Hopf代数理论中的对偶问题

东南大学 博士学位论文 Hopf代数理论中的对偶问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 姓名：沈炳良 申请学位级别：博士 专业：应用数学 指导教师：王栓宏 20080901 摘要 本文将重点围绕Hopf代数理论中著名的Blattner-Cohen—Montgomery对偶定理，一些 辫子张量(交叉)范畴中的Hopf代数的对偶，Hopf群余代数上的Radford双积定理及群拟 三角结构等展开讨论，具体可分为以下六部分： 第一章简要介绍对偶的重要性，Hopf代数、BCM对偶定理和Radford双积定理的历 史背景、研究现状和本文的主要研究结果． 在第二章中，我们首先证明了关于弱相关Hopf群余模的基本定理，然后构造了弱群smash 积并给出了使之成为弱Hopf群余代数的充要条件以及使此弱Hopf群余代数为半单的充分 条件，最后把著名的Blattner．Cohen—Montgomery对偶定理推广到弱Hopf群余代数上． 在第三章中，我们首先给出7r一交叉积A弗：日的定义并研究其相关性质，然后构造并证 明了群交叉积上的BCM对偶定理，最后发展了Radford双积定理，研究了Hopf群余代数 上的Radford双积Q_：：日． 在第四章中，我们首先介绍了弱交叉积A社口H的概念并给出使之成为代数的充要条件， 然后证明一个弱cleft扩张0-÷A_JEi等价于—个弱扩张0_A_B垒A社。H，其中盯是 弱卷积可逆的．接下来我们给出了弱交叉积A带口H上的Masehke型定理，其中H是半单的 弱Hopf代数，最后证明了弱交叉积上的BCM对偶定理． 在第五章中，我们先给出弱Yetter-Drinfeld范畴中弱Hopf代数的定义．然后证明此范 畴中Doi的定理，即，如果日是弱Yetter．Drinfeld范畴fwyv中的有限维弱Hopf代数， 那么它的对偶日’也是此范畴中的弱Hopf代数，推广了文【27】中的Hopf的情况． 在第六章中，我们首先介绍丌．交叉余积B×至日的定义，并给出使丌一smash积和7r一交 叉余积形成半Hopf开余代数的充要条件及使之成为Hopf7r一余代数的充分条件．然后研究 群交叉余积Hopf群余代数B×至H上的群拟三角结构，最后研究了群Yetter—Drinfeld范畴 中的有限维Hopf代数的对偶及其Hopf模基本定理． 关键词t弱Hopf代数；(弱)Hopf群余代数；弱群smash积；弱交叉积；群交叉(余)积； 弱cleft扩张；弱Yetter-Drinfeld范畴；Radford双积；对偶定理． ABSTRACT InthisDr．degree’Sthesis，wewillmainlydiscussthecelebratedBlattner-Cohen·Montgom -cry’SdualitytheoreminthetheoryofHopfalgebra，thedualofHopfalgebrasinsomebraided tensor(crossed)categories，RadfordbiproductsforHopfgroupcoalgebrasandgroupquasitri- angularstructures．Thisthesisconcludessixmainparts． InChapter1，webrieflyintroducetheimportanceofdualityandgiveacomprehensive surveyofthebackgroundsandpresentsituationsofHopfalgebras，BCMdualitytheorem，and Radfordbiproducts．Then，wewillshowthemainresultsofthisthesis． InChapter2，WefirstshowthefundamentaltheoremforweakrelativeHopfgroup- comodules．Secondly,weintroducethenotionofaweakgroupsmashproductandgivea sufficientandnecessaryconditionunderwhichweakgroupsmashproductalgebrasandthe usualtensorproductcoalgebrabecomeaweakHopfgroup-coalgebra．Furthermore，wegeta sufficientconditionforthisweakHopfgroup-coalgebratobesemisimple．Finally,wegeneralize thecelebratedBlattner—Cohen—Montgomery’Sdualitytheoremtoweakgroupsmashproducts． InChapter3，wefirstintroducethenotionofa7r-crossedproductA券：日andstudy itsproperties．AndthenweobtaintheBCMdualitytheoremfor7r-crossedproductA舞：日． Finally,wegeneralizetheKarlfordbiproducttheorem，andstudyRadfordbiproductsforHopf groupcoalgebras晖；日． InChapter4，wefirstintroducethenotionofaweakcrossedproductA舞盯Handfind somesufficientandnecessaryconditionsmakingitintoanalgebra．