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欧拉是如何发现欧拉公式的.pdf

欧拉是如何发现欧拉公式的

好宝雪
2014-02-23 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《欧拉是如何发现欧拉公式的pdf》,可适用于高等教育领域

年月上中学生数学欧拉是如何发现欧拉公式V一EF一的北京师范大学数学系()王敬庚由多边形为面围成的凸多面体,尽管它们的形状各种各样,其顶点数(V),棱数(E)和面数(F)也各不相同,但都有一个简单的性质:v一EF一这个性质早在距今三百多年前,就被解析几何的创始人、法国数学家笛卡尔于年发现了,但没有广泛流传开来直到又经过一百多年,年欧拉重新独立地发现了它以后,这个公式才广为世人所知,欧拉是如何发现这个公式的呢美国数学教育家波利亚在《数学的发现》一书中,根据欧拉当时所写的论文,把这位数学大师当年通过类比和归纳发现这个公式的思考过程,原原本本地提供给了我们我们从这个发现过程中比从公式本身能学到更多的东西任意一个三角形的内角和为或T,与三角形的形状无关,进而得到任一个凸n边形的内角和为n(一)r,表明凸多边形的内角和由边数完全决定,而与形状无关这是一个多么简单而又漂亮的结论啊!推广到空间,对于由若干个多边形围成的凸多面体,是否也有某种类似的简单性质呢欧拉就这样由类比提出了问题一个多面体有几种角呢每条棱处有一个由两个面组成的二面角每个顶点处,有一个由相交于这个顶点的各个面所围成的角,叫立体角(它的大小等于以立体角顶点为球心的单位球面被这个立体角的各个面所截出的球面多边形的面积的大小)每个面多边形的每一个内角,叫多面体的一个面角欧拉首先考察多面体的所有二面角之和(记为艺韵及所有立体角之和(记为乏。),看它们是否有某种简单的性质欧拉从最简单的多面体四面体开始考察四面体由四个三角形围成(图),为了便于计算,欧拉考察了两种退化的情形()四面体退化成一个三角形和它内部一点与三个顶点所连成的线段(图)()四面体退化成一个平面凸四边形和它的两条对角线(图)图图对于情形()(图),三角形三边处的二面角皆为。,内部三条线段处的二面角皆为r,所以乏占一二三角形三个顶点处立体角皆为。,内部顶点处的立体角等于二(即半个单位球面的面积,球面面积为r尸),所以艺。一二对于情形()(图),四边形四条边处的二面角皆为O,两条对角线处的二面角皆为T,所以乏占~图二四个顶点处的立体角皆为。,所以艺。一可见四面体的二面角之和与立体角之和都与四面体的形状有关,没有类似于三角形内角和定理这样简单的性质多么令人失望啊,然而欧拉并没有就此止步,因为还有面角和尚未考察呢记多面体的面角和为艺a,欧拉先考察四面体!缤面体由四个三角形围成,所有面角之和艺a一二,与四面体的形状无关这个结果对欧拉是一个鼓舞继续考察五面体五面体(一)(图)由两个三角形和三个四边形围成,所有面角之和乏a一又二」一只(一)汀一兀五面体(二)(图图)由一个四边形和四个三角形围成,所有面角之和乏“一(一)二十X`一兀中学生数学年月上这两个艺a不等,说明面角和不能简单地由面的个数来决定欧拉接着又考察了几个多面体,看能不能从中发现什么规律五面体(一)和(二))以及五棱柱和尖顶塔形于是欧猜想:对于任意凸多面体有乏a一ZVT一汀()即多面体的面角和由它的顶点数完全决定注意,这只是一个猜想欧拉接着又考察了一些多面体,结果可以列成下表图多多面体体FFF艺aaaVVVZV兀兀ZV兀一艺aaa匡匡十二面体体兀兀兀兀万万正正二十面体体兀兀万万rrrnnn棱柱柱n一一(,:一)汀汀nnnn兀兀汀汀、、棱锥锥刀(。一)汀汀王(:)万万汀汀图图图图立方体(图)由六个正方形围成,所有面角之和艺a一x(一)`一兀正八面体(图)由八个三角形围成,所有面角之和乏a一SX“一兀五棱柱(图)由两个凸五边形和五个平行四边形围成,所有面角之和艺a一火(一)汀十SX(一)盯一汀尖顶塔形(图)是在立方体上加一个四棱锥,由五个正方形和四个三角形围成,所有面角之和艺a一sx(一)二十火二一几从上述数据能发现什么规律吗欧拉发现虽然它们都不相等,但都小于ZV城此处V是多面体的顶点数),且与ZV二的差是一个常数ZV汀一乏a二兀将观察所得材料进行归纳,寻找和发现规律,决不是一种简单的一眼就能看出的事情,在这里,如何进行归纳是能否发