高级宏观经济学_袁志刚版_部分配套习题的答案

第二讲 单期代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 性行为人模型 1.若效用函数现为：   1),( lclcu （ 10   ） 其他条件与实例中给出的相同，试分别求分散经济与 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 经济的最优解。 计划者目标函数为： }{max 1 ,  lc lc ..ts   10 )( lhzkyc 代约束条件进目标函数，可以得到无约束的最大化问题：    110 ])([max llhzk l 一阶条件为： )( lFOC     llhkzllhkz )1()()()1( )1(0 11)1( 0 求解可得：      1 )1( h l      1 )1(h n 代 n 进生产函数可得：                1 0 1 )1(h zkyc 企业利润函数为： wnkrnzk   )1(1  企业利润最大化的一阶条件为： 0)1(11     rnkz k   0)1(     wnkz n   利用这两个一阶条件可以取得均衡的价格解，为：                1 )1( 0 h zkw 1 1 )1( 1 1 0                 h kzr 2.考虑一个具有如下代表性行为人的模型。代表性消费者的效用函数如下： lclcu  ),( 其中，c是消费，l是闲暇，且 0 。消费者拥有一单位的时间禀赋和 0k 单位的 资本。代表性企业生产消费品的技术由如下的生产函数来表示：   1nAky 其中，y是产出，A是全要素生产率，k是资本投入，n是劳动投入，且 10  。 记w为市场的实际工资， r为资本的租金率。 a.试求解实现竞争均衡时的所有价格和数量。 b.试 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 全要素生产率 A的一个变化会对消费、产出、就业、实际工资以及资本 租金率产生怎样的影响。 解：a.第一步，分析消费者行为： lclcu lclc   ,, max),(max ..ts 0)1()1( krlwc  代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题。 lkrlw l  ])1()1([max 0 对 l求一阶导数，并令其为零，可得：  1 w 第二步，分析企业的行为： ddddd kkrwnnAk )1()1( 1     nFOC 0)1(   wnAk dd  dk FOC 011    rnAk dd 根据市场出清条件，可得如下方程组：              0 11 1 )1( kk rnAk nAk d dd dd      求解得：                   1 1 1 0 )1( )1( Ar kAn 第三步，全部均衡解：   1 0)1(11 kAnl       0 1 11 00 )1()1( kAkAAkcy           1 w 或者，考虑计划经济情形： lclcu lclc   ,, max),(max ..ts   10 )1( lAkc 代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题：   llAk l   10 )1(max 对 l求一阶导数，并令其为零，可得： 1)1()1( 0   lAk 解得：   1 0)1(1 kAl     1 0)1( kAn   b.   0)1()1( 1 0 1     kA A l       0)1()1( 1 0 1     kA A n       0)1( 1 0 1 1         kA A c A y         0)1( 1 1          A A r 0   A w 说明：闲暇将随技术进步而减少，因而就业将随技术进步而增加；产出、消费和 资本租金率将随技术进步而上升；实际工资不会随技术进步的变化而变化。 3.考虑一个如下的含有政府的代表性行为人的经济。消费者的偏好由如下的效用 函数代表： glclcu lnlnln),(   这里， c是消费； l是闲暇； g是政府购买； 0,  。消费者拥有一单位的时间 禀赋。私人消费品的生产技术如下： zny  这里，y 是产出，n是劳动投入， 0z 。假设政府通过向消费者征收一个总额税 来为自己的购买融资。 （1）对于一个给定的 g ，试求均衡时的消费、产出和就业。 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 这些均衡数量 是帕累托最优的。 （2）试分析当政府购买发生变化时，这些均衡数量会受到怎样的影响。平衡预 算乘数时大于 1还是小于 1，解释之。 （3）现在假设政府是一个“仁慈”的政府，它将选择一个最优的 g。也就是说， 政府将选择一个合适的 g去最大化代表性行为人的福利。试求解最优水平的政府 购买数量。 解： （1）在给定 0, g 时，消费者的最优规划问题可以表述如下： ]lnln[lnmax , glc lc   ..ts  )1( lwc 代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题：  gllw l lnln])1(ln[max   该最大化问题的一阶条件为： 0 )1(    llw w   利用这一一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数：               w l    1 1 )1( )(      w w 利用闲暇的需求函数，再加上消费者的时间约束和预算约束，我们可以进一步求 得消费者的劳动供给和消费需求函数： )1(      w w n ，      1 w c 从企业的利润最大化问题中，我们能得到： zw  竞争均衡的定义要求政府的预算要平衡： g 代这些表达式进入消费者的闲暇和消费需求函数中，可以得到如下的竞争均衡数 量： )1( )(      z gz l ， )1(      z gz n ，    1 gz c 注意，当我们把消费者的时间预算代进其预算约束的时候，我们已经运用了劳 动市场的出清条件， ln 1 。利用或者商品市场出清条件， ygc  ，或者生 产函数， zny  ，并与上述均衡数量相结合，可以求得均衡产量：      1 gz y 给定时， 0g 我们可以借助如下的社会计划者最优问题来求得帕累托最优的均 衡数量： ]lnln[lnmax , glc lc   ..ts )1( lzgc  代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题：  glglz l lnln])1(ln[max   该最大化问题的一阶条件为： 0 )1(    lglz z  利用该一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数：               z g l 1 1   )1( )(      z gz 利用闲暇的需求函数，再加上消费者的时间约束、生产函数和资源约束，我们可 以进一步求得如下的均衡数量： )1(      z gz n ，      1 gz y ，    1 gz c 因为这些解与上面我们已经推导出来的竞争均衡数量是相同的，因此，竞争均衡 分配是帕累托最优的分配。在这一例子中，之所以两者的结果相同是因为总额税 并不会产生扭曲效应。 （2）因为在题（1）中我们已经求得均衡数量解，因而，我们只需要简单地让这 些均衡解对 g求全导数，就可以得到结论： 0 )1(      zdg dn 0 1      dg dy 0 1 1    dg dc 可以注意到，平衡预算乘数是小于 1的。因为，  1 ，所以， 1 1      dg dy 。 （回忆：政府预算约束 g 必须成立，因而，g的任何一个变化一定对应着 的 一个相同变化： dgd  。因此，我们有“平衡预算乘数”这一名词。）也可以注 意到，挤出是不完全的：因为 0 ，所以 1 1 1    dg dc 。 （3）为了确定最优水平的政府购买数量，政府在给定行为人对 g变化的最优反 应的基础上通过选择一个合适的 g来最大化代表性行为人的福利。我们可以把在 题（1）中求得的行为人的决策规则看成是一个 g的函数： )(gcc  和 )(gll  。 这些函数告诉我们行为人的最优选择 c和 l是如何随着 g的变化而变化的。政府 的最优化问题可以描述如下：  gglgc g ln)(ln)(lnmax   或者，等价地：                       g z gzgz g ln )1( )( ln 1 lnmax      一阶条件如下： 0 1      ggzgz  或者 ggz    1 （1） 求解（1）式可以得到最优的政府购买水平：     1 z g （2） 4.