Nextweshowthataweak cleftextension0_A—Bisequivalenttotheweakextension0_A_B垡A井口Hwith 盯weakconvolutioninvertible．Furthermore．wegiveaMaschke-typetheoremfortheweak crossedproductoversemisimpleweakHopfalgebraH．Finally,weobtainananalogueofthe BCMdualitytheoremforweakcrossedproducts． InChapter5，wefirstgivethedefinitionofaweakHopfalgebraintheweakYetter— Drinfeldcategory2wyD．ThenwewillshowtheDoi’8Theoreminthiscategory,thatis，if Hisafinite-dimensionalweakHopfalgebrain2wyD，thenitsdualH’isalsoaweakHopf algebraintwyv，whichgeneralizestheHopfeasein【27】． InChapter6，wefirstintroducethenotionofa7r-crossedcoproductB×XHandfind somesufficientandnecessaryconditionsmakingthe仃一crossedcoproductandand7r-smash ll productintoasemi—Hopf丌一coalgebraandderivesomesufficientconditionsforittobeaHopf 7r—coalgebra．ThenweconstructagroupquasitriangularstructureontheHopf"7r—coalgebra B×复日．Finallywestudythedualofafinite-dimensionalHopfalgebrainthegroupYetter- Drinfeldcategory2yD(7r)andestablishthefundamentaltheoremofHopfmodulesinthe category皇y口(7r)． Keywords：WeakHopfalgebra；(Weak)Hopfgroup-coalgebra；Weakgroupsmashprod- uct；Weakcrossedproduct；groupcrossed(co)product；Weakcleftextension；WeakYetter- Drinfeldcategory；Radfordbiproduct；Dualitytheorem． IU 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：幺巫药整日期：2竺左!!兰!三 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布(包括 以电子信息形式刊登)论文的全部内容或中、英文摘要等部分内容。论文的公布(包括以电 子信息形式刊登)授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：脚签名： 日期：丝丝，[兰．p 第一章 绪论 §1．1课题背景及发展状况 对偶理论起源于算子代数并在Hopf代数的研究与发展过程中起着相当重要的作用．由 于Hopf代数结构具有良好的对称性，所以通过研究其对偶空间来反映原Hopf代数本身性质 的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 是Hopf代数研究中的重要手段之一．但遗憾的是，一般Hopf代数的对偶空间只是代 数而非Hopf代数．当Hopf代数为有限维时，其对偶空间才具有相应的Hopf代数结构．这 一问题直间导致很多Hopf代数的重要理论只能以有限维Hopf代数为研究对象，如量子偶， Galois理论等．直到1994年，VanDaele引入了乘子Hopf代数的概念(见文【49】)，并发现 了乘子Hopf代数的对偶理论，才比较好地解决了无限维Hopf代数的对偶问题． 1984年，代数学家M．Cohen和S．Montgomery在群环理论中提出并证明了著名的Cohen- Montgomery对偶定理(见文[25】)．由它可以解决分次环中关于Jacobson根和素理想等的一些 问题．众所周知，群环是Hopf代数的—个经典特例，因此到了1985年，Blatter和Montgomery 合作在文【8】中从Hopf代数的层面上证明了此定理．此后，它又有很多不同形式的发展，如 到Dedekind环(见文[22】)和诺特基环(见文【1])．我们关注的是D．Nikshych于2000年在文 [39】把它做到了弱Hopf代数上． 在1985年，Radford证明了smash积A榉H和smash余积A×H(其中A为一个左 日．模代数，且为左H一余模余代数)构成Hopf代数的充要条件是：A为范畴gyv中的 一个Hopf代数，此定理被称为Radford双积定理．2005年，N．Andruskiewitsch和H．·J． Schneider在Ann．ofMath．上通过此Hopf代数对有点Hopf代数进行了分类，由此可见 Radford双积定理的重要性．对于Radford双积，已经有诸多形式的推广，如。