走向IMO数学奥林匹克试题集锦（2013）

前!!言 本 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 以$%&'年国家集训队的测试选拔 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 为主体&搜集了 $%&$年/月至$%&'年0月间国内主要的数学竞赛及$%&'年国 际数学奥林匹克试题和解答&并且附上了$%&'年美国和俄罗斯数 学奥林匹克的试题与解答&$%&'年罗马尼亚大师杯数学奥林匹克 的试题与解答&这些试题大都是从事数学奥林匹克教学和研究的 专家们的精心创作&其中的一些解答源自国家集训队和国家队队 员&他们的一些巧思妙解为本书增色不少! 在过去的一年中&我国中学生数学竞赛的主要赛事有$%&$年 全国 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 数学联赛!中国数学会普及工作委员会主办"($%&'年中 国数学奥林匹克!-"#"!中国数学奥林匹克委员会主办"&以及由 中国数学奥林匹克委员会主办的第&&届中国女子数学奥林匹克 !-,"#"等! 在$%&'年国家集训队和国家队集训期间&得到了裘宗沪(王 杰(潘承彪等专家们的鼓励(支持和指导!另外在国家集训队集训 期间&除了国家集训队教练组外&天津师范大学李建泉教授(江西 科技师范大学陶平生教授为学生做了专题讲座&提供了一些测验 题!在国家队集训期间&除了国家队教练组外&潘承彪教授为学生 做了精彩的 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 &裘宗沪教授对学生进行了赛前指导&再次对他 们表示衷心的感谢! 本书倾注了许多专家和学者的心血&书中有许多他们的创造 性的工作!本书可供数学爱好者(参加数学竞赛的广大中学生(从 事数学竞赛教学的教练员(开设数学选修课的教师参考! $%&$年全国高中数学联赛及加试由吴建平整理&$%&'年中 国数学奥林匹克由陈永高整理&$%&$年第&&届中国女子数学奥 林匹克由朱华伟整理&$%&$年中国西部数学邀请赛由冯志刚整 理&$%&$年中国东南地区数学奥林匹克由李胜宏整理&$%&'国家 集训队测试题由熊斌整理&$%&'年中国国家队选拔考试题由瞿振 华整理&$%&'年第12届国际数学奥林匹克由熊斌和李秋生整理! $%&'年俄罗斯数学奥林匹克由李伟固整理&$%&'年美国数学奥 林匹克由张思汇整理&$%&'年罗马尼亚大师杯数学奥林匹克由冯 志刚整理! 囿于作者的水平&加上编写时间仓促&不足和错误在所难免& 请广大读者朋友批评指正&不吝施教! !"#$年&()中国国家集训队教练组 !"#$年*月 目!!录 ""# "#$ "#% "$& "'( ")* "(# #"& #&& #$+ #)) #+$ !"#!年全国高中数学联赛 !"#!年全国高中数学联赛加试 !"#$年中国数学奥林匹克!第!%届全国中学生数学冬 令营" !"#!年第##届中国女子数学奥林匹克 !"#!年中国西部数学邀请赛 !"#!年第&届中国东南地区数学奥林匹克 !"#$年中国国家集训队测试 !"#$年中国国家队选拔考试 !"#$年美国数学奥林匹克 !"#$年俄罗斯数学奥林匹克 !"#$年罗马尼亚大师杯数学奥林匹克 !"#$年国际数学奥林匹克!第(*届!"#" 书书书 !"#!年全国高中数学联赛 ! !"#! 年全国高中数学联赛 受中国数学会委托!!"#!年全国高中数学联赛由陕西省数学 会承办!中国数学会普及工作委员会和陕西省数学会负责命题 工作! !"#!年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部!""" 年"全日制普通高级中学数学教学大纲#中所规定的教学要求和 内容!但在 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 上有所提高!主要考查学生对基础知识和基本技 能的掌握情况!以及综合和灵活运用的能力!全卷包括$道填空 题和%道解答题!答卷时间为$"分钟!满分#!"分! 