如何为隐含波动率曲面建模？----来自香港市场的经验研究

如何为隐含波动率曲面建模？ ——来自香港市场的经验研究 陈蓉 吕恺1 厦门大学金融系 摘要 本文对香港恒生指数期权隐含波动率表面动态过程进行了实证建模和估计，建立 起了一个五因子随机隐含波动率模型。在模型的估计方法上，本文首次引入了基于小样本面 板数据的扩展的卡尔曼滤波法。结果显示，在香港市场上，扩展的卡尔曼滤波法比传统的两 步法可以得到更好的估计结果，本文建立起来的五因子随机隐含波动率模型能很好地刻画恒 指期权隐含波动率表面的变动规律，效果明显优于静态隐含波动率模型。 关键词: 隐含波动率表面; 随机隐含波动率; 扩展的卡尔曼滤波法. Abstract: This paper establishes a five-factor stochastic implied volatility surface model for the Hang Seng Index options market and first uses the extended Kalman Filter method for incomplete panel data to estimate the model parameters. The results show that in Hong Kong market, the extended Kalman Filter method is better than the traditional two-step method, and the five-factor stochastic implied volatility model does a much better job in capturing the dynamic behavior of the implied volatility surface than the determined or static implied volatility model. Key words: Implied Volatility Surface ;Stochastic Implied Volatility; the Extended Kalman Filter. 1作者简介：陈蓉，女，汉族，籍贯福建，金融学博士，金融 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 博士后，厦门大学经 济学院金融系和王亚南经济研究院教授，美国康奈尔大学博士后、美国北卡罗来纳大学访问 教授，研究领域：金融工程、风险管理、固定收益证券和结构性金融产品。Email: aronge@xmu.edu.cn；通讯地址：福建厦门 厦门大学金融系，361005。 吕恺，男，汉族，籍贯浙江金华，厦门大学金融系金融工程博士生。 引言 经典 Black-Scholes (1973)期权定价模型（以下简称 B-S 模型）是衍生产品定价模型的 基石。然而，市场资料显示，产品的市场价格往往与 B-S 理论价格存在明显背离，最突出 的表现就是非平的隐含波动率曲面的存在，并且隐含波动率曲面的形状会随时间而变动。 为了获得更贴近市场的定价模型，多年来学者们针对 B-S 模型的假设进行了种种改进， 其中应用最广泛的就是放松了波动率为常数的假设，引进了局部波动率模型（Local Volatility Model）和随机波动率模型（Stochastic Volatility Model）。前者将瞬时波动率视为时间和资产 价格的确定性函数；后者则假设瞬时波动率的变动由一个区别于标的价格过程的新风险源控 制，并且标的过程和波动率变动过程之间存在相关关系。然而，这两类模型的共同特征是在 估计参数时，都以尽可能地拟合当前的期权价格或隐含波动率曲面为目的。虽然这样校准得 到的参数的确可能获得与当前市场看似一致的隐含波动率曲面，但模型参数在时间序列上表 现极不稳定，表明这些模型在刻画波动率曲面随时间变动的特征方面表现很糟，需要不断地 重复校准估计以追踪隐含波动率曲面的时变特征（如 Dumas, Fleming, and Whaley (1998)和 Cont and Fonseca(2002)等）。也就是说，糟糕的样本外定价能力使得这些模型并未从根本上 解决 B-S 模型的不足。Hull and Suo (2002)也指出使用这些模型为路径依赖期权等奇异衍生 产品定价时存在很大的模型风险。 针对这一问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，一个可能的解决思路是直接对期权价格中观察到的隐含波动率曲面建 模，构建一个能够刻画其影响因素和时变特征的模型，并将其运用到衍生产品定价与风险管 理当中去。这种直接构建“隐含波动率模型”的思路与前述传统波动率模型的最大区别在于： 隐含波动率在传统波动率模型中是作为模型的输出变量或被解释变量；而在隐含波动率模型 中，隐含波动率成了输入变量，是被建模的对象。以隐含波动率作为输入变量，这就首先保 证了隐含波动率模型在普通期权市场上的无套利。隐含波动率模型的这一特点决定了其研究 具有丰富内涵和重要意义。 首先，与传统的衍生产品定价模型相比，隐含波动率模型具有信息优势。隐含波动率 模型的基本思想是在构建标的资产价格随机过程的同时，波动率模型采用期权市场中的隐含 波动率曲面模型。