现规律的关键欧拉把观察所得面角和与ZV二进行比较,表现了非凡的创造性,导致了发现欧拉认为上述结果不像是偶然的巧合,因为在考察的多面体中,既有规则的(例如立方体、正四面体和正八面体)也有不规则的(例如所得结果均支持上述猜想,这些虽然增加了猜想成立的可能性,但欧拉明白这还不是对一般情形的证明接下来,欧拉从另一角度计算多面体的面角和艺a设多面体各个面多边形的边数分别为S,,,,…,S,此处F是多面体的面的个数于是乏a=(一)二(一)二…(S一)二一(十S:一SF一ZF)汀,其中十…S是多面体所有F个面多边形的边数的总和在这个总和中,多面体的每一条棱恰好被计算了两次(因为每一条棱都是相邻两个面的公共边)设多面体的棱数为E,于是有S,十…S:一ZE因此得到艺a一(E一F)二()即多面体的面角和由它的棱数和面数完全决定注意,关系式()是经过证明得到的结论,而不是猜想欧拉综合了猜想()和事实()(从这两个式子中消去乏a)得到V一EF一()因此()仍然是一个猜想,尚需要证明上述发现公式()的过程,基本上是按照欧拉关于这个问题的一篇论文叙述的欧拉在这篇论文中没有给出公式的证明在另一篇论文中,欧拉试图给出证明,但证明中有一个很大的漏洞下面介绍波利亚的书中给出的与前面的讨论很接近的一个证明注意到,将一个多面体连续地变形(例如使多面体变得更倾斜)时,多面体各面的)年月上中学生数学迎氮习公勿攀粗公习游妇安徽芜湖市第一中学()叶茂月亮有多大呢这个问题似乎不大好人手现在,科学家们通过精密的仪器已经能够比较准确的测量出月球的半径约为。千米但是如果不用这些精密的仪器,能否也可以估算出月球的半径呢今天我就来向大家介绍这种测量月球半径的新方法不知道大家以前有没有注意过月蚀当月蚀时地球在月球上形成影子,用照像机拍成照片,那么分析照片上的平面图形,就可以对月球半径做出粗略估计画作一个图(如图)在图中由于两圆相交时,公共弦对两圆联心线垂直平分所以O口二垂直平分AB于M点我们又已知地球半径为OA=千米段设在照片上量得`兰AOB=“,匕AO`B为此,假设图是某次月蚀时的一张照片图中圆O表示地球,圆创表示月球阴影部分表示地球在月球上的影子为了便于估算我们把图中的四边形AOBO’单从“那么匕AOM一“,匕A。,M二“所以在:么AOM中,由于匕AMO一,因此AM一OA城sino=只一千米故在直角三角形△AO’M中月球半径AO’一AMSni“=、千米实际上,前面已经说过月球半径为。千米这样看来上面的估计是很准确的,但是在实际对月蚀照片估算时,不可能一次就这样准确地估算出必须经过多次测量计算,然后估算出月球半径的平均值那么结果就比较准确和接近实际情况了口(责审周春荔)一俨,己、二之~乙俨,J绝`己二二~目二宁,`之戈`二~夯,泛,r绝穿巴写之``之二、,二绝与洲二月面`二,二,二`生与`绝,二己月面碑、目二代二`乏,二坦砂二`绝`亡砰一一~俨、,俨)交线(即棱)和各面的交点(即顶点)的位置也会连续地变化,但多面体的总体结构,即多面体的面、棱和顶点之间的相互关系不会改变,于是面数F,棱数E及顶点数F也不会改变虽然各个面角可能会改变,但前面已经证明艺a一二(E一F),即面角和艺a是不会改变的下面将多面体连续地变形到一个非常极端的情形来计算艺a(我们对一般情形的多面体来证明,但我们心中可以具体想着一个立方体)以多面体的一个面为底,将其适当扩大,扩大到使其余F一个面向底面的正投影全都落在该底面内,然后将该多面体垂直压向底面于是多面体被“压平”为两个重叠在一起的多边形上下两块的外轮廓线互相重合下面一块是整块(即底面),上面一块分成F一个多边形,每个小多边形都是原来多面体的一个面例如以立方体的一个面ABCD为底面,压平后的图形如图现在来计算压平后的多面体的面角和乏a一没上下两块共同的轮廓线的边数为m于是下面一块(底面多边形)的茸角和为(m一)二上面一块的面角和分为两邹分,在边上m个顶点处的面角和为(m一)丫丫丫丫丫图:r,在内部(V一m)个顶点处的面角和为(V一,、)二于是艺a一(m一)汀(m一)汀(V一m)汀一ZV汀一r这就证明了前面的猜想()再由前面已经得到的乏a一二(E一F),也就证明了猜想()V一EF一参考资料G·波利亚著《数学的发现》第二卷P一刘远图,秦璋译,科学出版社,年口(责审周春荔)

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