全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨! 在知识方面有所扩展!适当增加一些竞赛教学大纲的内容!全卷 包括&道解答题!其中一道平面几何题!答卷时间为#'"分钟!试 卷满分为#$"分! 全国高中数学联赛于#"月#&日进行!在各赛区初评的基础 上!复评工作于##月##日至#&日在西安进行!中国数学会和陕 西省数学会的相关负责人参加!经过复评!确定了$!"#!年全国高 中数学联赛赛区一等奖名单%!%#个赛区共有#!$#名同学获得赛 区一等奖!确定了$!"#%年冬令营营员名单%!有%#!名同学取得 了参加!"#%年沈阳冬令营的资格! !!" ! 走 向!"# 一!填空题"每小题!分#共"#分$ $ 设"是函数#$%&!%!%!""的图象上任意一点#过 点"分别向直线#$%和#轴作垂线#垂足分别为'$(#则 "## "'% "## "(的值是$$$$! 解法一$设"%"#%"(!%! "" #则直线"'的方程为 #) %"&!%! "" $)!%)%""# 即#$)%&!%"&!%"! 由 #$% # #$)%&!%"&!%" % & ' # 得'%"&#%"#%"&#%! "" ! 又("#%"(!%! "" #所以 "## "') #%" #*#%! "" # "## "()!*%"#""! 故 "##"'% "##"()#%"%!*%"")*#! !第#题" 解法二$如图#设" %"#%"(!%! "" !%"!""#则点"到直线%*#)"和#轴 的距离分别为 *"'*$ %") %"&!%! "" 槡! $ 槡! %" # *"(*$%"! !!# !"#!年全国高中数学联赛 ! 因为+$'$"$(四点共圆!+为坐标原点"#所以 ('"($!)('+($%!&! 故 "##"'% "##"($* "##"'*%* "##"(*+,-%!& $)#! % 设)'(,的内角'$($,的对边分别为-$.$/#且满 足-+,-().+,-'$%'/#则./0'./0(的值是$$$$! 解法一$由题设及余弦定理#得 -%/ !&-!).! !/- ). %. !&/!)-! !./ $ % '/ # 即-!).!$%'/!! 故./0' ./0($ -10'+,-( -10(+,-'$ -%/ !&-!).! !/- .%. !&/!)-! !./ $/ !&-!).! .!&/!)-!$ $ '/ ! ! '/ ! $&! !第!题" 解法二$如图#过点,作,0*'(# 垂足为0#则 -+,-($0(#.+,-'$'0! 由题设得0()'0$%'/! !!$ ! 走 向!"# 又0(&0'$/#联立解得'0$#'/#0($&'/! 故./0' ./0() ,0 '0 ,0 0( )0('0)&! 解法三$由射影定理#得-+,-(&.+,-'$/! 又-+,-().+,-'$%'/#联立解得 -+,-($&'/ #.+,-'$#'/! 故./0' ./0() -10'+,-( -10(+,-') -+,-( .+,-') & '/ # '/ )&! & 设%###1+&"##'#则 2$ *%)#槡 *& *#)1槡 *& *1)%槡 * 的最大值是$$$$! 解$不妨设",%,#,1,##则 2$ #)槡 %& 1)槡 #& 1)槡 %! 因为 #)槡 %& 1)槡 #, !&!#)%"&!1)#槡 "' $ !!1)%槡 "# !!% !"#!年全国高中数学联赛 ! 所以2, !!1)%槡 "& 1)槡 %$!槡!&#" 1)槡 %,槡!&#! 当且仅当#)%$1)##%$"#1$##即%$"##$#!# 1$#时#上式等号同时成立! 故22/3$槡!&#! # 抛物线#!$!3%!3!""的焦点为4#准线为5#'$(是 抛物线上的两个动点#且满足('4($!%!设线段'(的中点 2在5上的投影为6#则*26**'(*的最大值是$$$$! 解法一$设('(4$!"-!-!!! "% #则由正弦定理#得 *'4* -10! $ *(4* -10!!%)! "! $ *'(* -10!% ! 所以 *'4*&*(4* -10!