由于同时从标的市场和期权市场中获取信息，隐含波动率模型比传统的模 型改进体现了更多的信息优势，从而可以更有效地为衍生产品进行定价和风险管理。事实上， Cont and Fonseca (2002)指出，近期越来越多的实证表明发达市场中的期权价格不仅跟标的 资产的市场变动有关，而且跟期权市场本身的供求等信息相关。这样，仅仅基于标的资产随 机过程改进的模型，由于无法反映期权市场本身的信息，仍然无法很好地刻画期权价格的变 动特征。隐含波动率模型正是对这一不足之处的重要改进。 其次，隐含波动率模型的无套利思想提供了一种全新的波动率建模思路。可以看出， 传统波动率模型与隐含波动率模型之间的关系与利率市场中传统均衡利率模型与利率市场 模型(LMM)之间的关系十分类似。我们知道，利率动态模型始于均衡模型，但自 Heath, Jarrow and Morton(1992)提出无套利建模思想后，由于可操作性强，以市场利率期限结构为输入变 量的市场模型发展迅速，应用十分广泛。然而，波动率模型却似乎一直停留在均衡模型阶段。 隐含波动率模型的发展将能够填补市场模型在波动率领域应用中的空白，从而在（奇异）衍 生品定价和风险管理方面发挥重要的作用。 尽管如此，要运用隐含波动率模型进行定价和风险管理，其关键之处在于对整个隐含 波动率曲面构建动态模型并估计参数。而对一个面估计动态模型并非易事，该领域的研究才 刚刚开始。国外学者分别提出了确定性和随机性隐含波动率模型的基本框架，并对欧美期权 市场进行了一些实证研究，尚未获得非常一致的结论。 在此基础上，本文以香港市场中交易最为活跃的恒生指数期权为研究对象，探索如何 构建恒指期权的隐含波动率曲面的动态模型。我们发现无论从长期还是短期看，确定性隐含 波动率模型在香港市场上均表现不佳；而一个服从均值回归过程的五因子随机隐含波动率模 型则可以较好地刻画香港恒指期权隐含波动率曲面的随机变动。在估计方法上，我们发现国 外文献所采用的两步法并不适合于香港市场，本文引入的针对横截面样本数据缺失情况下的 卡尔曼滤波法在香港市场上则可以很大地改善两步估计法的结果。 本文是第一篇对香港市场隐含波动率曲面动态过程建模进行研究的 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 ，构造了相应 的因子模型，并针对香港市场部分横截面数据不足的特点首次在随机隐含波动率模型的估计 中引入了扩展的卡尔曼滤波方法，并取得了明显的效果。这些工作能为香港市场上奇异衍生 产品相应的定价和风险管理提供一个新的发展方向。 后文的主要结构安排如下：第 1 部分为文献综述，第 2 部分是介绍本文中使用的实证 模型，第 3 部分为样本和数据，第 4 部分报告实证建模和估计的结果，第 5 部分进行了稳健 性检验，最后是全文的结论。 1. 文献综述 到目前为止，对隐含波动率曲面建模的研究大体可分为两类：确定性隐含波动率模型与 随机隐含波动率模型。 1.1 确定性隐含波动率模型 与传统局部波动率模型类似，确定性隐含波动率模型并不引入新的风险源来描述隐含波 动率曲面的变动，而是简单假设隐含波动率的变动与期权的到期期限、行权价或在值程度 (moneyness)之间存在确定性关系，并且这种关系不随时间发生变化，因而也被称为静态模 型。其中三种常用的确定性变动规则分别为 Derman(1999)提出的粘性行权价规则（Sticky Strike Rule）、粘性 delta 规则（Sticky Delta Rule）和 Daglish, Hull and Suo(2007)提出的平稳 时间平方根规则（Stationary Square Root of Time Rule）。 其中，粘性行权价规则认为隐含波动率是行权价 K 和期权剩余期限 的确定性函数， 且该关系不随时间变化： ( , ) ( , ) ( , )t t tK K K       。 (1) 粘性 delta 规则认为隐含波动率是期权在值程度 m 和剩余期限 的确定性函数： ( , ) ( , ) ( , )t t tm m m       ， (2) 其中   ln ln r q T t K Km F Se             ，r 和 q 分别为无风险利率和连续红利率。可以看出， 在粘性 delta 规则下，以 K 和 表示的隐含波动率（通常称之为绝对隐含波动率）随时 间是变动的，而以 m 和 表示的隐含波动率（通常称之为相对隐含波动率）是不变的。 平稳时间平方根规则假设隐含波动率是由 m 和 的特定函数形式 m 决定的： ( , ) ( , ) ( )t t t mm m       。 (3) 由于简单易用，确定性模型在实务中应用较多。但它是否正确呢？一些学者进行了实证 检验，结论各异。Daglish, Hull and Suo(2007)用 OTC 市场 S&P500 期权的月度数据对这三种 规则进行了实证检验，发现在整个样本期内，粘性行权价规则效果较差，而后两种规则有相 对较好的解释力度。但 Dumas, Fleming, and Whaley (1998)用 S&P500 指数期权的周数据对确 定性波动率模型进行了检验，却发现静态拟合得到的参数结果极不稳定，会随时间发生显著 的变化。