nullnull椅子能在不平的
地面上放稳吗?null 问题:把椅子往不平的地面放,通常只有
三只脚着地,放不稳,然而只需挪动几次,就可以使四只脚同时着地,放稳了。这个现象如何用数学语言给以说明?
模型假设:
1、椅子四条腿一样长,椅脚与地面接触处为点,四脚的连线为正方形。
2、地面的高度是连续变化的,沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况),即地面看成为数学上的连续曲面。
3、地面是相对平坦的,即椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。nulloxABCDA’B’C’D’θ 模型构成: 上图中椅脚的连线为正方形ABCD,对角线AC与x 轴重合,椅子绕中心点o旋转角度θ后,正方形ABCD转至的位置A’ B’ C’ D’,所以对角线A’C’ 与x轴的夹角θ
表
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示了椅子的位置。null 如果用某个变量表示椅脚与地面的距离,那么当这个距离为零时就是椅脚着地了。椅子在不同的位置,椅脚与地面的距离不同,所以这个距离是椅子位置的变量θ 的函数。 椅子有四只脚,应该有四个距离函数。但是由正方形的中心对称性,只要设两个距离函数就可以了。 记,A、C 两脚与地面的距离之和为 f (θ), B、D 两脚与地面的距离之和为 g (θ), ( f (θ), g(θ)≥0 )。由假设2,f 和 g 都是连续函数。由假设3,椅子在任何位置至少有三只脚着地,所以f 和 g 中至少有一个为零。当θ=0时不妨设g (0)= 0, f (0) > 0 .null 这样,问题就归结为证明如下的数学命题:
已知f (θ), g(θ)是θ的连续函数,对任意的θ, f (θ) g(θ) = 0,且g(0)= 0, f (0) > 0 。
证明:存在θ0 ,使f (θ0) =g(θ0) = 0
模型求解:
把已知旋转90度,对角线AC与BD互换。由
g(0)= 0, f(0) > 0 可知g(π/2)> 0, f (π/2) = 0 。
令 h (θ)= f (θ) – g (θ)
则 h (0) > 0 , h (π/2) < 0。
由 f 和 g 连续性知 h 也是连续函数。根据连续函数的基本性质,必存在θ0∈(0, π/2)使 h (θ0) = 0 ,即f (θ0) =g (θ0) null 又因为, f (θ0) g (θ0) = 0
所以,f (θ0) =g (θ0) = 0