考虑一个具有和题 3相同的偏好和生产技术的代表性行为人经济。假设现在政 府通过向消费者的劳动收入征收比例税来为自己的购买进行融资。让 t代表税率， 因而政府的总税收收入等于 )1( ltw  ，这里，w是实际工资。 （1）写出政府的预算约束。 （2）对于给定的 g，试求竞争均衡中的消费、产出和就业。讨论这一均衡是否 是帕累托最优均衡。 （3）证明竞争均衡的最优数量将随着 g的变化而变化。 （4）求解实现福利最大化的政府购买 g的水平。这里的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 为什么与在题 1 中 征总额税时的答案不同？请解释之。 解： （1）政府的预算约束是政府购买等于税收收入： )1( ltwg  （2）由于税收扭曲的存在，我们不能用社会计划者的最优问题去求解竞争均衡。 在给定 0, g 时，消费者的最优规划问题可描述如下： ]lnln[lnmax , glc lc   ..ts )1)(1( tlwc  代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题：  gltlw l lnln)]1)(1(ln[max   该最大化问题的一阶条件为： 0 )1)(1( )1(    ltlw tw  利用该一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数：     1 l 代闲暇的需求函数进预算约束方程，我们可以进一步求得消费者的消费需求函 数：    1 )1( tw c 可以注意到消费与税后收入成正比关系。因此，消费将随税率的提高而下降。从 企业的最大化问题中，我们可以得到： zw 市场出清条件是： ln 1 )( znygc  因此，竞争均衡的数量解将由如下的表达式给出：     1 l ，   1 1 n ，   1 z y ， g z c    1 我们在第三题的（1）部分已经求得帕累托最优的数量解。通过对比，可以发现 只有在 0g 时两个解才一致。只要 0g ，竞争均衡分配将总是次优的。 （3） 0 dg dn ， 0 dg dy ， 1 dg dc 注意，在这种情况下，挤出效应是完全的： 1 dg dc 。 （4）政府的最优化问题能描述如下：  gglgc g ln)(ln)(lnmax   这里， )(gc 和 )(gl 代表了竞争均衡的数量（我们已经在（2）中求得）。代入 )(gc 和 )(gl 的表达式，可以得到政府的最优化问题：                      gg z g ln 1 ln 1 lnmax      或者，更简洁地：               gg z g ln 1 lnmax   一阶条件如下： ggz       )1( 1 （3） 求解（3）式可以得到最优的政府购买水平：     1 z g （4） 比较表达式（4）和第三题中的表达式（2），我们可以看到在目前的情形下，政 府的购买水平更小（因为 0 ）。也就是说，最优水平的 g 在征总额税时要比 在征比例税时来得大。因为，在征比例税时，税收将对劳动供给和消费需求产生 一个扭曲效应。而这些额外的成本是伴随着政府的行为而产生的，因此，g自然 会下降。 第三讲 两期动态模型 1.在我们的讲义的实例中曾描述了一个两期模型，现在，若在这个两期模型中的 期效用函数成为： 2 1 )( tt ccu  （1）.试推导出欧拉方程。 （2）.试求代表性消费者的最优消费组合 ),,( 121  bcc 。 （3）.试求均衡的利率 r 。 （1）欧拉方程为 )1( )( )( 1 r cu cu t t      因为 2 1 )( tt ccu  ，所以 2 1 2 1 )(   tt ccu ，因而有： )1( 2 1 1 2 r c c            （2）我们有三个未知数，但相应的也有三个方程，一个是欧拉方程，另两个就 是约束条件。            212 111 22 12 )1( )1( crby bcy rcc  求解得：   )1()1(1 )1( 2 12 1 rr ryy c     )1(1 )]1()[1( 2 12 2 2 r ryyr c        )1()1(1 )1( 2 12 11 rr ryy yb     （3）在均衡时， 01  b ，因此： 1 2 1 1 2 2          y y r  2.假设玛丽只生活两期。在每一期里她都可以不劳而获地得到一些消费品：第一 期记为 1e ；第二期记为 2e 。