从理论上说，Dumas, Fleming, and Whaley (1998)的结论是符合直觉的，隐含波动率 与 m、 之间的关系应该是会随着时间变化的，确定性模型在这方面的假设显然过于简单了。 1.2 随机隐含波动率模型 1.2.1 随机隐含波动率理论框架 随机隐含波动率模型的基本思想是：从市场观察可知，隐含波动率曲面的动态过程很可 能是随机的。然而由于包含了不同期限和不同行权价的波动率，隐含波动率曲面的变动过程 是一个极其复杂的多维动态系统，不仅需要对每个波动率的随机过程建模，而且还要考虑各 个波动率随机过程之间的相关关系，这在现实中几乎不太可能实现。但人们发现，各个隐含 波动率的变动之间是高度相关的，受到某些共同因子的驱动。这样，我们可以去寻找影响隐 含波动率曲面上每个波动率变动的共同因子，并对这些因子的随机过程建模，最终由因子与 隐含波动率的关系得到整个隐含波动率曲面的随机过程。这就是所谓的“因子模型”。因子 模型最大的好处就在于降维，从而极大地简化了模型。 上述思想可用数学符号表示为     1( , , ) ( , , , ( ), ( )) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 p i i i i t m g t m y t y t dy t t dt t dw t          其中 ( , , )t m  是以 m 和 τ 表示的相对隐含波动率1，式（4）中的 g 就是 ( , , )t m  和 p 个因 子{yi}i=1,…p 之间在 t 时刻的函数关系，式（5）则刻画了因子 yi 在现实测度下的变动过程， 其中 dwi(t)表示 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 布朗运动，且满足 dwi(t) dwj(t)=ρijdt，ρij为因子间的相关系数。 从式（4）和（5），进一步由伊藤引理可得 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) p j j j d t m t m dt t m dw t         (6) 其中， ( , , ) ( ) , =1, ,pj j j gt m t j y       2 1 1 1 1( , , ) ( ) ( ) ( ) 2 p p p i ij i j i i ji i j g g gt m t t t t y y y                   这意味着只要找到合适的因子{yi}i=1,…p，建立和估计横截面方程(4)和因子变动方程(5)， 就可建立起现实测度下的隐含波动率曲面随机过程(6)，刻画隐含波动率曲面的时变特征。 得到随机隐含波动率的随机过程之后，如何将其运用于衍生产品定价和风险管理呢？ Schonbucher(1999)最早针对单个随机隐含波动率提出了复杂衍生产品定价的基本框架， 1 我们也可以构建绝对隐含波动率 ( , , )t K  的因子模型，但一般来说相对隐含波动率建模较为方便。 Ledoit(2002)则将其进行扩展，针对整个隐含波动率曲面的动态模型提出了定价模型1。由于 定价需在风险中性测度下进行，他们在无套利条件下推导发现，无论是绝对隐含波动率 ( , , )t K  还是相对隐含波动率 ( , , )t m  ，在风险中性测度下两者的漂移项都完全由其波动 项参数（即式(6)中的  0,j j p    ）决定。而波动项参数显然是不随测度转换而变化的，从而 可以在现实测度下由因子模型(4)和(5)估计得到。 只要得到风险中性测度下隐含波动率曲面的随机过程，我们就可以运用         * * 0 * 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ,0,0) ( ,0,0) ( ) 8 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) 9 j p j j j p j j j ds t r q s t dt s t v t dw t dv t t dt t dw t d t K T t K T dt t K T dw t                    为衍生产品 * ( )( ) [ ( )]r T ttP t E e payoff T   定价。其中 P(t)是衍生产品价格，*表明风险中性测度，s(t)为标的资产价格，v(t)表示标的资 产收益率的瞬时波动率。Ledoit(2002)、Hull(2007)和 Durrleman(2008)均证明， 瞬时波动率 v(t)等于期限趋于零的平价期权的隐含波动率，从而我们有式(8)2。 这样，如果衍生产品价格只依赖于标的资产价格变化，如常见的障碍期权、亚式期权等， 在定价时我们只需要用式(8)得到瞬时波动率在风险中性下的过程，用式(7)和(8)就可为其定 价了；如果衍生产品价格同时依赖于标的资产价格和期权价格（或隐含波动率）的变化，如 远期期权、复合期权、选择期权和波动率衍生品等，我们就需要同时用式(7)、(8)和(9)进行 定价。一般情况下，由于无法得到闭式解，需要采用数值方法求解。 1.2.2 随机隐含波动率实证研究 由上可见，运用随机隐含波动率为衍生产品定价的关键在于构建模型(6)。而模型(6)的 关键又在于寻找风险因子{yi}i=1,…p，并建立和估计横截面方程(4)和因子变动方程(5)。