破解椭圆中最值问题的常见策略

破解椭圆中最值问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的常见策略 破解椭圆中最值问题的常见策略 有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。本文通过具体例子，对椭圆中的常见最值问题进行分类破解。 第一类：求离心率的最值问题 破解策略之一：建立 的不等式或方程 例1：若 为椭圆 的长轴两端点， 为椭圆上一点，使 ，求此椭圆离心率的最小值。 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：建立 之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中 的取值进行求解离心率的最值。 解：不妨设 ，则 ， 利用到角公式及 得： （ ）， 又点 在椭圆上，故 ，消去 ， 化简得 又 即 则 ，从而转化为关于 的高次不等式 解得 。 故椭圆离心率的最小值为 。（或 ，得： ，由 ，故 ）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值） 点评：对于此类最值问题关键是如何建立 之间的关系。常用椭圆上的点 表示成 ，并利用椭圆中 的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。 破解策略之二：利用三角函数的有界性求范围 例2：已知椭圆C： 两个焦点为 ，如果曲线C上存在一点Q，使 ，求椭圆离心率的最小值。 分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。 解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得： 故 ，故椭圆离心率的最小值为 。 点评：对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系，并利用三角函数的有界性解题，真是柳暗花明又一村。 第二类：求点点（点线）的最值问题 破解策略之三：建立相关函数并求函数的最值（下面第三类、第四类最值也常用此法） 例3：（05年上海）点A、B分别是椭圆 长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于 轴上方， 。（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于 ，求椭圆上的点到点M的距离 的最小值。 分析：解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系，因此本题两点距离可转化成二次函数的最值问题进行求解。 解：（1）略 （2）直线AP的方程是 － +6=0。 设点M( ,0),则M到直线AP的距离是 。 于是 = ,又－6≤ ≤6,解得 =2。 设椭圆上的点( , )到点M的距离 , 由于－6≤ ≤6, ∴当 = 时,d取得最小值 点评：对于此类最值问题关键是如何将点点之间的最值问题转化成我们常见函数——二次函数的最值问题求解。 破解策略之四：利用椭圆定义合理转化 例4：定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。 解：设F为椭圆的右焦点，如图作于A'， BB'⊥于B'，MM'⊥于M'，则 当且仅当AB过焦点F时等号成立。故M到椭圆右准线的最短距离为。 点评：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB过焦点的充要条件。通过定义转化避免各种烦琐的运算过程。 第三类：求角的最值问题 例5：（05年浙江）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1。 (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1)，P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标 (并用m表示) 。 分析：本题考查解析几何中角的最值问题常采用到角 （夹角）公式或三角形中的正弦（余弦）定理，结合 本题的实际，考虑用夹角公式较为妥当。 解：（Ｉ）（过程略） （II）设P( ①当 时， ②当 时, 只需求 的最大值即可。 直线 的斜率 ，直线 的斜率 利用夹角公式得： 当且仅当 = 时， 最大，最大值为 。 点评：对于此类最值问题关键是如何将角的最值问题转化成解析几何中的相关知识最值问题，一般可用到角（夹角）公式、余弦定理、向量夹角进行转化为求分式函数的值域问题。 第四类：求（三角形、四边形等）面积的最值问题 例6：（05年全国II） 、 、 、 四点都在椭圆 上， 为椭圆在 轴正半轴上的焦 点．已知 与 共线， 与 共线，且 ．