她对两期消费品的偏好可由如下的效用函数来表达： )ln()ln(),( 2121 ccccu  ，其中， 1c 和 2c 分别是她在第一期和第二期的消费； 是一个间于 0和 1之间的参数，表示的是时间偏好。当然，如果玛丽觉得第一期 的禀赋，也即 1e 太多，她是可以把它储蓄起来，以供第二期消费的。我们把她储 蓄的数量记为 s。非常不幸，老鼠会偷吃她储蓄的物品，因此，假如她在第一期 储蓄 s单位的物品，在第二期她只能得到 s)1(  单位，其中， 是一个间于 0和 1之间的参数。 .试写出玛丽的最优化问题。（你应该描述出她的选择变量、目标函数和约束条 件。） b.试求解最优化问题的解。（当然，你应给把诸如 1e 、 2e 、  、 等参数看作 外生给定的。） c.假如玛丽现在发现了一种可以减少老鼠偷吃的方法，这会对她的最优选择产 生怎样的影响？（无非是对 的变化作一个比较静态分析!） a. )ln(){ln(max 21 ,, 21 cc scc  ..ts 11 esc  sec )1(22  b.构建拉格朗日函数： ])1([][)ln()ln( 22211121 csescecc   一阶条件为： )( 1FOCc 0 1 1 1   c )( 2FOCc 02 2    c )(FOCs 0)1(21   利用三个一阶条件可求得欧拉方程： )1( 1 2   c c 结合约束方程，可求得： )1)(1( )1( 21      ee s )1)(1( )1( 21 11      ee ec )1( )1( 21 22      ee ec c.分别对 求导数，可得： 0 )1()1( 2 21       ec 0 1 12         ec 0 )1()1( )1( 22 2          es 因为玛丽学会了防止老鼠偷吃的技术，因此， 将下降。根据偏导数的符号，我 们可以判断：第一期的消费将减少，而第二期的消费和第一期的储蓄都将增加。 3.在讲义中，我们假设行为人在初始时拥有外生给定的资本 0k ，并且这些资本是 不能直接用于消费的。现在如果我们取消资本不能直接用于消费这一强制性规定 （这样，第一期的收入就不需要自己去生产了）。效用函数与生产函数的具体形 式仍与讲义中的相同，试求每一期的均衡数量解和价格解。 解：考虑计划经济的情形  )()(max 21 ,, 21 cucu kcc  ..ts 101 kkc  )( 12 kzfc  如果 )ln()( tt ccu  ， zkkzfy  )( ，可解得： 01 1 kk      01 1 1 kc              02 1 kzc 企业利润函数为： ddd kkrkzf )1()1()(   假设 ,1 企业利润最大化的一阶条件为： rkfz d  1)( 利用这一条件，可求得： 1 1 1 0               kzr 第五讲 无限期模型 1.考虑一个有如下效用函数的生活无限期的行为人： t t t cln 1 1    假定该行为人不拥有任何初始资产（ 01 A ）。该行为人可以进入一个资本市场， 在这里，他（她）可以以固定的利率 r借入或借出收入。假设行为人在每一期的 收入固定等于 0y 。 （1）写出行为人的最优化问题。确信包含了转换条件。 （2）试用拉格朗日和动态规划两种方法推导出行为人的欧拉方程。 （3）用行为人的欧拉方程和跨期预算约束条件求出她的最优消费路径。 （4）比较行为人的最优消费路径和收入路径，并解释他们的差异。 解： （1）行为人的最优化问题可描述如下： t t t clnmax 1 1    ..ts ,2,1,)1(1   tyArAc ttt 0 )1( lim 1     T T T r A （2）用拉格朗日方法推导跨期欧拉方程，我们首先需要求出如下最大化问题的 一阶条件：             1 1 1 ,, )1(lnmax 11 t ttttt t Ac AcyArc tttt   这里， 0t 是时期 t 预算约束的拉格朗日乘子。