也正因 为此，目前对隐含波动率模型进行的实证研究都集中在因子选取和因子模型估计上。 在风险因子的选取方面，现有的文献主要采用两种方法。一种是利用非参的方法对隐含 波动率曲面的变动进行主成分 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，找出统计意义上的因子，通过对这些主要因子的变动过 程建模达到对整个波动率曲面变动过程的建模目的。其中的代表性论文为 Cont and Fonseca (2002) ，他们用 Karhunen-Loeve 分解技术对 DAX 和 S&P500 指数期权的隐含波动率曲面的 动态过程进行了主成份分析，得到了一个三因子的随机隐含波动率模型。然而，非参方法的 缺点在于对数据的要求比较高，并且得出的因子只有统计上的意义，对模型的进一步应用会 带来不少限制。 第二种方法为参数因子法。该方法首先用一个参数模型来拟合某个时点上的隐含波动 率曲面形状，如果拟合程度足够高，那么该时刻整个隐含波动率曲面就由这些参数决定，并 1 篇幅所限，本文仅给出结论，具体推导过程可参见 Schonbucher (1999)和 Ledoit(2002)。 2 注意平价期权的 m＝0。 且这些参数的变动在很大程度上解释了隐含波动率曲面的时变。因此，一个自然的做法就是 选用这些拟合得到的参数作为隐含波动率曲面的影响因子，用这些参数的变动刻画波动率曲 面的变动。该方法以 Hafner(2005)和 Goncalves and Guidolin(2006)为代表。 在参数因子法下，国外学者均使用两步法进行参数估计，即先用每天的横截面数据来 拟合式(4)，将估计得到的参数作为因子，再对这些因子进行时间序列建模估计式(5)，从而 得到相应的隐含波动率随机模型。参数因子法的优点在于因子往往具有比较明显的经济含义； 但两步估计法中第一步的估计误差很可能导致第二步的结果失真。 此外，Daglish, Hull and Suo(2007)用无套利分析方法研究了 S&P500 指数期权隐含波动 率曲面的变动，但他们是在波动率风险溢酬为零的假设条件下，把风险中性测度下隐含波动 率漂移项的限制应用于现实测度中进行了分析。由于波动率风险溢酬为零的假设显然与现实 存在很大差异，我们认为该方法的借鉴意义较小。 总之，目前对隐含波动率模型的研究都集中在如何为隐含波动率曲面建模并估计相应的 参数上。本文也是从这个角度出发，探索如何构建恒指期权的隐含波动率曲面的动态模型。 2. 实证模型 在本部分中，我们将介绍本文如何在前述的确定性和随机性隐含波动率模型的一般框架 （式(1)－(6)）下，运用实际数据选取和构造适合于特定市场的模型，并估计相应的参数。 2.1 确定性变动规则的实证模型 对确定性变动规则构建相应的实证模型，其基本思路就是对三种规则的数学表达式(1)、 (2)和(3)分别进行泰勒展开近似得到1 2 0 1 2 3 4ln ( , )t K a a K a K a a K          (1#) 20 1 2 3 4ln ( , )t m a a m a m a a m          (2#) 2 3 4 0 1 2 3 4ln ( , )t m m m mm a a a a a                           (3 #) 以上模型都假设隐含波动率服从对数正态分布，并且是关于 m（或 K）和 的函数。这样我 们就可以运用实际数据来检验上述模型是否适合特定市场。具体又可分为较为严格的长期检 验和较为宽松的短期检验。 长期检验是指直接运用较长时间的样本数据对上述各式回归，用 t 检验、调整 R2、均方 误（RMSE）和相对均方误（RRMSE）等常规指标检验在长期内这些确定性规则是否成立。 但正如 Derman(1999)所说，隐含波动率的变动（尤其在长期内）不可能服从某种真正 严格的确定性规则，但这些确定性规则可能在短期内是成立的。因此我们还要进行短期检验。 所谓短期检验就是对每个交易日的数据单独回归，再用当天回归的结果对下一天的数据进行 样本外预测，一直滚动检验直至样本期末，最后对所有样本外预测的结果进行汇总分析。如 果确定性规则在短期内是成立的，那么总体平均来看，回归参数在短期内就应该是稳定不变 的，短期内预测效果就应该较好。如果预测误差较大，说明这些确定性规则即使在短期内也 不成立，隐含波动率的变动与期权的到期期限、行权价或在值程度之间的确定性关系应该是 1 在实证检验中，我们实际上进行了多阶展开并进行了模型筛选，最终发现以下展开模型的实证效果相对 最好。 时变的，需要引入随机动态模型。 2.2 随机隐含波动率模型的实证模型 隐含波动率曲面随机模型的构建过程，就是隐含波动率与因子函数关系(4)和因子动态 过程(5)的构造和估计过程。其中核心环节有三： 2.2.1 构造隐含波动率与因子的函数关系 如前文所述，要构造隐含波动率与因子的函数关系（即式(4)），可以采用主成份分析， 直接用统计方法提炼相互独立的因子并建模。但非参方法对数据要求较高，而且因子只有统 计意义。因此本文选择了参数因子法，希望能够筛选出比较具有经济意义的影响因子。 那么究竟应该如何选择具体的因子呢？我们认为，实际上式(4)是隐含波动率与因子之 间横截面的静态模型，而式(5)则是相应因子的动态模型。因此一个自然的做法就是采用前 述的确定性变动规则来构造横截面方程(4)。