求四边形 的面积的最小值和最大值． 分析：本题是向量与解析几何的结合，主要是如何选择一个适当的面积计算公式达到简化运算过程，并结合分类讨论与求最值的思想。 解：①如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为 ，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为 = +1 将此式代入椭圆方程得(2+ ) +2 －1=0 设P、Q两点的坐标分别为( ， )，( ， )，则 从而 亦即 (1)当 ≠0时，MN的斜率为－ ， 同上可得： 故所求四边形的面积 令 = 得 ∵ = ≥2 当 =±1时 =2，S= 且S是以 为自变量的增函数。∴ ②当 =0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2 ，|PQ|= 。∴S= |PQ||MN|=2 综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为 。 点评：对于此类最值问题关键是选择一个适当或合理的面积公式转化成常见函数——反比例函数形式的最值问题。 第五类：求线段之和（或积）的最值问题 破解策略之五：利用垂线段小于等于折线段之和。 例7：若椭圆 内有一点 ， 为右焦点，椭圆上的点 使得 的值最小，则点 的坐标为 （ ） A． B． C． D． 提示：联系到 将 用第一定义转化成点到相应准线的距离问题，利用垂线段最短的思想容易得到正确答案。选 。思考：将题中的2去掉会怎样呢？ 破解策略之六：利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边 例8：如图，在直线 上任意取一点 ，经过 点且以椭圆 的焦点作椭圆，问当 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？ 分析：要使所作椭圆的长轴最短，当然想到椭圆的定义。基本的解题思路如下：长轴最短 三点一直线 寻求对称 对称变换。在一系列的变化过程中巧妙的运用对称，使我们找到一种简明的解题方法。通过此对称性主要利用 解：椭圆的两焦点分别为 （－3，0）、 （3,0）， 作 关于直线 的对称点 ，则直线 的方程为 由方程组 　　得 的坐标（－6，3）， 由中点坐标公式得的 坐标（－9,6）,所以直线 的方程 。 解方程组 　　得 点坐标（－5,4）。由于 ，　　 点评：对于此类最值问题是将所求的最值转化成三角形两边之和大于第三边或两点连线最短、垂线段最短的思想。 除了上述几类之外，高考中还有数量积的最值问题、直线斜率（或截距）的最值问题等等，由此可见对于椭圆中的最值问题所涉及范围较广，从中也渗透了求最值的一些常规方法，运用定义、平面几何知识可更有效地将最值问题转化成形的最值问题。 椭圆中的最值问题 一：求离心率的最值问题 1：若 为椭圆 的长轴两端点， 为椭圆上一点，使 ，求此椭圆离心率的最小值。 2：已知椭圆C： 两个焦点为 ，如果曲线C上存在一点Q，使 ，求椭圆离心率的最小值。 二：求点点（点线）的最值问题 3：（05年上海）点A、B分别是椭圆 长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦 点，点P在椭圆上，且位于 轴上方， 。（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于 ，求椭圆上的点到点M的距离 的最小值。 4：定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。 三：求角的最值问题 5：（05年浙江）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的 长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1。 (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1)，P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点 P记为Q，求点Q的坐标 (并用m表示) 。 四：求面积的最值问题 例6：（05年全国II） 、 、 、 四点都在椭圆 上， 为椭圆在 轴正半轴上的焦点．已知 与 共线， 与 共线，且 ．求四边形 的面积的最小值和最大值． 五：求线段之和（或积）的最值问题 7：若椭圆 内有一点 ， 为右焦点，椭圆上的点 使得 的值最小，则点 的坐标为 （ ） A． B． C． D． 8：如图，在直线 上任意取一点 ，经过 点且以椭圆 的焦点作椭圆，问当 在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？ 9已知点F是椭圆 的右焦点，M使这椭圆上的动点，A（2,2）是一个定点，求|MA|+|MF|的最小值。 