&-10!!%)! "! $ *'(* -10!% # !第&题" 即*'4*&*(4* *'(* $ -10!&-10!!%)! "! -10!% $!+,-!)!! "% ! 如图#由抛物线的定义及梯形的中位 线定理#得*26*$*'4*&*(4*! ! !!& ! 走 向!"# 所以*26* *'(*$+,-!) !! "% ! 故当!$!%时#*26**'(*取得最大值为#! 解法二$由抛物线的定义及梯形的中位线定理#得 *26*$*'4*&*(4*! ! 在)'4(中#由余弦定理#得 *'(*!$*'4*!&*(4*!)!*'4*%*(4*+,-!% $!*'4*&*(4*"!)%*'4*%*(4* .!*'4*&*(4*"!)%*'4*&*(4*! "! ! $ *'4*&*(4*! "! ! $*26*!! 当且仅当*'4*$*(4*时#等号成立! 故/26/ /'(/ 的最大值为#! ' 设同底的两个正三棱锥" '(,和7 '(,内接于同一 个球!若正三棱锥" '(,的侧面与底面所成的角为&'4#则正 三棱锥7 '(,的侧面与底面所成角的正切值是$$$$! 解$如图#连结"7#则"7*平面'(,#垂足8为正)'(, 的中心#且"7过球心+!连结,8 并延长交'(于点2#则2为 '(的中点#且,2 *'(!易知("28$(728 分别为正三棱 锥" '(,$7 '(, 的侧面与底面所成二面角的平面角#则 !!' !"#!年全国高中数学联赛 ! !第'题" ("28 $&'4#从而"8 $28 $#!'8! 因为("'7$5"4#'8 *"7#所以 '8!$"8%78#即 '8!$#!'8 %78! 所以78 $!'8 $&28! 故./0(728 $7828 $&! " 设9!%"是定义在(上的奇函数#且当%."时#9!%"$ %!!若对任意的%+&-#-&!'#不等式9!%&-".!9!%"恒 成立#则实数-的取值范围是$$$$! 解$由题设知# 9!%"$ %! !%.""# )%! !%-" % & ' "# 则!9!%"$9!槡!%"! 因此#原不等式等价于9!%&-".9!槡!%"! 因为9!%"在(上是增函数#所以%&-.槡!%#即 -.!槡!)#"%! 又%+&-#-&!'#所以当%$-&!时#!槡!)#"%取得最大 值为!槡!)#"!-&!"! 因此#-.!槡!)#"!-&!"#解得-.槡!! !!( ! 走 向!"# 故-的取值范围是&槡!#(6"! ) 满足 # & --10 ! : - # % 的所有正整数: 的和是 $$$$! 解$由正弦函数的凸性有#当% + "#!! "7 时#%!% - -10%-%!由此得 -10!#%- ! #%- # & #-10!#!! % !; ! #!$ # & # -10!#"- ! #"- # % #-10!5! % !; ! 5$ # %! 所以-10!#%-#&--10!#!--10!##--10!#"-#%--10!5! 故满足# &--10 ! :- # % 的正整数:的所有值分别为#"$##$ #!#它们的和为%%! ! 某情报站有'$($,$0四种互不相同的密码#每周使 用其中的一种密码#且每周都是从上周未使用的三种密码中 等可能地随机选用一种!设第#周使用'种密码#那么第8周 也使用'种密码的概率是$$$$!!用最简分数表示" 解$用"<表示第<周用' 种密码的概率#则第<周未用' 种密码的概率为#*"!="$=!&-=&-)%-! 对任意%+(#9!%","恒成立的充要条件是 !!* ! 走 向!"# >!)#"$#)%-," # >!#"$#&!-)%-," % & ' # 解得-的取值范围为!"##'! !!"因为-.!#所以)-!,)#!所以 >!="210$>!)#"$#)%-! 因此#9!%"210$#)%-! 于是#存在%+(#使得9!%","的充要条件是#)%-,"# 解得"--,%! 故-的取值范围是&!#%'! $, !!"分"已知数列(-:)的各项均为非零实数#且对于任 意的正整数:#都有 !-#&-!&+&-:"!$-%#&-%!&+&-%:! !