因为这些确定性规则实际上描述了隐含波动率 与在值程度、期限等之间在横截面上的静态相关性，具有较强的经济含义。那么在三个确定 性规则中，选择哪个较好呢？ 从理论上分析，相比隐含波动率与 K 之间的关系，隐含波动率与 m 之间的关系显然更 有道理也更稳定；平稳时间平方根规则由于将剩余期限 作为分母，当剩余期限 趋于零时 该规则可能出现问题。因此我们最终选择粘性 delta 规则对应的模型作为横截面参数模型： 2 2 1 2 3 4 5 6ln ( , )m m m m                  (8) 可以看出，模型(8)的确具有比较强的经济含义： 1 表示对数隐含波动率的水平值； 2 是隐 含波动率关于 m 的斜率； 3 度量了隐含波动率关于 m 的曲度； 4 表示隐含波动率关于期 限的斜率； 5 刻画了 m 和期限的相互影响关系，期限不同，波动率关于 m 的偏斜程度也可 能不同； 6 则是波动率曲面关于期限的曲度的参数。 在某个固定时点上，参数 1 到 6 是固定的，不同的 m 和 决定了该时点的隐含波动率 曲面；然而，在时间序列上 m 和 是确定的量，真正决定每天隐含波动率曲面的不同形状 的是参数 1 到 6 ；每天发生变动的从而导致隐含波动率曲面发生动态变化的，也是参数 1 到 6 而非 m 和 。因此参数 1 到 6 就是式(8)中影响隐含波动率曲面的参数因子。 式(8)给出了横截面参数模型的一般形式。但对特定市场来说，并非等式右边的所有项 都是必要的。因此我们分别设其中一些参数为零，从而引进式(8)的一系列嵌套模型，如 2 1 2 3ln ( , )m m m         和 21 2 3 4 5ln ( , )m m m m               等。总 的来看，参数越多，模型的样本内解释力度自然越强；但模型的复杂程度也越大，相应地过 度参数化的风险也更大，因此需要根据实际数据对嵌套模型进行筛选。 具体筛选方法实际上就是静态模型中所进行的短期检验为：对每个交易日的数据单独回 归，再用当天回归的结果对下一天的数据进行样本外预测，一直滚动检验直至样本期末，最 后对所有样本外预测的结果进行汇总分析。综合考察不同模型在样本内的调整 R2、样本内 RMSE、SIC 值以及样本外预测 RMSE 和样本外 RRSME，从而筛选出最优的横截面模型。 2.2.2 构造因子的动态模型 在选定具体的横截面回归模型之后，我们可以运用每天的期权数据回归得到每天各参数 的估计值，观察这些因子估计值的时间序列特征，就可以相应构造出因子的动态模型(5)， 具体模型设定需要视数据结果而定。 2.2.3 参数估计 要估计方程系统(4)和(5)的参数，一个最容易想到的方法就是首先对每天的横截面数据 回归，然后用回归得到的因子估计值的时间序列作为数据输入，再估计动态过程的参数，这 就是两步估计法。两步法最大的好处在于其简便性，它把横截面估计和时间序列估计分开进 行，较容易实现，国外学者均使用此种方法。 然而，两步估计法的局限在于：第二步使用的输入数据是第一步估计得到的因子估计 值，测量误差可能导致第二步估计结果的有偏、不一致以及显著性检验的失效。对于成熟有 效的市场，如果横截面数据足够多，并且第一步回归的拟合程度足够好，这种方法误差就相 对较小。对于横截面样本数据较少的市场，这一缺陷就难以回避。 我们在处理数据中就发现香港市场很多交易日的横截面数据都较少。为了克服这个问 题，本文引入了 Cortazar, Schwartz and Naranjo (2004)提出的基于小样本数据下扩展的卡尔曼 滤波法对方程系统(4)和(5)进行估计，该方法同时估计横截面和时间序列模型，联合了当前 和过去所有的信息，因此是一种更为有效的估计方法。由于具体的卡尔曼滤波度量方程和 转移方程需要根据具体模型写出，这部分内容将在第 4 部分中详细介绍。 3.样本与数据 本文选用香港恒生指数期权作为实证分析的对象。该期权是目前香港市场交易最为活 跃流动性最好的期权产品之一，比较适于进行对数据要求较高的实证分析。恒生指数期权属 于欧式期权，期权费以完整整数点报价，最小变动单位是 1 点，而每点的合约乘数为港元 $50.00，合约到期日为每月的倒数第二个交易日。 本文采用的数据样本期为 2005 年 01 月 03 日至 2007 年 12 月 31 日，共 739 个交易日 的恒指期权的收盘价，由于从市场中直接得到的数据中夹杂着各种噪音成分，会对建模过程 产生较大的影响，因此我们对原始数据进行了以下处理： 首先，剔除所有价内期权的数据，即对于看涨期权，剔除所有 m>0 数据，对于看跌期 权，剔除所有 m<0 数据。也就是说，本文仅对价外期权和平价期权建模。主要原因有三： 第一，从理论上说，根据期权平价公式，对于具有相同行权价的看涨和看跌期权，他们的隐 含波动率应该相等，并且两者必有一个处于价外而另一个处于价外（或两者都处于平价）， 使用其中之一就能获得整个隐含波动率表面。但这并非最重要的原因，毕竟在现实市场中， 噪音的存在往往使得期权平价公式不能成立。剔除价内期权数据的更根本原因在于，波动率 对期权价值的影响主要体现在期权的时间价值上，对于价内期权，尤其是深度价内期权，其 价格主要由内在价值决定，时间价值相对内在价值来说非常小，微小的市场摩擦就能把时间 价值覆盖，从而使得隐含波动率对市场摩擦极度敏感，容易造成较大误差。