对于所有的 ,2,1t ，关于 ttt Ac ,, 1 的一阶条件分别如下： 0 1   t t t c   0)1( 1  tt r  0)1( 1  ttt AcyAr 利用前两个一阶条件，可以得到跨期欧拉方程： 11 1 1 )1( 1 )1(    ttt t t t c r cc r c   用动态规划的方法求解，我们首先需要用递规的形式构建出行为人的最优化问 题：  )(lnmax)( 1 , 1   tt Ac t AvcAv tt  ..ts yArAc ttt   )1(1 或   )()1(lnmax)( 11 1    ttt A t AvAyArAv t  对应于该值函数右边最大化问题的一阶条件为： )( 1 1  t t Av c  贝尔曼方程两边同时对 tA 求导并应用包洛定理，有： t t c r Av   1 )( 利用上式替代掉一阶条件中的 )( 1 tAv ，可以得到跨期欧拉方程： 1 1 )1( 1   tt c r c  （3）以如下的方式表述欧拉方程： tt t t tt crcr c c c r c )1()1( 1 )1( 1 1 1 1      我们可以看到，给定 1c ，这最优的消费路径由如下形式给出： 12 )1( crc   1 2 23 )]1([)1( crcrc   1 3 34 )]1([)1( crcrc    或者，更简洁地表示为： ,2,1,)]1([ 1 1   tcrc tt  现在，我们需要从跨期预算约束中决定出 1c 。应用转换条件、初始资本 01 A 这 些条件，跨期预算约束可以写为：           1 1 1 1 )1()1( t t t t t r y r c 1 1 1 1            t t r y 然后，运用几何级数求和公式，有： y r r r c t t t              1 )1(1 1 替代掉 tc ，我们可以求解出 1c ： y r r r cr t t t                1 )1( )]1([ 1 1 1 1  y r r c t t            1 1 1 1   y r r c         1 )1(1  因此，最优的消费路径将由下式给出： ,2,1, 1 )1()]1([ 1          ty r r rc tt  （4）注意。假如 1)1(  r ，那么，对于所有的 ,2,1t ，有 yct  。在这一 特殊的情形中，消费路径等于收入路径（为常数 y）。假如 1)1(  r ，那么， 最优的消费路径是单调增加的。假如 1)1(  r ，那么，最优消费路径是单调减 少的。 第六讲 索罗经济增长模型 1.假定生产函数为柯布－道格拉斯函数。 (a).将 k 、 y 和 c 表示为模型的参数 s、n、g、 和 的函数。 (b).k的黄金值是多少？ (c).为得到黄金资本存量，所需要的储蓄率是多少？ 解：（a）利用人均有效资本的动态方程 )()()()( tkgnksftk  可得稳定状态下的 k 为： )1/(1             gn s k 由 )()(   kkfy 可得 )1/(             gn s y 由   ysc )1( 可得 )1/( )1(             gn s sc (b)由黄金律的条件  gnkf GR )( 可得 )1/(1             gn kGR （c）由 )1/(1             gn s k 可得   1))(( kgns 所以        )( )( gn gnsGR 2.假定对资本和劳动均按其边际产品支付报酬。用 w表示 NANKF  /),( ， r表 示 KANKF  /),( 。 (a).试证明劳动的边际产出w为 )]()([ kfkkfA  。 (b).试证明如果劳动和资本均按其边际产出取得报酬，规模报酬不变意味着：生 产要素总收入等于总产量。也就是证明在规模报酬不变的情形下， ),( ANKFrKwN  。 (c).如果生产函数的具体形式为一柯布 -道格拉斯型生产函数，也即   1)(),( ANKANKF ，试证明这里 就是资本这种生产要素所获得的收入在总 收入（也即总产出）中所占的份额。 解：（a） )]()([ )()( ),( 2 kfkkfA AN K kfANkAf N AN K ANf N ANKF w                      (b) )( 1 )( ),( kf AN kfAN K AN K ANf K ANKF r                     ),()( )()()( )()]()([ ANKFYkANf KkfkfANkkANf KkfNkfkkfArKwN    (C)                        1 11 1 1 11 )( )( )( )( )( ),( )( ANK KANK ANK K K ANK ANK K K ANKF ANK rK 3.考虑不变替代弹性（CES）生产函数，  /)1(/)1( ])([ /)1(    ALKY ，其中， 0 且 1 。 (a).