拟Hopf代数的 Radford双积(见文【14])，弱Hopf代数的Radford双积(见文[5】)，乘子Hopf代数的Radford 双积(见文[26】)等等． Fields奖获得者V．G．Drinfel’d的贡献是发现了量子群在数学中的应用．从那以后，量 子群成为物理学家与数学家十分感兴趣的研究领域．Drinfel’d的观点是，量子群是拟三角 Hopf代数．而且对任意有限维Hopf代数，Drinfel’d构建了著名的Drinfel’d量子偶，这是 一类拟三角Hopf代数．拟三角Hopf代数为诺贝尔物理学奖获得者杨振宁先生提出的量子 Yang-Baxter方程提供了解．拟三角Hopf代数上的有限维表示范畴在Joyal和Street【32】意 义下为辫子张量范畴，辫子张量范畴中的“辫子”结构恰好就是量子Yang-Baxter方程的解． 因此各种拟三角Hopf代数的构造也是近些年来的热门课题． 】 第一章 绪论 Hopf代数发展至今有很多方向的推广，丰富了Hopf代数的理论，如弱Hopf代数，Hopf 群余代数，弱Hopf群余代数等等，因此其对偶理论也将有相应的推广与发展．这些代数结构 都有很深的物理和 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 背景，大多是在研究一些具体问题是抽象出来的，因此具有广泛的应 用价值． 第一，弱Hopf代数是由文【12】中引进的对Hopf代数的一种推广．关于弱Hopf代数的 一般理论可参考文[11】．简单地说，弱Hopf代数的公理体系类似于一般的Hopf代数，除了 其单位的余乘，余单位的乘法和反对极被更弱的性质所替代．研究弱Hopf代数的主要动机来 自量子域理论，算子代数和表示理论．很多在Hopf代数中成立的结论可推广到弱Hopf代数 上，但过程较复杂，时至今日关于弱Hopf代数方面的文章已有几百篇，它已经成为Hopf代 数理论发展的一个新方向．对于弱Hopf代数的更一步研究可参考文[31】，[33】，【40]_[43】等． 第二，Hopf群余代数是由文[47】中引进的对Hopf代数的另一种重要推广，它是Turaev 在进行拓扑量子域理论的研究工作时所发现的一种代数结构． Caenepeel和DeLombaerde 在文[17】中给出了Hopf群余代数的另一种解释，即它是某种特殊的对称张量范畴(称之为 Turaev范畴)上的Hopf代数．值得注意的是，由于Hopf群余代数的不对称性必然会打破 Hopf代数的自对偶性，因此进行推广时需要一定的处理技巧与复杂的计算．这也激发了人们 对Hopf群余代数中的一些课题比较感兴趣，关于Hopf群余代数，我们可以参考文【52】，[53】， [561，【57】，[58】，【66J和【67】等． 第三，弱Hopf群余代数是由文[50】中引进的，它事实上是一类特殊的统一(unifying) 乘子Hopf代数．由于乘子Hopf代数能在无限维的条件下给出优美的对偶理论(见文【48】和 [49】)，从而引起许多代数学者的关注．另外通过弱Hopf群余代数可以构造一类新的辫子交叉 范畴，而这类范畴可以产生带有目标空间K(G，1)的三维同伦量子域理论并在构造同伦不变 量中有重要的作用，由它可以构造新的同伦不变量，因此对其进行研究是非常有意义的．当 然，弱Hopf群余代数同时包括了弱Hopf代数和Hopf群余代数，是—个比较广泛的概念． §1．2本文的主要结论 本文主要是在弱群smash积、群交叉积、弱交叉积上构造且证明BCM对偶定理，并讨 论Hopf群余代数上的Radford双积定理及群拟三角结构． §1．2．1 (弱)群smash积上的BCM对偶定理 文[65】中构造并证明了关于弱相关Hopf模的基本定理，文【39】构造了弱smash积并给 出了其上的对偶定理． 2 第一章 绪论 这一章的想法是考虑上面这些概念与结论在弱Hopf群余代数上是否存在与成立．受文 【50]的启发，我们首先给出了弱Hopf群余代数中的一些相关概念，证明了关于弱相关Hopf 群余模的基本定理，然后构造了弱群smash积并给出了使之成为弱Hopf群余代数的充要条 件以及使此弱Hopf群余代数为半单的充分条件，最后把著名的Blattner-Cohen—Montgomery 对偶定理推广到弱Hopf群余代数上． 这一章主要有如下结果。 构造并证明了弱相关Hopf群余模的基本定理： (见定理2．2．5．)设A为右弱丌一日一余模代数．如果存在一个全积分≯={九：三k— Ao)a∈。，同时对每个口∈7r，丸也是代数同态．那么对任意右弱相关(H，A)一Hopf7r一余模 M=(Ms)口∈霄，存在一个右弱相关(日，A)-Hopf开余模间的同构 Mo@A竺M，厶：埘oAftA口叫帆，mao馏aHm口·a， 这里MonA=(螂圆AftAa)口白为右弱相关(日，A)-Hopf丌．余模，其结构如下。 m口@Afta·z=m口。钾nz，VmQ∈咐，a，z∈A口， 几．卢(ma口@篙卢Q)=(m口oAftn(o，。))oao，p)，Vm口p∈朋∥，口∈A口p． 构造了弱Hopf群余代数上的弱群smash积t (见引理2．3．2．)设日是弱Hopf丌-余代数，A为左弱7r一日一模代数．A和上k上的一 个弱r-smash积A#H={A带上k)a∈。定义在一簇k一向量空间{A@蛾上k)a∈丌上，这里， 玩通过自身的乘法构成左雕-模及A由以下定义成为右娥一模 其乘法由如下公式给出t 口·z=a(x·1A)，z∈上吃，a∈A． (1．1) (o带^)(6袢夕)=a(h0，1)·6)桦^(2，a)9，a，b∈A，g，h∈上k． 则对每个Ot∈7r，A#Ha是带有单位元1A#I口的结合代数． 给出了使弱7r．smash积A#H={A带上乇}a印结合一般的张量余积成为弱Hopf群余代 数的充要条件以及使此弱Hopf群余代数为半单的充分条件t (见定理2．