作业18.20.复习P220—245P236习题8.2P241习题8.33.5.6.7.12.16.第二十三讲常微分方程（三）二、常微分方程应用举例一、可降阶微分方程逐次积分一、高阶可降阶微分方程积分一次再积分一次变量替换原方程变形成为一阶特点是：不显含y[解]积分,得通解[解2]注意到方程的特殊性积分,得通解一阶变量替换原方程变形成为特点是：不显含x[解]方程化为分离变量积分分离变量解得列方程的常用方法(1)利用物理定律列方程(2)利用导数的几何意义列方程(3)利用微元
分析
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法列方程二、常微分方程应用举例[解]取时间t为自变量，物体的温度T(t)为未知函数.由牛顿冷却定律知初始条件另外还有一个条件:可用来确定比例常数k分离变量，得两边积分，得代入上式，得代入，得将T=30代入，解出即，还需再经过物体的温度即可降为[例2]已知曲线上任一点P(x,y)处的切线在x轴上的截距等于点P的横坐标的一半,且过定点(2,1),求此曲线的方程.[解]由题意得又已知曲线过点(2,1),于是得到定解问题分离变量求得通解[例3]试设计一反光镜,使它能将点光源发出的光反射成为平行光[解]点光原位于坐标原点O,由点O发出的光线经反射都成为平行于x轴的平行光由光的反射定律于是有根据导数的几何意义得到微分方程一阶齐次变形为分离变量代入(1)式，得积分，得取指数[解]列方程，确定初始条件已知，在任何一段时间内容器内含盐改变量=流进盐量–流出盐量若溶液的浓度不变，则流出盐量=浓度流出的溶液量问题中，溶液的浓度始终在变，如何解决?考虑微小时间间隔dt内的变化情况设时刻t时溶液的含盐量为当时间从t变到t+dt时，容器内的含盐量由Q变到Q+dQ，因而容器内含盐改变量为dQ从容器内流出的溶液量为2dt在时间dt内盐水的浓度近似看作不变，看作是t时刻的盐水浓度所以流出的盐量为于是有初始条件分离变量通解特解28[解]此问题涉及水面高度随时间的变化规律根据水利学定律，流出速度考虑任意时刻t，任取时间区间[t,t+dt]在dt时间内，水面高度的改变为dh取时间t为自变量，水面高度h(t)为未知函数，并取坐标系如图漏斗内水的体积改变量为下落水的体积=流出水的体积于是列出微分方程初始条件另方面,时间dt内从小孔流出水的体积等于以S为底，以(vdt)为高的小圆柱体积经整理得解得当水流完时，h=0正交轨线问题思路：这就是正交曲线族！通解39[解][解]通解
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