证明：该生产函数为规模报酬不变的。 (b).求出该生产函数的密集形式。 (c).在什么条件下该密集形式满足 0)(,0)(  ff ？ (d).在什么条件下该密集形式满足稻田条件？ 解：（a） ),( ])([ ])()[(),( )1/(/)1( )1/(/)1( /)1( /)1( ALKF ALK ALKALKF               （b）   )1/( /)1( /)1( )( 1 /)1(                        ALK ALAL Y = )1/( /)1(/)1(                         AL AL AL K 令 AL K k  ， )(kfAL Y y  ，则有   )1/( /)1( 1)(      kkf （c）   1]/)1[( 1)]1/([ /)1( ]/)1[(1)]1/([)(         kkkf =      /1 )1/(1 /)1( 1     kk =   )1/(1 /)1( )1(/)1(      kk =   )1/(1 /)1( 1      k 当 0k 时， 0)(  kf   1]/)1[( 1)]1/(1[ /)1( 1 1 1 1 )(                         kkkf =       /)21( )1/()2( /)1( 1 1         kk 对所有的 0k ，有 0)(  kf 。 （d）   )1/(1 /)1( 1lim)(lim      kkf 当 1 时，       )1/(1 /)1( 1lim)(lim 00   kkf kk   11lim)(lim )1/(1 /)1(       kkf kk 当 1 时，   11lim)(lim )1/(1 /)1( 00       kkf kk   01lim)(lim )1/(1 /)1(       kkf kk 4.设生产函数为   1)( RALKY ，其中 R 为土地数量。假设 ，0,0   且 1＋ 。生产要素按照 nLLgAAKsYK   、、 和 0R 变动。 (a).该经济是否有唯一且稳定的平衡增长路径？也就是说，该经济是否收敛于这 样一种情形：在此情形下， RALKY 和、、、 均以不变（但不必相同）速率增长？ 如果这样，其增长率各为多少？若非如此，为什么？ (b).根据你的答案，土地存量不变这一事实是否意味着持久增长是不可能的？请 直观地解释。 解：（a） K K gK   KsYK       K sY K KsY gK 又因为   1)( RALKY 两边取对数，并对时间求导数，可以得到 R R AL LA K K Y Y  )1(         = )( gngK   只要 Kg 固定，则 Yg 也必将固定。                  KK g K Y K Y s K KYKY s t KK g   2 )/( 又因为 YgngY K )]([   所以          K K K g K Y K YgnYg sg )(  =  KK ggng K sY  )( 又因为  K sY gK  Kg K sY 所以  )()1()( gnggg KKK   在平衡增长路径上，需要   0)()1()(  gnggg KKK  即 Kg （非稳定解） 和      1 )( gn gK （稳定解） 相位图 （b）因为 )( gng Y Y K    = )( 1 )( gn gn       = 0 1 )(      gn 所以，总产出的持久增长是可能的！ 定义  1 为土地的产出弹性（份额） 人均产出增长率为 kg      1 )( gn g k kg                ng n gn n gn L L Y Y LY LY )( 1 )( )/( )/(  要保证人均产出永久增加，要求： 0     ng 也即 ng    就是说， g、  越大， 和 n越小，越有可能实现人均产出的永久增加。 第七讲 新古典增长模型 1.考虑一个如下的新古典增长模型，其中，代表性的家庭的偏好由如下的效用函 数给出：    t t t c  0 这里， 10   ， tN 是人口， tc 是消费， 1 。人口以固定速率 n增长，因此： 0)1( NnN t t  这里， 00 N 。生产技术由下述函数所代表：   1ttt NKY 这里， 10  ， tY 是总产出， tK 是总资本存量。资本使用一期就完全折旧， 初始资本存量是正的： 00 K 。