3．7．)设{A#Ha)口∈霄是弱7r-smash积代数．如果A是弱双代数，那么 ．【A移三k)a∈霄是弱半Hopf7r一余代数当且仅当等式(2．16)，(2．19)和(2．20)成立． 3 第一章 绪论 进一步，如果A是弱Hopf代数，且对任意a∈A，z∈H1， 01(￡i(z)·乳(02))=et(a)·￡：(z)， s1(z(2，1))·岛(口)移&一-(。(1，口一·))z(3。a)=lxeA(a(x10，1)·12))券＆一-(1(2，口一t)) (1．2) (1．3) 成立，那么{A井风)a印是弱Hopf7I'-余代数带有反对极只雾日={&：A带风一A群以一，) 为 &(o舶；)=&(z(2，1))·乳(o)舞&(z(1，a))． 给出了半单弱Hopf7r一余代数上的弱r-smash积的Maschke型定理， (见定理2．3．12．)设A#H是有限型弱smash积Hopf丌-余代数．如果A和Hl是半 单的，使得 a(x·e)社g=Et(n)￡日l(z)e：舻g，Va∈A，z∈HI， 成立，其中e和g分别是A和日1的两个 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 左积分，那么A-#H1是半单的，进而A#H是 半单的． 本章得到了弱群smash积上的BCM对偶定理． (见定理2．4．7．)对任意弱7r·日一模代数A，对每个Ot∈7r，存在代数(A弁三k)移H：和 End(A#H,，)A之间的标准同构． §1．2．2 群交叉积上的BCM对偶定理和Hopf群余代数结构 一个代数和—个Hopf代数的交叉积在经典Hopf代数理论中起着非常重要的作用(见文 [7】和[9】)．很自然的想法就是在Hopf群余代数中也有类似的交叉积存在，这是本章写作的 一个主要动机． 这一章首先给出丌-交叉积A旁：日的定义并研究其相关性质，然后构造并证明了群交叉 积上的BCM对偶定理，最后发展了Radford双积定理，基于文【62]的思想，研究了Hopf群 余代数上的Radford双积q；H． 这一章的主要结果如下， 介绍了卅交叉积A榉：日的定义： (见定义3．1．2．)设日是Hopf丌-余代数，A为k上的代数，且H弱作用在A上．设 盯：HioH1-÷A为一肛线性映射．定义AoH={AoI-I．)口∈霄．对每个Ao上k，定义其乘 法如下t (ap^)(6@g)=a(h(1，1)·b)a(h(2，1)，g(1．1))@h(3，Q)9(2，a)．(1．4) 4 第一章 绪论 如果每个Ao上k是带有单位元1．401a的结合代数，则称AOH为丌．交叉积，记为A舞吕H． 下面我们给出使A舞：H成为丌一交叉积的一些充分必要条件． (见命题3．1．3．)A移：日是7r一交叉积当且仅当 盯(11，h)=￡(^)1A=口(^，11)，Vh∈日1，其中ll是日1的单位， (^(1，1)·(g(1，1)·n))盯(^(2，1)，g(2，1))=a(h(1，1)，g(1，1))(九(2，1)g(2，1)·o)， a(h(1，1)，g(1，1))伊(^(2，1)g(2，1)，k)=(h(1，1)·a(go，1)，k(1，1)))盯(^(2，1)，g(2，1)k(2，1))． (1．5) (1．6) (1．7) 得到了群交叉积上的BCM对偶定理； (见定理3．2．4．)设日是有限型Hopf丌-余代数，且A舞：H为带有仃卷积可逆的7r一交 叉积，则对每个口∈丌，存在代数(A轷，fk)社研和End(A#口三k)A之间的标准同构． 给出了使开交叉积C榉：日和r-smash余积C×”H构成半Hopf7r-余代数乃至Hopf 丌一余代数的一些条件． (见定理3．3．5．)设日是半Hopf丌-余代数，C是左7r一日一余模余代数和代数，且日 弱作用其上．C带：日是开交叉积带有or是扭曲余模余循环的，且C×”H为上文所定义的 7r．smash余积．则以下结论是等价的： (1)q；日是半Hopf7r-余代数． (2)下列条件成立： A1)盯(危，01o盯(^，f)2=a(h0，1)，／(i，1))oa(h(2，1)，I(2，1))，ea(h，g)=E(^)E(夕)； A2)￡c(^·c)=Ec(c)￡皿(^)； A3)￡c是代数同态； A4)A(ac)=al(a2(一1，1)0，1)·c1)a(a2(一1，1)(2，1)，c2(一1，1))@o-2(0，o)C2(o，o)； A5)(h0，1)·6)(一1，a)^(2，口)o(h0，1)·6)(o，o)=h(1，Q)6(一1，口)oh(2，1)·b(o，o)； Ae)(h·o)1o(h·n)2=(ho，1)·01)盯(^(2，1)，a2(一1，1))oh(3，1)·a2(o，o)； A7)^(1，a)10，a)oa(h(2，1)，I(2，1))=a(h(1，1)，10，1))(一1，Q)^(2，a)f(2，口)oa(h(1，1)，f(1，1))(o，o)； As)Ac(1c)=lcQlc； A9)pa(口c)=儿(o)阢(c)且几(1c)=1口@lc． (见命题3．3．9．)设q；H是上文中的半Hopf7r-余代数．如果H是盯一Hopf7r一余代数 带有伊反对极S={&)a∈霄，且＆∈nom(C，C)是卷积可逆的，其逆元为Iv∈Hom(C，c)， 5 第一章 绪论 那么晖；日是Hopf丌．余代数带有反对极§={瓦)Q∈。定义为 良：q；风_q；以^ cohH(1co＆(c(一1，n)^))(＆(c(o，o))@1Q一·)． §1．2．3弱交叉积上的Maschke定理和BCM对偶定理 在经典Hopf代数理论中，Doi和Takeuchi在文【30】中证明了cleft余模余代数就是带 有卷积可逆盯的交叉积，此后Blattner和Montgomery在文【9]中又证明了带有卷积可逆盯 的交叉积也是cleft余模余代数．