10已知定点A（2，1），F（1，0）是椭圆 的一个焦点，P是椭圆上的点，求|PA|+3|PF|的最小值. 11椭圆上 上一点P到两焦点距离之积为m，则m取最大值时，p点的坐标是 A B C 12求椭圆 上的点到直线 的最大距离和最小距离. 13已知 的焦点为F1、F2，在直线 上找一点M,求以F1、F2为焦点，通过点M且点M到两焦点的距离之和最小时的椭圆方程. 运用双曲线模型解题 数学问题“模型化”的主要思想就是构造一种“实物”作为数学问题的元素，把数学问题中元素间抽象的相互关系解释为这种“实物”间的一种具体关系。于是，抽象的数学问题就有了一种解释，也就是把这个数学问题建立了一个“数学模型”。实践表明，在解题过程中，建立和运用模型思想，有利于整体性和创造性地处理问题。以下从六个方面就建立和运用双曲线模型解题作点说明。 1.解方程 例1.解方程 简析与解：由两根式差为4，联想到双曲线的定义，可用双曲线模型解题。 原方程即为 ①式可看着动点P(x，y)到定点(－2,0)与(4,0)的距离之差为4，由双曲线的定义知动点P(x , y)的轨迹是以(－2 , 0)，(4 , 0)为焦点，实、虚半轴长分别为2， 的双曲线 的右支，将y2 = 4代入解得x＝1± (负根舍去)即x＝1＋ 2.解不等式 例2.解不等式 ＜secα+tanα＜ 简析与解：考虑到sec2α－tan2α=1，可构成双曲线模型来解题。 令x＝secα，y＝tanα,则原不等式等价于 令x＋y＝t ( )，问题转化为求使平行直线系y＝－x＋t与等轴双曲线有交点的一般双曲线弧的范围。在同一坐标系中分别作出双曲线x2－y2=1及y=－x＋t的图象，知1＜x＜ ，－1＜y＜1 ∴原不等式的解集为｛α｜2kπ－ ＜α＜2kπ＋ ，k∈z｝ 3.求值域 例3.求函数t＝x＋ 的值域。 简析与解：因为y＝ 的图象就是双曲线 y －(x－1) ＝1的上支，所以此题也可构造双曲线模型来解。 将原函数变形为t－x＝ ， 令y＝t－x＝ ，则问题转化 为求直线l：y＝t－x与曲线C：y＝ 有交点的t的取值范围，而曲线C就是双曲线y2－(x2－1)＝1的上支。在同一坐标系中作出曲线C及直线l的图象，知t＞1。∴原函数的值域为｛t｜t＞1｝ 4.确定字母的取值范围 例4.已知a＞0且a≠1，试求使方程loga(x－ak)＝ (x2－a2)有解的k的取值范围。 简析与解：原方程等价于x－ak＝ ＞0， 联想到y＝ 的图象是双曲线x2－y2＝a2在x轴上方的部分，于是可考虑用双曲本模型来解题。 令y＝x－ka＝ ，原题转化为平行直线系y＝x－ak与等轴双曲线x2－y2＝a2在x轴上方有交点的条件。在同一坐标系中作出双曲线x2－y2＝a2与直线y＝x－ak在x轴上方的部分图象，它们有交点的条件是-ak＞a或-a＜-ak＜0 ∴k＜－1或0＜k＜1 5.求轨迹 设x、y∈R , i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量,向量a ＝xi＋(y＋5)j, b＝xi＋(y－5)j，且|a|＝|b|＋6，求点M(x,y)的轨迹方程。 简析与解：由|a|=|b|+6即|a|-|b|＝6而联想到双曲线的定义，可构造双曲线模型解题。∵M (x,y)到定点F1（0,-5）、F2（0 , 5）的距离分别等于|a|、|b|，且|a|－|b|＝6＜|F1F2|。∴点M(x,y)的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线的上支，故所求轨迹方程为： （ y ≥3） 6.解应用题。 如图，A村在B地的东北方向上，且离B地相距6 km，C村在B村的正东方向，且与B地相距4Km，已知公路PQ上任一点到B、C两地距离之差都为2Km，现要在公路旁建造一个变电房M（变电房可视为建在公路上）分别向A村、C村送电，但A村有一村办工厂，且电须用专用线路。因此向A村要架两条线路分别给村民和工厂送电，要使所用电线最短，变电房应建在A村的什么方向，并求出M到A村的距离。 简析与解：∵｜MB｜－｜MC｜＝2＜｜BC｜ ∴M在以B、C 为焦点的双曲线上，以直线BC为x轴，BC为垂直平分线为y轴，建立直角坐标：B（－2 , 0）C（2 , 0）、A（4 , 6）， M点的轨迹方程为 ，e= 右准线l的方程为：x 过M作MN⊥l于N，则｜MC｜=2｜MN｜ 依题意求2｜MA｜+｜MC｜的最小值， 即求2（｜MA｜+｜MN｜）的最小值。 由平几知识可知，当M、A、N共线时｜MA｜+｜MN｜最小。 ∴M（ ,6）　　｜AM｜＝4－ 即变电房应建在A村的正西方向且距A村(4－ )km 处。 一个椭圆问题的六种解法 直线与圆锥曲线有公共点问题，通常采用判别式法去解决，然而在求解线段与圆锥曲线有公共点问题时，判别式法已不能用，所以觉得无从下手，下面对一道例题进行多角度、新视角、全方位地探究，以透视这类问题的求解规律。 