最后，市场参与 者购买期权一般用于投机或保值，对于价外或平价期权的需求远大于价内期权，从数据中也 可以发现，价外期权的交易明显比价内期权更为活跃。因此，本文剔除了价内期权的数据。 第二，由于恒指期权最小变动单位为 1 个指数点，为消除价格不连续的影响，剔除所有 交易价格为 1 个指数点的数据； 第三，由于期限过短或过长的期权都存在较大的流动性问题，造成价格的噪音，因此剔 除所有距到期小于 7 个日历日及大于 1 年的数据； 第四，由于过少的交易量难以反映真实的价格，因此剔除所有日交易合约数少于 20 的 数据；第五，利用看涨和看跌期权价格上下限条件的限制，剔除明显不合理的数据。 这样，经过以上筛选，得到的数据总量为 29170，其中看涨期权 10558 个，看跌期权 18612 个，每个交易日横截面数据最大数为 97，最小数为 5，平均数为 39。本文采用恒生指数日 收盘价作为标的价格，选用港元存款市场利率作为无风险利率，采用香港市场平均股息率代 替红利率，对以上数据应用 BS 公式计算就得到对应的隐含波动率。 为了初步了解恒生指数隐含波动率的性质，本文对所选数据按照    ' r q T t Km Se    1和 τ 进行分组分析，如表 1 所示。 根据表 1，从期限上看，短期交易占总交易 69.4%，而中期和长期期权分别只占了 26.5% 及 4.1%，说明香港市场更倾向于交易短期期权；从在值程度上看，较多的数据分布在 ' 0.97m  和 '0.97 1.03m  的区域内，两者分别占比 47.2%和 30.3%，由于本文剔除了价 内期权，这说明较多的数据集中于价外看跌期权及平价期权。 观察表 1 各列，可以发现，无论是短期、中期、长期还是总数据，平均隐含波动率均 随 m’的增加而减小，这说明市场中各期限的隐含波动率都存在明显的波动率偏斜现象；观 察表 1 各行，可以发现，对于 ' 0.97m  的情形和总数据，平均隐含波动率随期限的增加而 减小，表现为隐含波动率递减的期限结构，但在其他两行中，平均隐含波动率受期限影响不 是很明显，并且从整体上来看，期限对波动率的影响似乎小于在值程度的影响。 从以上初步分析可见，恒生指数期权的隐含波动率确实受对应期权的在值程度和期限 τ 的影响，而且呈现出一定的规律性，主要表现为波动率偏斜及递减的期限结构，这也为本文 后面的模型构造提供了一定的依据。 表 1 样本数据基本分组分析 τ≤60 60<τ<180 τ≥180 Total m’≤0.97 数量(百分比) 9892(33.9%) 3445(11.8%) 446(1.5%) 13783(47.2%) 平均 IV 0.278 0.244 0.214 0.268 0.97< m’<1.03 数量(百分比) 5963(20.4%) 2496(8.6%) 379(1.3%) 8838(30.3%) 平均 IV 0.187 0.187 0.171 0.186 m’≥1.03 数量(百分比) 4405(15.1%) 1784(6.1%) 360(1.2%) 6549(22.5%) 平均 IV 0.165 0.169 0.154 0.166 Total 数量(百分比) 20260(69.4%) 7725(26.5%) 1185(4.1%) 29170(100%) 平均 IV 0.227 0.208 0.182 0.220 注：IV 表示隐含波动率。 1 这里之所以引入 m’，是为了在分组分析时更为直观，在文章其他部分使用的在值程度指标为 m＝ln（m’）。 4. 实证建模与估计结果 4.1 确定性变动规则的实证结果比较与分析 4.1.1 长期检验结果比较 表 2 报告了三种确定性变动规则在长期(全样本)情况下的回归结果。可以看出，所有的 参数估计值都显著异于零，说明隐含波动率的确受到行权价、在值程度和剩余期限的显著影 响。但模型的调整 R2都不高，RMSE 与 RRMSE 均较大，说明三种模型的长期拟合效果并 不理想。从三种模型的比较来看，平稳时间平方根规则的效果略好于粘性 delta 规则，后者 又略好于粘性行权价规则。 表 2 三种确定性变动规则长期检验结果 a0 a1 a2 a3 a4 Adj.R2 RMSE RRMSE 粘性行权价 -1.8462** -3.18E-05** 2.49E-09** 0.7072** -5.43E-05** 39.48% 0.3032 32.76% 粘性 delta -1.6833** -3.2198** 2.5444** -0.1506** 4.4720** 40.01% 0.3019 30.09% 时间平方根 -1.7529** -0.8437** 1.5588** 2.1097** 0.7186** 44.18% 0.2912 28.32% 注：**表示在 1%的显著性水平下拒绝了参数为零的原假设。 4.1.2 短期检验结果比较 如前所述，短期检验的思路是以每天的横截面回归结果作为样本内估计，再用当天的参 数对下一天数据进行检验，运用样本外预测的平均效果来观察回归模型和参数在短期内是否 稳定。表 3 报告了短期检验的结果。 