同时文[23]给出了著名的Cohen-FishmanMaschke定理， 文[25]和[8】给出了著名的Blattner-Cohen-Montgomery对偶定理． 这一章的想法是考虑上面这些概念与结论在关于弱Hopf代数的弱交叉积上是否存在与成 立．基于文【7】和[9】的思想和方法，我们首先引进了弱交叉积A舞盯H的概念以及使之成为代数 的充要条件，然后证明—个弱cleft扩张0_A_B等价于一个弱扩张0_A_B型A榉口H， 其中矿是弱卷积可逆的．接下来我们给出了弱交叉积A群，H上的Maschke型定理，其中日 是半单的弱Hopf代数，最后证明了弱交叉积上的BCM对偶定理． 这一章主要结果如下： (见定义4．2．3．)设日是弱Hopf代数并弱作用在代数A上，盯：Ho‰。。H_A为 左日二饥-线性映射．定义A移，H是(可能是非结合的且无单位元1)代数，其基向量空间为 A吼日=11·Ao12H，其乘法由如下公式给出t (aot^)(6Qtf)=a(hl·b)a(h2，11)othal2， 对任意a，b∈A，h，f∈H．A移。H中的元素aoth通常写成。移。h．不难验证其乘法的定义是 合理的．代数A移盯H称为弱交又积，如果它是一个带有单位元1移口1的结合代数． (见命题4．2．6．)A移叮H是弱交叉积当且仅当盯满足下列等式。 (1)对任意h∈H有 盯(^，1H)=h·1A=a(IH，^)． (1．8) (2)对任意h，f，m∈H有 (hl·盯(z1，m1))a(h2，12m2)=盯(^1，11)a(h212，m)．(1．9) (3)对任意h，c∈H，a∈A有 (hi·(f1·n))盯(^2，12)=a(hl，11)(h212·口)．(1．10) 6 第一章 绪论 给出了弱交叉积与弱cleft余模余代数的关系： (见定理4．3．10．)设0_AjB是右弱日一扩张．则下列结论等价t (1)0_AjB等价于0一A二A带叮H，其中日弱作用在A上，且盯满足等式 (4．10)一(4．13)； (2)0一AjB是弱cleft的； 得到了弱交叉积A舞，H上的Maschke定理： (见定理4．4．4．)设H是有限维半单弱Hopf代数，A舞盯H为弱交叉积．假设存在 7．∈HOmH,．；。(Ho日。。。日，A)使得盯木r(h，f)=7．丰盯(^，f)=hl·1A． (1)设y是A带叮H一模．若y作为A模完全可约，则y作为A拌，H一模也完全可约． (2)如果A是半单Artin的，那么A孝矿H也是半单Artin的． 构造并证明了弱交叉积上的BCM对偶定理，推广了文[39]中的主要结果． (见定理4．5．4．)设日是有限维弱Hopf代数且H弱作用在代数A上，A袢，H是弱交 叉积．假设存在丁∈HomHm。。(日@‰。。H，A)使得盯木r(h，f)=丁宰盯(九，f)=hl·1A．则存在 代数(A榉口H)带日‘和End(A#口H)A之间的标准同构． §1．2．4弱Yetter-Drinfeld范畴中有限维弱Hopf代数的对偶 在本章中，基于文【21】和【27】的想法，我们先给出弱Yetter-Drinfeld范畴中弱Hopf代 数的定义．然后证明此范畴中Doi的定理，即，如果日是弱Yetter-Drinfeld范畴2wy口中 的有限维弱Hopf代数，那么它的对偶日+也是此范畴中的弱Hopf代数，推广了文【27】中的 Hopf的情况． 这一章主要有如下结果， 给出了弱Yetter-Drinfeld范畴中弱Hopf代数的定义t (见定义5．2．1．)设L是弱Hopf代数．一个对象H∈2wy口称为此范畴中的弱双代 数，如果它既是k．代数又是肛余代数并满足以下条件， (1) A(xy)=Xl(z2_1_Y1)@X20Y2， e(xyz)=E(zyl)￡(可2z)，e(xyz)=￡(z(yl一1_耽))E(箩10z)， A2(1)=11@121i@1：， A2(1)=11@(12‘1．÷li)120o1幺 (2)日是左弱L模代数，L余模代数，上广模余代数和厶余模余代数． 7 第一章 绪论 进一步，称日为此范畴中的弱Hopf代数，如果存在反对极S：日_H(这里S既是左 L线性的又是L余线性的，即，s是范畴2wy刃中的一个态射)满足 Xls(x2)=E((z-1_11)zo)12， s(x1)z2=11E((12—1一z)120)， S(x1)z2S(x3)=s(z)，VX∈H． (见命题5．2．6．)如果日是范畴2wyDee雕'1有限维弱双代数，那么H’为2wy口中的 弱双代数，其结构已在命题5．2．2，引理5．2．4和引理5．2．5中给出． (见定理5．2．7．)如果日是范畴乏wy口中的有限维弱Hopf代数，那么日‘为±wyD 中的弱Hopf代数带有反对极(s0)‘．特别地，H”也是fwyz,中的弱Hopf代数．如果 (既)2=idL，那么标准映射r：H_H”．经由下(z)(，)=f(x)是范畴2wy口中的弱Hopf代 数同构． §1．2．5 Hopf群余代数上的Radford双积和群拟三角结构 在本章中，受文【27】、【59】、[60]和【61】的启发，我们首先介绍7r-交叉余积B×X日 的定义，并给出使7r—smash积和7r-交叉余积形成半Hopf丌一余代数的充要条件及使之成为 Hopf卅余代数的充分条件．然后研究群交叉余积Hopf群余代数B×爻日上的群拟三角结 构，最后研究了群Yetter—Drinfeld范畴中的Hopf代数的对偶及其Hopf模基本定理． 这一章主要有如下结果一 (见定理6．2．9．)设B孝”日是7r—smash积，B×爻日7r-交叉余积，其中A是卷积可逆 的且2．余循环的．