例：已知定点A（1，1），B（2，3），椭圆C： 与线段AB有公共点，求 的取值范围。 解法1 区域法 如图所示，根据A（1，1），B（2，3）的坐标的特点以及椭圆的中心在原点，可知线段AB与椭圆C有公共点的充要条件是： 且 ， 解得： ， 所以，当 时，线段AB与椭圆有公共点。 解法2 代入法 由题意知，线段AB的方程为： ， 线段AB与椭圆C有公共点，等价于方程组 ， 在 上有实数解，从方程组中消去 得： ， 分离 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 得： ， 即有 ，又 ， 所以 。 解法3 定比分点法 设椭圆C与线段AB的交点为M，M分有向线段 的比为 ，则 ，由定比分点坐标公式知 ， 将点M的坐标代入椭圆方程得： ， 解得： ，又 ， 所以 。 解法4 向量法 设椭圆C与线段AB的交点为 ，则由平面向量共线的充要条件知 ，又因为交点 一定在第一象限，所以 ，所以 ， 所以 ， 又 ，所以 ， 又因为 ，所以 。 解法5 参数法 线段AB的参数方程为 将其代入椭圆方程并整理得： ， 由参数 的几何意义知，要使线段与椭圆有公共点，等价于方程 ，在 上有一解，又因为线段BA的延长线与椭圆的交点对应的参数 也是负的，故必有 解得 ，又 ， 所以 。 解法6 距离法 由题意知，线段AB的方程为 ，设椭圆C与线段AB的交点为M，则点M到线段AB的距离为0，由点到直线的距离的公式即可解得。 数学竞赛中的椭圆问题 例1(2000年全国高中数学联赛) 在椭圆 (a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是 ，则∠ABF=_________. 分析： 的三边可用 、 、 来表示，再用余弦 定理或勾股定理来求角. 解：由 得 ，即 . 如 图1有: ， ，而 ，易见 ，故∠ABF=90°. 评注：本题着眼于考查椭圆的基本量在图中的表示. 例2(1997年全国高中数学联赛)在平面直角坐标系中，若方程 表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为（ ） A．(0,1) B．(1,+ C．(0,5) D．(5,+ 分析：如果把表达式配方成椭圆 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 式，由于含有 项，需要对坐标轴进行旋转，而利用第二定义可以直接解决这一问题. 解：由 可得： ，也即： ，此式表示的是点 到定点 的距离与到定直线 的距离之比为 ，由第二定义及椭圆的离心率范围得： ，即 . 例3（第12届希望杯高二试题）设 是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P使 ，则椭圆离心率的取值范围是： . 分析：可先利用余弦定理和均值不等式判定P点位于短 轴顶点B时 最大，于是 . 解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为： 、 、 如图2：在 中， ，即 . 这时 ，又椭圆离心率小于1，故所求的范围是 . 例4(2002年全国高中数学联赛)直线 与椭圆 相交于 、 两点，该椭圆上点 ，使得△ 的面积等于3．这样的点 共有（ ） A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个 　　分析：作图后可以发现 ，若△ 的面 积为3，则 到 的距离为 即可. 解：如图3，若 在直线 上方，设 ，则 到直线 的距离： ，化简得： 舍去. ∴点 不可能在直线 的上方，显然在直线 的下方有两个点 . 评注：恰当地利用椭圆的参数方程，可以使解题过程简明扼要. 例5（1996年上海市高中数学竞赛）连结椭圆 的右焦点 与椭圆上的动点A，作正方形 （ 、 、 、 按顺时针排列）. 则当点A沿椭圆运动一周后，动点C的轨迹方程是： . 分析：如图4，C点可以看成是由 绕点 顺时针旋转90°后 得到的. 故用向量法，可方便解决. 解：设 ，易知 则 ，所以 ， ，令 则 消去参数 有 . 评注：在解几中利用向量这一崭新有力的工具，可以减少推理过程，有效地降低思维量. 例6（1999年全国高中数学联赛题）给定 已知B是椭圆 上的动点，F是左焦点，当|BA|+ |BF|取得最小值时，求B点坐标. 分析：如果设B的坐标，用距离公式求|BA|+ |BF|, 则计算相当繁琐，而如果利用椭圆的第二定义把 |BF|转 化为B点到准线的距离就简单的多. 解：由题意得 , , . ,左准线为 过B点作左准线的垂线，垂足为点 ，再过点 作左准线的垂线，垂足为点 . 由椭圆的第二定义得：| |= 于是:| |+ | |=| |+| |≥| |≥| |（| |长为定值）. 当且仅当 点是线段 与椭圆左面交点时等号成立. 这时： 可解得 的坐标为（ ，2）. 评注：在解决二次曲线问题时，第二定义的巧妙应用可以化繁为简，减少运算量.