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也谈孙子定理的推广.doc

也谈孙子定理的推广

用户3182284693
2014-01-21 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《也谈孙子定理的推广doc》,可适用于其他资料领域

也谈《孙子定理》的推广山东省济宁电大周祥德《孙子定理诌议》(人教网)一文用“带余除法”表述《孙子定理》得到方程组:该方程组中每个方程都是一个“带余除法算式”(以下简称“算式”)“算式”中当除数m,m,…mk是两两互质的正整数时《孙子定理》给出了求上述方程组中未知数x的公式。但如果除数不两两互质就不能直接用《孙子定理》求解怎么办?众多数学爱好者对此问题已经进行了深入研究并取得重要成果。笔者在本文中对这个问题也谈点粗浅看法不当之处请批评指教。本文约定若提到“x满足x=myb”是指:若x被m去除存在商数y(整数)使得余数是b。例如因为=×故x=满足x=y显然x=不满足x=y。在这里需要熟悉两个定理:定理一:设m,m,…mk为正整数b是任意整数且D=m,m,…mk则x同时满足①的充要条件是x满足x=Dyb②定理一表明:若x满足②式则x必满足①式反之若x满足①式则x也必满足②式。这种关系称①式与②式等价。定理二:设mm为正整数bb是任意整数且(m,m)=d则x同时满足的充要条件是d|bb。由定理二得到两个重要推论:推论若m=m则①式与②式等价。推论设(mm)=m若x满足①式则x必满足②式。下面通过例题说明由“算式”组成的方程组当除数不两两互质时怎样化成能用《孙子定理》去解的方程组。例如求方程组:的解x的值。显然这是一个由“算式”组成的方程组由于除数不两两互质故不能直接用《孙子定理》去解为此、首先把“算式”中除数是合数的化成互质数的乘积:②式中=×③式中=×、以x为被除数互质的因子为除数互质因子所在“算式”中的余数为余数由定理一得到与②式等价的(I)与③式等价的(II)、把原方程组中②式与③式分别换成(I)式和(II)式便得到方程组:、根据定理二对这个方程组进行化简:(i)考察除数相同的②式和⑤式因为|()由定理二的推论可知②式和⑤式等价故任舍一式这里舍去⑤式(在“算式”后面打上×号表示舍去的式子)。(ii)对除数不同但有最大公约数的⑥式和②式因为(,)=且|()由定理二的推论知道若x满足⑥式则x必满足②式故舍去②式。至此经上述化简我们得到与原方程组关于x等价的方程组:因为这个方程组中两两互质故可直接用孙子定理求方程组中x的值。这里省去求解过程最后得到原方程组的解x=n(n取任意整数)。

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