则以下条件是等价的t (1)霹；日是半Hopf7r一余代数． (2)下列条件成立： c1)A是代数同态； c2)A(1)=1o1，且pc,(1)=1口o1，1∈B； c3)￡B也是代数同态； c4)A(ab)=口1((02(一1，1)a30,1))·b1)@a2(o)(a3(2，1)·62)； C5)(h(1，1)·6)(一1．a)^(2，a)o(ho，1)·6)(o)=h(1，口)6(一1，a)oh(2，1)．6(o)； 8 第一章 绪论 c6)风(n6)=al(一1，口)02(1，a)6(一1，口)@al(o)(02(2，1)·6(o))； c7)(^(1。1)．6)‘1，。)^(2．a)@(^(1，1)·6)‘2，卢)九(3，p)=h(1，a)6‘1，a’o^(2，口)6(2，p’； c8)口1(o)((02(2’1)n3(1，1’(2，1))·6)×Xal(一1，1)a2(1’1)口3(1'1’(1，1)oa3(2，a) =al(o)(a2(2'a)(1，1)·6)X。Aal(一1，1)02(1’1’oa2(2'口’(2，口)； co)△(^·b)=ho，1)·bz@h(2，1)-b2且￡(^·b)=E(^)￡(6)，Vh∈H1． (见命题6．2．12．)设上，B妒xI,。r4是上文构造的半Hopf7r．余代数，(B，P，入)是左丌-(日，入)一 余模似对象．如果日是Hopf7r一余代数且如∈Hom(B，B)是卷积可逆的，其逆元为坫，那 么B亲；日是Hopf丌-余代数带有反对极§={豆)口∈百定义为 ～ vW v"If ＆：B龛：风一B毒：玩-l’ b×jhH(1B×j&(61W,a)b2(一1，口)h)b1(∥，口。1’)(如(62(o))×Xl口一，)． 构造群交叉余积Hopf群余代数B×爻日上的群拟三角结构； (见定理6．3．12．)设日是交叉Hopf7r-余代数带有交叉妒且B是Hopf代数．设B×XH 是命题6．3．1和命题6．3．3所构造的交叉Hopf丌-余代数带有交叉≯．则以下等价， (1)(B×jH，R)是拟三角Hopf丌-余代数，这里对任意Ot，p∈丌， 心．口=U[1,11p[1,1】@QII,alv[1,口】op[2,1]V[2,1】o垆Q一-(U【2Ia卢n-11)QM． (2)存在四组映射sP=P【1,11oP【2,11∈BoB，Q=：{Qa，卢=Q【1，口】oQ【2，翻∈王‘o 耶)钆胀。，U=：{％=圳1,11@u【2，口1∈Bo风)a∈霄和V=：{％=y【1，卅oy【2，1】∈fLOB)口印 使得下列条件成立； 1)(B，尸)是拟三角Hopf代数； 2)(B，H，U)是对偶相容丌-对； 3)(B，日，y)是斜对偶相容7r一对； 4) (日，Q)是结合数据(日，阢y)的弱拟三角Hopf7r一余代数； 5)P’Q，U和y满足命题6．3．10中的等式(6．33)-(6．40)． 以下两定理研究了群Yetter-Drinfeld范畴中的有限维Hopf代数的对偶及其Hopf模基 本定理． 9 第一章 绪论 (见定理6．4．4．)如果日是范畴2y口(7r)中的有限维Hopf代数，那么H‘也是此范畴中 的Hopf代数，带有乘法为mH．=(△日)’o口(孙，单位UH．=EH，余乘AH．=(口(2))一1o(m月)‘， 余单位E日．：，_f(1n)，和反对极(s日)’．具体地，乘法由下面式子给出 (12) (，9)(z)=，(9(一1，A一-)一x1)g(o，o)(x2)=，(文(z2(-1’A一·))一X1)g(x2(0，o))， 对任意，，g∈H+，z∈H．余乘△(，)=^o，2为 (13) S(zy)=fl(f2(一1，^一·)_z)丘(o，o)(y)=^(文(可(一1，A一-))_z)厶(y(o，o))， 或者等价地为 (14)．^(z)厶(y)=，((y(一1，A一-)—÷z)可(o，o))，Vx，Y∈H，入∈7r． 特别地，日”是范畴乏yD(丌)中的Hopf代数．若(＆。)2=idL。，则标准映射6：H_ 日“(7r)经由6(^)(，)=f(h)是此范畴中的Hopf代数同构． (见定理6．4．7．)若日是范畴2y口(7r)中的Hopf代数，且M是此中的右H—Hopf模， 则 a)M砒={m∈MIpM(m)=mo1n}既是La一子模，又是7r—L子余模似对象．故 M咖∈乏yD(7r)． 6)设P(m)=moS(m1)，m∈M．则p(m)∈Mcoh．如果n∈M。0h，h∈H，那么 pM(nh)=nhloh2且P(nh)=他(^)． c)映射F：M赫。日一M，F(noh)=nh是Hopf模同构，其逆映射为G(m)= P(mo)@m1．这里M础oH范畴2yD(丌)中的右H—Hopf模，其结构为 (m圆九)z=m@hx；PM一^。日(m圆h)=m@hioh2， 对任意m∈M一，h，z∈日． 10 第二章 (弱)群smash积上的BCM对偶定理 §2．1 预备知识 本节我们将回顾关于弱Hopf群余代数的一些基本定义和结果(见文【50】)． 在全文中，k表示一个固定的域，我们所有的工作将在k上讨论．我们总是假定丌是一 个有单位元1的抽象群，0和Hom分别表示为。七和HomJ,．如果U和y是两个肛向量 空间，那么Tu,y：UoV叫yoU表示—个扭曲映射，定义为死y(t‘Qu)="ou，Vu∈U， u∈V．对代数A和余代数C，我们有卷积代数Conv(C，A)，定义在向量空间Hom(C，A)上， 其乘法为 (，木9)(c)=仇A(，og)ac(c)=，(c1)夕(c2)， 对任意，，g∈Hom(C，A)，c∈C． 2．1．1．丌-余代数． 回顾文【47]和【53】，丌．余代数(群余代数)是一簇肛向量空间C={C么)a∈。