表 3 三种确定性变动规则短期检验结果1 样本内拟合效果 样本外预测效果 平均 Adj. R2 RMSE RRMSE 样本外 RMSE 样本外 RRMSE 粘性行权价 85.69% 0.0491 2.95% 0.0829 5.57% 粘性 delta 85.69% 0.0491 2.95% 0.0859 5.84% 时间平方根 82.06% 0.0533 3.34% 0.0978 7.46% 从以上结果可以看出，三种确定性规则在短期样本内的拟合效果都很好，但样本外数据 检验的平均误差都比样本内平均误差增长了 1 倍左右。这说明即使在短期内，我们也无法认 为模型的参数是固定不变的。从三种规则的短期检验效果来看，平稳时间平方根规则的表现 并不好。前两种规则的效果则相差无几。 总之，无论从长期还是从短期来看，上述几种常用的确定性规则都无法很好地解释恒生 指数期权市场隐含波动率的动态变化规律，说明我们有必要引入随机隐含波动率模型。 4.2 随机隐含波动率曲面模型的实证结果 4.2.1 构建横截面参数模型 为了构建合理的横截面参数模型，我们基于式(8)构造了以下 5 个嵌套模型： 1由于在同一天中股票价格为常数，因此粘性行权价规则和粘性 delta 规则在每天横截面回归的样本内效果 几乎一样。 模型 1： 21 2 3ln ( , )m m m         模型 2： 21 2 3 4ln ( , )m m m            模型 3： 21 2 3 4 5ln ( , )m m m m               模型 4： 2 21 2 3 4 5ln ( , )m m m               模型 5： 2 21 2 3 4 5 6ln ( , )m m m m                  之后，我们以滚动短期检验的样本内拟合、SIC 准则和样本外预测效果来筛选最终的模 型，具体结果参见表 4。 表 4 横截面参数模型效果比较 模型 1 模型 2 模型 3 模型 4 模型 5 Adj R2 0.7746 0.8322 0.8569 0.8445 0.8691 RMSE 0.0652 0.0554 0.0491 0.0519 0.0455 RRMSE 4.30% 3.42% 2.95% 3.13% 2.67% SIC 21.06% 9.38% 29.48% 9.51% 30.57% 样本外 RMSE 0.0898 0.0854 0.0859 0.0912 0.0937 样本外 RRMSE 6.33% 5.83% 5.84% 6.14% 6.24% 对于样本内拟合效果1，观察平均的调整 R2及样本内 RMSE 和 RRMSE 可以发现，随着 因子数的增加，模型样本内拟合效果递增，模型 1 的样本内拟合效果最差，模型 5 最优，模 型 3 次之。然而，嵌套模型的选择不能仅从样本内拟合效果来判断。随着因子数的增加，虽 然模型样本内的拟合效果递增，模型复杂程度以及模型的过度拟合化风险也随之递增。 因此，我们进一步用 SIC 准则及样本外预测误差来检验模型的过度拟合程度。最小的 SIC 值代表了样本内表现为最优的模型，表 4 中的 SIC 行记录了用 SIC 准则判断对应模型为 最优模型的天数占总样本天数的百分比。可以发现，在 SIC 准则下，模型 3 和模型 5 的表现 明显优于其余模型。 最后观察模型的样本外表现，容易看出，虽然模型 5 在样本内拟合是最优的，然而其在 样本外的预测能力则大大减弱，因此可以判断模型 5 存在较严重的过度参数化问题，而模型 3 的样本外表现相对较好。过少的因子会导致拟合效果的不足，而过多的因子会加大模型的 过度拟合化程度导致样本外预测效果的不足，综合考虑模型的样本内拟合和样本外预测能力， 容易看出模型3为最优模型，因此，本文最终选取了模型3作为隐含波动率的参数拟合模型， 其平均调整 R2为 85.69%，说明该模型在横截面上的拟合已经达到了较好的效果。 4.2.2 构建参数因子的动态模型 4.2.2.1 参数因子时间序列基本特征 要构建参数因子的动态模型，首先需要观察这些因子的时间序列特征。在样本内的每天 1 2006 年 12 月 5 日的横截面回归结果显示调整 R2为负，说明这一天数据是奇异值，因此我们剔除了这一 天的数据。 对模型 3 进行横截面回归，就可得到参数因子 1 至 5 估计值的时间序列，如图 1 所示。 β1 β2 β3 β4 β5 图 1 模型 3 参数因子时间序列图 观察 1 序列的变动图， 1 变动范围从最小的-2.281 到最大的-0.543，简单转换可以得到 隐含波动率水平的变动范围为 10.22%到 58.10%，均值为 17.87%，符合我们对市场的直观观 察。同时，2007 年下半年之后，波动率水平明显高于样本期内其它时间，这显然是次贷危 机的影响结果。 观察 2 序列图，可以发现绝大部分的 2 都为负值，只有极少数情况下出现正的 2 。 说明隐含波动率曲面关于在值程度在大多数情况下都有负的斜率，这与前面的初步数据统计 特征是一致的。 3 是表现最不稳定的一个因子，其值从最小-66.179 变到最大的 42.169，并且标准差也 达到了 6.62，说明隐含波动率表面关于在值程度的曲度变化极大，并且凹凸不定。 4 是隐含波动率表面关于期限的斜率，其符号也不确定。但平均来说，这是一个负值， 表明隐含波动率关于期限是递减的，与数据统计结果也较一致。 5 的大部分值都为正，并且其均值也为 2.692，表明大多数情况下，对于短期期权，波 动率关于在值程度偏斜比长期期权更明显，这一特点也与表 1 的数据统计结论是一致的。 