政府通过向家庭征收总额税的方式来为自己的购 买融资，其数量为 tgN ，其中， 0g 。出于简单化，我们假设政府把它所购买 的商品均扔入大海里。 (1).以动态规划的形式构建社会计划者的最优化问题。这一规划能被用作去求竞 争均衡解吗？为什么可以或不可以？ (2).求解均衡路径上的资本劳动比率、人均消费和储蓄率。 (3).在第(2)部分的解是否依赖 g？解释原因。 解： （1）社会计划者的问题可以写为：    t t t Kc c tt    0 , 1 max ..ts tttttt gNNKKcN     1 1 0)1( NnN t t  预算约束方程两边同时除以 tN ，可以构建如下的贝尔曼方程：          )(max)( 1 , 1 t t kc t kv c kv tt    ..ts gkknc ttt    1)1( 这里， t t t N K k  。因为不存在税收扭曲、外部性，或者市场失灵，社会计划者的 最优问题可以用作去求竞争均衡的最优解。注意，社会计划者把政府支出看作是 外生的变量，也即，在上述的计划最优问题中，g是作为一个参数而加以考虑的。 （2）代预算约束条件进目标函数，我们可以重写题（1）中的动态规划问题为如 下形式：                 )( )1( max)( 1 1 1 t tt k t kv gknk kv t    求解右边的贝尔曼方程，一阶条件由下式给定： 0)()1( 1 1    tt kvcn   )( 1 1 1           tt kv n c  包洛定理意味着如下的等式成立： 11)(   ttt ckkv 联合包洛定理和一阶条件可以得到欧拉方程： 11 1 1 1 1                ttt ck n c 代平衡增长条件，     kkkccc tttt 11 , 进欧拉方程，可以求得：           1 1 1 n k 代平衡增长条件和 k 的表达式进预算约束条件，可以得到： gn n n c                   )1( 1 1 1 1    储蓄率由下式给出：  t t tt tt t t t k kn kN kN Y K s 1111 )1(   因此，    11 ))(1( kn Y K s t t （3）让每个平衡增长的表达式对 g求导数，有： 0,1,0           g s g c g k 也就是说，储蓄和资本积累是不受政府支出变化的影响的。产出也不受影响，稳 定状态的消费将被政府购买的增加而一对一地挤出。 2.考虑一个经济处于平衡增长路径上的时间是连续的新古典增长模型。效用函数 与生产函数均与讲义中的相同。现在假设政府在某一期，比如说 0t 时期宣布他 （她）将在未来的某一期，比如说 1t 期开始将向行为人征收投资所得税，税率为  。因此，行为人的实际利率将成为    ))(()1()( tkftr 。并且假设政府会 把他（她）征收来的税收一次性地返还给行为人。 （1）试画出 1t 时期以后的人均消费和人均资本的动态演进的相位图。 （2）在 1t 时期人均消费会出现非连续的变化吗？为什么会或者不会？ （3）试画出 1t 时期以前的人均消费和人均资本的动态演进的相位图。 （4）根据你对前三个问题的回答，你认为在 0t 时期，人均消费必须做出怎样的 调整？ （5）请根据你的分析，画出人均消费和人均资本随时间推移的演进草图。 解：（1）政府征税之前，人均消费的动态方程为：     ntkf tc tc ))(( )( )( 政府开始对行为人征收投资所得税以后，人均消费的动态方程成为：     ntkf tc tc   ))(()1( )( )( 征税之前要求：    nkf )( 征税之后要求：         1 )( n kf 因为 10  ，因此，   kk ，故 0c 曲线将向左移动。 政府征税之前，人均资本的动态方程为：  )()()()()( tkntctkftk  对应于 0k 的消费水平由 )()())(()( tkntkftc  给出，因为政府把所有 利息税一总额税的形式返还给消费者，所以人均资本的动态方程不受影响。 （2）在 1t 时期，人均消费 c 不会发生跳跃性变化。因为虽然税收政策要到 1t 时 期才实行，但在 0t 时期政府就宣布政策了。设想，如果行为人在 0t 时期不作出反 应，等到 1t 时期再做出反应，如图 1所示，消费要跳跃性地从 E点变到 A点，发 生大幅度变化，而根据欧拉方程我们知道消费者是偏好平滑消费的，也即要做到 最后一单位的消费品无论在哪一期消费，从中获得的效用是无差异的。这样，