，同时带有一 簇k-线性映射△={△口，卢：瓯卢—哼C0o％)口，卢印(称为余乘)和缸线性映射s：5'1---------4k (称为余单位)使得△在下列意义下是余结合的t · (△Q，卢oidv．，)△n卢，1=(idc,@△卢，7)△a，所，对任意Q，p，，y∈7r． ·(id％oE)△口，1=idco=(E圆idco)A1㈣对任意a∈7r． (2．1) (2．2) 我们使用对余乘的Sweedler记法(见文【46】)，即：△a，卢(c)=c0，n)oc(2，卢)，VQ，p∈丌， c∈G口． 2．1．2．7r-余模． 给定一个群余代数C．右7r-D余模是一簇k-线性空间M={^缸)a∈丌，并带有一簇k一 线性映射∥={I|DQM，p：M知—斗^弦@o)即∈霄(称为余模结构映射，或者余作用)，使得对 VQ，p，，y∈丌， (p易圆t电)尚，7=(idM。@△卢，1)p易1， (2．3) 11 第二章 (，弱)群smash积上的BCM对偶定理 我们对余作用使用Sweedler记号，对VQ，p∈7r，m∈耽口，有 以M，卢(m)=m(0。a)omo，卢)∈耽oo． (2．4) 用类似的方法，我们也可以定义左丌．D余模和7r-(C，C)一双余模． 右7r．C．余模范畴记为M，r—c，它的态射是丌一余模映射．同样地，我们可以引入左7r—C一 余模范畴”一c朋和7r．D双余模范畴霄一c朋丌～．对于M∈”一c朋，我们也使用Sweedler记 号： M儿，卢(m)=m(一1．a)om(o，卢)∈瓯o％， VQ，p∈7r，m∈^纪口． 2．1．3．弱Hopf丌-余代数． 12 回顾文【50】，弱半Hopf7r一余代数(弱半Hopf群余代数)H={三k，m口，1a，A，E)a∈丌是一 簇代数(鼠。，ma，la)口∈丌同时又是一个群余代数．[风，A={△a，卢)，￡)郇∈霄，使得， (i)余乘An，口：C知—斗C么@％是一个代数同态(不必保持单位元)，且有： (Aa，poidH，)Aa口，7(1卿)=(Aa，卢(1叩)o17)(1ao△卢，1(1所))， (△口，卢@id皿)△a卢，，y(1a所)=(1ao△p，7(1所))(△a，p(1ap)o11)， 对任意O／，p，7∈7r成立． (ii)余单位E：H1—哼k是一个肛线性映射，且满足等式t e(gxh)=e(gx(2，1))5(z(1，1)h)=e(gx(1，1))￡(z(2，1)^)，(2．5) 对任意g，h，z∈H1． 弱Hopflr-余代数(弱Hopf群余代数)是—个弱半HopfIr-余代数H={风，mQ，1a，△，￡)。∈霄 并带有一簇缸线性映射S={&：王k—一上k—t)a∈丌(称为反对极)使得下面的等式成立。 ma(&一·oidH=)A口-1，a(^)=10，口)E(hl(2．1))， mQ(id如o&一-)△叩一-(^)=e(10，1)^)1(2，口)， ＆(9(1，口))9(2'a_-)&(夕(3，a))=&(夕)， (2．6) (2．7) ％纪=M叫p0@‰d@ 有丌∈口V对巳 第二章 f弱)群smash积上的BCM对偶定理 对任意h∈H1，g∈以和Q∈丌． 注．1)(日1，m1，11，A1f1'￡，＆)是一个弱Hopf代数．上述定义中的一套公理不是自对偶 的． 2)弱Hopf7r．余代数日被称为是有限型的，如果对Va∈7r，上k作为肛向量空间都是 有限维的．但这并不意味着0a∈丌f‘是有限维的(除非王L=0只对于有限个Q∈7r不满 足)．弱Hopf群余代数日的反对极S={&)D∈。被称为是双射的，如果每一个&都是双 射．如果日有限型的，那么反对极S为双射． 3)一个弱Hopf开余代数日为—般的Hopf7r一余代数当且仅当以下两个条件中的任何 一个成立t(i)余乘保持单位，即，对任意Q，p∈丌，△D，p(1Q口)=1Dola；(ii)余单位为代数 同态，即，对任意g，h∈H1，e(gh)=E(夕)￡(九)． 4)弱Hopf丌-余代数日的反对极S既是代数反同态，又是余代数反同态，即，对任意 a，p∈7r，a，b∈日_口， Sa(ab)=&(6)&(n)，&(1口)=1a-lI Ap-l,a-1&卢=砜乩％一。(&o昂)△a，p，eSl=￡． 设日是弱Hopf7r·余代数．定义两族线性映射∥={E乞：H1—斗上k)a∈丌和，=．【￡：： 凰一以)Q钉如下： 4(h)=e(10，1)h)i(2，口)=ma(idHop&一t)△叩一-(九)， ￡：(^)=1(1，口)e(hl(2，1))=mn(＆一-oidn。)△a～，口(九)， (2．8) (2．9) 对任意h∈H1．这里∥，，分别称为7r—target映射和7r—source映射．我们引进记号H。= ∥(日)={或=eta(H1)}口∈丌和H5=￡8(日)={f圪=E：(日-))口印作为它们的象集合． 由文【50]，设日是弱Hopf丌．余代数，则对任意口，p∈7r，我们有以下结果一 (1)△口，p(1叩)∈或@磁， (2)￡：(夕^)=￡：(9￡；(九))，E：(Ei(9)^)=￡：(夕)￡：(^)，任意g，h∈HI， (3)△口，p(磁卢)∈玩@睇，Aa，卢(硪卢)冬蛾@坼， (4)x(1，Q)@￡§(z(2，1))=1(1，口)z@1(2，口)， (5)E；(z(1，1))ox(2，a)=1(1，口)@X1(2，口)， (6)硅鳐=醒砖，对任意硅∈或和鲧∈成， 13 第二章 (，弱)群smash积上的BCM对偶定理 (7) (8) (9) (10) (11) ￡i(z)Ei(Ⅳ)=￡；(z)当且仅当￡：(z)E：(可)=E：(z)，VQ∈7r，X，Y，z∈H1， ￡：oS1=气to￡i=&一loE：．1I ＆(或)=蛾山&(以)=哦山 x0，Q)o￡；(z(2，1))=xl(1，口)o昂一1(1(2。