总的来看，上述参数因子的确是时变的，这进一步说明假定隐含波动率与 m、 等的关 系是确定不变的确定性模型的确是不合理的，应采用随机模型刻画隐含波动率的动态变化。 4.2.2.2 参数因子时间序列建模 我们首先用带常数和确定性时间趋势的 ADF 方法检验了上述各因子估计值的平稳性， 发现除了 1 在 5%的水平上拒绝单位根假设，其他 4 个因子都能以 1%的水平显著拒绝单位 根假设，表明各风险因子基本上都是平稳序列，因而可以直接对它们建模1。 接下来，我们对各因子的估计值进行自相关分析，发现总的来看，AR(1)模型是描述所 有因子自回归特征的最佳模型。相应地我们运用与离散 AR(1)模型对应的均值回复 OU 过程 来描述每个因子的连续随机过程，如式(10)所示。 最后，我们对各因子之间的同期相关性进行了分析，发现不少因子之间存在着较强的 相关关系，如表 5 所示。在构建各因子时间序列模型时，如果我们用 VAR 模型来捕捉各因 子之间的相关性，我们很难找到一个简单的对应于 VAR 模型的连续时间过程；因此我们假 设各因子变动的相关关系体现在各自一阶自回归的干扰项，也就是连续时间下的标准布朗运 动之间具有相关性。 表5 因子相关系数矩阵 β1 β2 β3 β4 β5 β1 1.0000 0.3811 -0.1932 -0.7423 -0.0943 β2 0.3811 1.000 0.4966 -0.2195 -0.6060 β3 -0.1932 0.4966 1.0000 0.1610 -0.1188 β4 -0.7423 -0.2195 0.1610 1.0000 0.0975 β5 -0.0943 -0.6060 -0.1188 0.0975 1.0000 4.2.3 恒生指数期权隐含波动率曲面模型设定 总之，对恒生指数期权样本期内的研究结果表明，五因子参数模型可以较好地拟合每 天的隐含波动率表面，而这些因子的时间序列都可以用一个 AR(1)过程表示，各因子变动之 间的相关关系则反映在它们各自一阶自回归方程的干扰项中。这样，恒生指数期权整个隐含 波动率曲面的变动可由如下方程系统描述： 2 1 2 3 4 5ln ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) , 1, ,5 t i i i i i i i j ij m t t m t m t t m d t t dt dw t dw t dw t dt i j                              (10) 其中 i 表示第 i 个因子的均值回复速度， i 表示第 i 个因子的长期均值， i 表示第 i 个因子 的波动项，这里假设它们都为常数， ( )idw t 则表示反映第 i 个因子随机变动的标准布朗运动， 而 ij 表示两个布朗运动 ( )idw t 和 ( )jdw t 之间的相关系数。 4.2.4 参数估计 在完成模型设定之后，我们估计了方程系统(10)的参数。如第 2 部分中所说，两步估计 法相对简单，但香港市场很多时候的横截面数据都较少，例如在 2006 年 12 月 27 日，处理 后的可用数据仅有 5 个，而我们的具体拟合方程中参数个数也为 5 个，可以得到很好的拟合 结果，其 R2达到了 0.995，但参数的估计值显然不可靠，从而导致估计结果的不可靠。 为了克服这个问题，本文引入了 Cortazar, Schwartz and Naranjo (2004)提出的基于小样本 数据下扩展的卡尔曼滤波法对方程系统(10)进行估计。 1 篇幅所限，文中不报告平稳性检验和自相关检验的结果，需要者可与作者联系。 4.2.4.1 五因子随机隐含波动率模型的卡尔曼滤波状态空间表示 ⑴度量方程 在五因子随机隐含波动率模型(10)中，度量方程即为各个隐含波动率关于 m 和 τ 展开 的方程，即 ti 时刻的卡尔曼滤波度量方程可表示为： 1 2 1 1 11 1 1 1 1 2 3 2 4 5 ( ) ln ( , ) ( )1 ( ) ( ) ln ( , ) 1 ( ) ( ) ( ) i i t t t t t t t t i t ii i t q q q q q q q i q i i t m tm m m t t m m m m t t t                                                         矩阵表示形式为： t t t tz H x   其中 qt表示第 t天横截面数据的样本量。同时假设各度量方程的误差项之间满足独立同分布， 具有相同的方差 δ，则度量误差 εt 的方差协方差矩阵为： 0 0 t t t q q R            ⑵转移方程 五因子随机隐含波动率模型的转移方程由反映因子变动的五维均值回复过程给出，由于 对随机变动方程 ( ) ( ( )) ( )i i i i i id t t dt dw t       进行离散化处理，可得：     1 221( ) | ~ 1 ( ) , 1 / 2i i ij t t ti j t i i j i it N e t e e              � 因此，对五个因子变动方程离散化，可得卡尔曼滤波转移方程为： 1 1 5 5 1 1 1 1 1 5 5 5 1 5 ( ) (1 ) 0 ( ) ( ) (