#"当:$%时#求所有满足条件的三项组成的数列-#$ -!$-%* !!"是否存在满足条件的无穷数列(-:)#使得-!"#% $ )!"#!,若存在#求出这样的无穷数列的一个通项公式*若不 存在#说明理由! 解$!#"当:$#时#-!#$-%##由-#1"#得-#$#! !"! !"#!年全国高中数学联赛 ! 当:$!时#!#&-!"!$#&-%!#由-!1"#得-!$!或-!$ )#! 当:$%时#!#&-!&-%"!$#&-%!&-%%!若-!$!#得-%$ %或-%$)!*若-!$)##得-%$#! 综上#满足条件的三项数列有%个-#$!$%或#$!$*!或#$ *#$#! !!"令?:$-#&-!&+&-:#则 ?!: $-%#&-%!&+&-%:!:+*0"! 从而!?:&-:&#"!$-%#&-%!&+&-%:&-%:&#! 两式相减#结合-:
"#得!?:$-!:&#)-:&#! 当:$#时#由!#"知-#$#* 当:.!时#!-:$!!?:)?:)#"$!-!:&#)-:&#")!-!:)-:"# 即!-:&#&-:"!-:&#)-:)#"$"#所以-:&#$)-:或-:&#$-:&#! 又-#$##-!"#%$)!"#!#所以存在如下形式满足条件- -:$ :# #,:,!"#!# !"#!!)#":#:.!"#% % & ' ! !第##题图"" $$ !!"分"如图"#在平面直角坐 标系%+#中#菱形'(,0 的边长为 &#且*+(*$*+0*$7! !#"求证-/+'/%/+,/为定值* !!"当点'在半圆2-!%)!"!& #!$&!!,%,&"上运动时#求点, 的轨迹! !"" ! 走 向!"# 解$!#"因为*+(*$*+0*#*'(*$*'0*$*,(*$ *,0*#所以+$'$,三点共线! 如图##连结(0#则(0垂直平分线段',#设垂足为@!于 是#有 !第##题图#" $*+'*%*+,* $!*+@*)*'@*"!*+@*&*'@*" $*+@*!)*'@*! $!*+(*!)*(@*!")!*'(*!) $$*(@*!" $*+(*!)*'(*! $7!)&!$!"!定值"! !!"设,!%##"$'!!&!+,-"#!-10""#其中"$ (A2' )!!,", !! "! #则(A+,$"!! 因为 *+'*!$!!&!+,-""!&!!-10""! $$!#&+,-""$#7+,-!"! # 所以*+'*$&+,-"!! 由!#"的结论#得*+,*+,-"!$'! 所以%$*+,*+,-"!$'! 从而#$*+,*-10"!$'./0"!+&)'#''! 故点,的轨迹是一条线段#其两个端点的坐标分别为!'#'"$ !'#*'"! !"# !"#!年全国高中数学联赛加试 ! !"#! 年全国高中数学联赛加试 !第#题图"" $ !&"分"如图"#在锐角)'(,中# '(!',#2$6是(,边上不同的两点# 使得(('2$(,'6!设)'(,和)'26 的外心分别为+#$+!#求证-+#$+!$'三点 共线! !第#题图#" 证明$如图##连结'+#$ '+!#过'点作'+# 的垂线'" 交(,的延长线于点"#则'"是 圆+#的切线! 因此(($("',! 因为(('2 $(,'6#所以 ('2"$((&(('2 $("',&(,'6 $("'6! 因而'"是)'26外接圆+!的切线#故'"*'+!! 所以+#$+!$'三点共线! !"$ ! 走 向!"# % !&"分"试证明-集合'$(!#!!#+#!:#+)满足- !#"对每个-+'#及.+*0#若.-!-)##则.!.&#" 一定不是!-的倍数* !!"对每个-+'!其中'表示' 在*0 中的补集"#且 -1##必存在.+*0#.-!-)##使.!.&#"是!-的倍数! 证明$!#"对于任意的-+'#设-$!<#<+*0#则!-$ !<&##如果.是任意一个小于!-)#的正整数#则.&#,!-)#! 由于.与.&#中#一个为奇数#它不含素因子!#另一个为偶 数#它含素因子!的幂的次数最多为<#因此#.!.&#"一定不是!- 的倍数! !!"若-+'#且-1##设-$!