p一1))， ￡§(z(1，1))@x(2，口)=昂一l(1(1，卢一1))o1(2，△)z． §2．2 (弱)相关Hopf丌一余模的基本定理 本节我们将证明弱相关Hopf7r．余模基本定理，它不仅包括了弱Doi—Hopf模基本定理 (见文[65】)，也推广了弱Hopf7r·余模基本定理(见文[50])． 以下定义为文【54]的推广． 定义2．2．1．设日是弱Hopf丌-余代数，A={Aa，ma，1口)a∈霄为一簇代数．称A为右 弱Ir-H一余模代数，若A满足以下条件。 (i)A是右丌一H一余模， (越)JD盆卢(曲)=p盆卢(o)磋卢(6)，V口，b∈A=Z，Q，p∈丌， (捌)1(0，。)n@1(1，卢)=a(o．口)oE§(o(1，1))，V口∈AQ． (2．10) (2．11) 定义2．2．2．设日是弱Hopf7r·余代数，A=．【AQ，m口，1口}口印为右弱7r-H一余模代数． 称一簇k·向量空间M={Mo)口钉为右弱相关(日，A)-Hopf7r-余模，若A满足以下条件， (i)M是右丌一日-余模， (ii)对每个Ot∈7r，耽为右Aa一模， (iii)以M，卢(m·口)=m(o，a)·a(o，口)omo，卢)o(1，卢)，Vo∈Aa口，m∈帆卢． (2．12) 设A为右弱7r—H·余模代数．令Ao=．【o=(on)a印∈II口臼AQI磋口anp)=aa(o，。)o E§(o△(1，1)))．xCK,Y．口∈7r，记禽为山到AQ的投射象． 引理2．2．3．同以上记号．则舒是一个代数． 证明．对任意n，b∈Ag，有ab∈Ag．事实上，因为o∈Ag，所以存在。叩∈A妒使得 磋卢(na卢)=a(o,a)。E；(o(1，1))．类似地，也存在6叩∈Agp满足磋卢(6口卢)=b(o，口)。E；(6(1，1))． 14 第二章 f弱)群smasfi积上的BCM对偶定理 进而，有 paA,芦(Ⅱ口p6ap)=磋卢(oa卢)p如(6口卢)=a(o，口)6(0I。)@s；(o(111))E；(6(1’1)) =a(o，△)6(o，a)@E；(o(1，1)b(1，1))=(ab)(o，n)@E；((n6)(1，1))． 最后，我们证明1a∈Ag．实际上， PaA,卢(1Qp)=1(o，。)1n固1(1，口)=1。(o，a)oE；(1。(1，1))． 证毕． 口 引理2．2．4．设A为右弱丌一日一余模代数，M为右弱相关(H，A)一Hopf7r一余模．则 (i) m(o一)￡(m(1，1)x)=m·1(o，口)￡(1(1，1)z)，Vz∈H1，m∈^缸． (ii)令％=．【m=(m口)口∈丌∈IIa钉^缸I碟a,fl(marl)=ma(o，口)@E§(ma(1，1)))，N= ．【(ma)a印∈IIQ印尥IJD。M，口(m叩)=ma·1(o，口)Q1(1，卢))．那么Mo=N，且对每个Q∈7r，M孑 是^缸的一个右Ag一子模． (iii)Ao={o=(aa)a印∈IIQ∈。钆I磋口(na口)=口口·1(o，a)o1(1，p)) 证明．(i)对任意z∈H1，仇∈尥，计算如下： m(o，口)￡(m(1．1)x)=m(o，a)·1(o，口)E(t7。(1，1)1(1，1)x) =m(o，口)·l(o，口)E(竹1(1，1)1(1，1)(1，1))￡(1(1，1)(2，1)x) =m(o，口)‘1(o，口)(o，口)E(m(1，1)1(o，口)(1．1))E(1(1，1)x) =(m‘1(o，口))(o，a)￡((竹1·1(o，a))(1，1))E(1(1，1)x)=竹l·1(o，a)e(10，1)z)． (ii)任取m=(mQ)口∈霄∈N，有 ma(o，Q)o￡；(m口(1，1))=mQ·1(o，口)@￡；(1(1，1))=ma·1(o，a)o1(1，卢)=％M，p(ma口)， 因此m∈Mo，进而Ⅳ∈％． 反之，如果m=(m口)口∈丌∈M，那么 ％M，卢(m口p)=m口(o，a)◇￡§(m口(1，1)) =7礼a(o，口)Q￡(1卢(1，1)ma(1，1))1卢(2，p) =ma(o，n)@e("lQ(1，1)1卢(1，1))1fl(2，p) =，na·1(o，n)￡(1(1，1)lfl(1，1))1fl(2，口) =ma·1(o，a)￡(1p(1，1)1(1，1))1fl(2。卢) =m口·1(o，n)oE；(1(1，1))=mQ·1(o，Q)o1(1，卢)， 第二章 f弱)群smash积上的BCM对偶定理 可知m∈N．故N=Mo． 接下来，我们将证明M孑是^厶的一个右A子一子模． 对任意m∈嘟p，o∈A扩，因为 paM，卢(m·a)=m(o，口)·a(o，口)om(1，口)o(1，卢) =ma(o，a)·aa(o．a)oE§(仃jQ(1，1))￡；(o口(1，1)) =7na(o，口)·aa(o，△)@4(ma(1，1)aQ(1，1)) =(m口·aa)(o。口)@￡5((ma·aa)(1，1))， 所以m·Ot∈M矿，故^留是^厶的一个右Ag一子模．． (iii)由(ii)直接可得． 口 设A为右弱7r-日一余模代数．类似文【54】，定义3．1，一个全积分是一簇肛线性映射 ≯=．【钆：正k_A口)口白使得≯是一个右7r-H一余模映射． 现在我们得到本节的主要结果． 定理2．2．5．设A为右弱丌-日．余模代数．如果存在一个全积分≯={札：上k_An)口∈丌， 同时对每个Q∈7r，九也是代数同态．那么对任意右弱相关(日，A)-Hopf丌-余模M= {^缸)口∈百，存在一个右弱相关(日，A)-Hopf丌-余模间的同构 MooA竺M，厶：咐。臂Aa一帆，mao钾aHm口‘a， 这里Mo@A={螂。钾Aa)a∈霄为右弱相关(H，A)一Hopf7r．余模，其结构如下t m口oAga‘z=ma@缯ax，Vma∈螂，a，z∈AQ， 阢