出它的一个原函数而任意常数另外再加)()方程形式:()()()()=dyyNxMdxyNxM通解()()()()CdyyNyNdxxMxM=∫∫()()(),≠≠yNxM.变量可分离方程的推广形式()齐次方程⎟⎠⎞⎜⎝⎛=xyfdxdy令uxy=则()ufdxduxudxdy==()cxcxdxuufdu==−∫∫||ln考研数学知识点高等数学Editedby杨凯钧年月()()(),≠≠=bacbyaxfdxdy令ucbyax=则()ubfadxdu=()cxdxubfadu==∫∫()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=cybxacybxafdxdy①当≠=∆baba情形先求出⎩⎨⎧==cybxacybxa的解()βα,令α−=xuβ−=yv则⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=uvbauvbafvbuavbuafdudv属于齐次方程情形②当==∆baba情形令λ==bbaa则()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=cybxacybxafdxdyλ令ybxau=则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==cucufbadxdybadxduλ属于变量可分离方程情形。三.一阶线性方程及其推广.一阶线性齐次方程()=yxPdxdy它也是变量可分离方程通解公式()∫−=dxxPCey(c为任意常数).一阶线性非齐次方程()()xQyxPdxdy=用常数变易法可求出通解公式令()()∫−=dxxPexCy代入方程求出()xC则得()()()∫=∫∫−CdxexQeydxxPdxxP.贝努利方程()()(),≠=ααyxQyxPdxdy令α−=yz把原方程化为()()()()xQzxPdxdzαα−=−再按照一阶线性非齐次方程求解。.方程:()()xyPyQdxdy−=可化为()()yQxyPdydx=以y为自变量x为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。四.全微分方程及其推广(数学一).全微分方程()(),,=dyyxQdxyxP满足yPxQ∂∂=∂∂通解:()Cyxu=,其中()yxu,满足()()()dyyxQdxyxPyxdu,,,=求()yxu,的常用方法。第一种:凑全微分法()()()yxdudyyxQdxyxP,,,==Λ把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流就很有帮助。()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛

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