数形结合_例题解析(1)

数形结合_例题解析(1) 学术研究 2012 年第 1 期创新课堂利用数形结合思想解题，不但是一种重要的解题方法，更是一种重要的思维方法。对于应用数形结合思想解题，大家并不陌生，但如何应用却是值得我们深究的问题。数形结合的主要方法有：图像法、几何法，主要途径是转化，常见转化有：构造函数实现转化、构造图形实现转化。一、构造函数，实现转化把研究数的问题转化为研究图像的问题，这类方法一般适用于解方程或不等式的问题。例1：方程x+log2x=2和方程x+log3x=2的根分别是α、β，那么α、β的大小...

学术研究 2012 年第 1 期创新课堂利用数形结合思想解题，不但是一种重要的解题方法，更是一种重要的思维方法。对于应用数形结合思想解题，大家并不陌生，但如何应用却是值得我们深究的问题。数形结合的主要方法有：图像法、几何法，主要途径是转化，常见转化有：构造函数实现转化、构造图形实现转化。一、构造函数，实现转化把研究数的问题转化为研究图像的问题，这类方法一般适用于解方程或不等式的问题。例1：方程x+log2x=2和方程x+log3x=2的根分别是α、β，那么α、β的大小关系是（） A.α＜β B.α=β C.α＞β D.无法确定 0 A B β y y-log2x y-log3x xα y=2-x 分析：由x+log2x=2得log2x=2－x，由x+log3x=2 得log3x=2－x，分别构造函数y=log2x，y=log3x及y= 2－x，并作出它们的图像，由图易得答案为A。例2：方程 1-x2姨 -|ax|=0（a∈R）解的个数是（） A.4个 B.2个 C.0个 D.与a的取值有关 y x-1 0 1 1 分析：原方程可化为 1-x2姨 =|ax|，分别作函数y＝ 1-x2姨与y＝|ax|的图像，由图知，应选B。二、构造几何图形，实现转化在解题时，我们常通过构造几何图形，实现问题转化，如把a转化为距离，把a2或ab转化为面积，a2 +b2+ab转化为余弦定理，把sinα转化为直角三角形中边角关系等。例3：若锐角α、β、γ满足cos2α＋cos2β＋cos2γ＝ 1，求证tgαtgβtgγ≤2 2姨。分析：由已知条件可设α、β、γ为一长方形的一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角，从而命题容易得证。 C BA B1 D C1D1 A1 c a b 证明：如图，设长方形体ABCD－A1B1C1D1 的长、宽、高为a，b，c，∵cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，∴ 可设∠D1BA=α，∠D1BC=β，∠D1BB1=γ，连结 BD1，则tgα＝ b 2+c2姨 a ，同理tgβ＝ a 2+c2姨 b ，tgγ＝ a2+b2姨 c ，tgαtgβtgγ = b 2+c2姨 a · a 2+c2姨 b · a2+b2姨 c ≤ 2 2姨 abc abc =2 2姨，当且仅当a＝b＝ c时取等号，故命题成立。例4：设x＞0，y＞0，z＞0，求证： x2-xy+y2姨＋ y2-yz+z2姨＞ y2-zx+z2姨。 0 C B A z y x 分析：注意到 x2-xy+y2姨＝ x2+y2-2xy cos60°姨表示以x、y为两边，夹角为 60°的三角形第三边，另两边也有同样意义。故构造如图的四面体，使∠AOB ＝∠BOC ＝ ∠COA＝60° ，则有AB＝ x2+y2-2xy cos60°姨， BC ＝ y2+z2-2yz cos60°姨， CA ＝ x2+z2-2xz cos60°姨，原命题转化成了求证AB＋ BC＞CA，这显然是成立的。三、如果已知条件是函数问题，则应善于发现各个量所表示的几何意义，然后再把所要研究问题转化为平面几何或解析几何问题进行解决例5：求y=|x＋1|＋|x－2|的最小值。解：由绝对值几何意义不难得出，最小值为3。例6：函数y＝ 3-sinx2+cosx 的最大值＝，最小值＝。 B A x P y 分析：本题可把求值问题转化为求切线斜率问题。由于y＝ 3-sinx2+cosx ＝ 3-sinx 2-(-cosx) ，表示过点 P（2,3）与单位圆上一点（－cosx,sinx)的直线的斜率，由图知，当直线与圆相切时，分别可得到 ymax＝2＋ 2 3姨3 ，ymin＝2- 2 3姨3 。例7：y＝ (x+1)2+4姨 + x2+1姨取得最小值时 x的值是。 B x -1 -1 0 2 2 y A· 分析：注意到 (x+1)2+4姨 + x2+1姨 = [x-(-1)]2+(0-2)2姨 + (x-0)2+[0-(-1)]2姨表示x轴上的点M（x，0）到点A（－1，2）与B（0，－1）的距离之和。由平面几何知识得，当M（x，0）为AB与 x轴交点时，ymin=10，此时x＝ 13 。例8：求函数M＝(s-t)2+( 2-s2姨－ 9t ) 最小值。 x3 -3 0 B(3,3) A(1 ,1) 3 -3 y 分析：由于已知代数的结构与两点间距离公式完全一致，可看作是求两点(s， 2-s2姨 )与 (t， 9t ) 的距离的最小值，∵点M(s， 2-s2姨 )在半圆x2+y2=2(y≥0)上，T(t， 9t ) 在双曲线上，观察图像知：半圆、双曲线分别与直线y=x交于A （1，1)，B（3，3）两点，|AB|即为半圆上的点与双曲线上的点之间的最小距离，其值为2 2姨。例9：求函数s= t-1姨＋ 3-t姨的最大值。 2姨 x20 2 y 2姨分析：以上题目用代数来算难以奏效，可将两根式通过二次换元，使原函数变形为在另一直角坐标系中的直线方程，把求函数最值化为解析几何中求直线的截距的最值，从而使问题迎刃而解。解：设 t-1姨＝x， 3-t姨＝y，则 x2+y2=2 x+y=≥ s ，x≥ 0，y≥0，最值问题转化为过圆弧上一点，斜率为－1的直线在x轴上的截距。显然，直线与圆相切时，smax=2，当直线过点(2，0)时，smax=2。总之，许多函数最值问题，可转化为求直线斜率的最值问题，直线在两坐标上截距的最值问题，或两点间距离问题。（责编张晶晶）数形结合，例题解析林福珠（福建省仙游一中 351200） 145

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