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巧用平面向量求解某些平面几何问题.pdf

巧用平面向量求解某些平面几何问题

xiaopengyou
2014-01-18 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《巧用平面向量求解某些平面几何问题pdf》,可适用于高中教育领域

课堂内外巧用平面向量求解某些平面几何问题文邱雪婉平面向量是一种既有大小又有方向的量。它是重要的数学工具在数学、物理等学科及工程技术中有着非常广泛的应用。而且平面向量具有代数形和几何形的双重身份和内涵在高中数学中特别是几何方面起着桥梁和工具的作用。众所周知平面向量最难之处在于添辅助线。由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景使得平面几何的很多性质如全等、相似、平移、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示而不必添加辅助线。一、平面向量在几何证明方面的应用以三角形的中位线定理为例例如图所示△ABC的两边AB和AC的中点分别是E、F则EF∥BCEF=BC用向量方法证明如下:证:∵E、F分别是AB、AC两边的中点∴ABBE=ABBBABBF=ABBC又在△AEF中EBBF=ABBFABBE从而EBBF=ABBCABBB=(ABBCABBB)=BBBC∴EF∥BCEF=BC不用辅助线直接用向量方法证明是比较容易的。再如:例证明菱形的两条对角线互相垂直。分析:可以通过求菱形的两条对角线对应的向量的内积由其内积等于零得到垂直的关系。证:在菱形ABCD中设ABBB=DBBC=a軆ABBD=BBBC=b軋且a軆=b軋则ABBC=ABBBABBD=a軆b軋DBBB=ABBBABBD=a軆b軋∴ABBC·DBBB=(a軆b軋)·(a軆b軋)=a軆b軋=∴ABBC⊥DBBB即AC⊥DB∴菱形的两条对角线互相垂直。小结:很多情况下我们都可以通过证明两个向量的内积为零而得到两条直线(或线段)互相垂直。当然更多情况下直线(或线段)是不垂直的这时候我们也可以通过向量的内积公式而求出夹角。二、平面向量在求直线(或线段)的夹角方面的应用例已知三点坐标:A()B()C()求∠CAB的大小。分析:由点的坐标可以求出向量的坐标而题目所求∠CAB即为ABBB与ABBC所成的夹角这样我们可以通过向量的内积公式而求出夹角大小。解:∵ABBB=()()=()=()ABBC=()()=()=()ABBB=()姨=姨ABBC=姨=姨∴ABBB·ABBC=()·()=×()×=则cos∠CAB=ABBB·ABBCABBBABBC=姨·姨=姨∴∠CAB=arccos姨小结:这道题利用了向量的内积求两边所成的夹角。首先需要分别求出两个向量的内积及各自的长度特别要注意的是得弄清楚所求的夹角对应的是哪两个向量的夹角。其实除了夹角长度也是线段的一个重要性质而求线段的长度当然也可以巧用向量来求解。三、平面向量在求线段长度方面的应用例如图在平行四边形ABCD中已知AB=AD=∠BAD=°求对角线AC的长度。分析:显然在这个平行四边形中涉及了一组邻边及对角线而向量加法的平行四边形法则刚好可以用这些元素来表示。这样我们就可以把已知条件和问题进行转化即在平行四边形ABCD中已知ABBB=ABBD=求ABBC从而通过向量求解AC的长度。解:∵AB=AD=∴ABBB=ABBD=且∠BAD=°∴在平行四边形ABCD中ABBC=ABBBABBD=ABBBABBB·ABBDABBD=ABBB·ABBD·cos°=×××=则ABBC=姨即AC=姨∴AC=姨小结:在向量问题中求线段的长度问题通常用到两向量的夹角公式cos<a軆b軋>=a軆·b軋a軆b軋及向量模的公式a軆=a軆·a軆姨摘要:平面向量具有代数形和几何形的双重身份和内涵它是重要的数学工具而平面几何的很多性质都可以通过平面向量的线性运算及数量积化繁为简地进行求解。主要从证明、求线段的长度、线段所成的夹角、点与图象的平移以及日常生活中的实际应用等方面介绍了怎样用向量的运算来巧妙地求解某些几何问题。关键词:平面向量平面几何长度夹角EBCAFOBCADxyOA()B()C()BCAD图图图图课堂内外上面这个例子涉及了平行四边形的性质而平面向量在平行四边形方面的应用还有一个典型的例子就是求平行四边形中某个顶点的坐标。例如图已知平行四边形ABCD的三个顶点A()B()C()求顶点D的坐标。分析:设点D的坐标为(xy)由平行四边形的性质可知AD∥BC且AD=BC即A∥∥D=B∥∥C则两向量坐标也相等。所以从向量坐标的角度通过建立xy的方程组而求出点D的坐标。解:设点D的坐标为(xy)由平行四边形的性质可知A∥∥D=B∥∥C即(xy)()=()()则(xy)=()∴x=y=∥解得x=y=∥∴点D的坐标为()我们不妨想一想这道题如果不用平面向量的话如何求解呢?分析:可以利用平行四边形的两组对边分别相等再由两点间的距离公式联立方程组从而得到点D的坐标。另解:设点D的坐标为(xy)由平行四边形的性质可知AB=CD且BC=AD∵AB=CD∴()()姨=(x)(y)姨即(x)(y)=……①同理由BC=AD得()()姨=(x)(y)姨即(x)(y)=……②联立①②两式解得x=y=∥∴点D的坐标为()比较之下显然是第一种解法即运用向量求解比较简单。而同样通过向量来求解也有多种不同的解法。比如可以通过求O∥∥D的坐标而得到点D的坐标。另外在平面解析几何中有许多问题也涉及了向量的运算比如平移问题、直线的方程等。四、平面向量在平移方面的应用例()把点A()按向量a軆=()平移求对应点A′的坐标()函数ysin(xπ)的图象F平移向量a軆=(π)得到图象F′求图象F′的函数表达式。分析:()可利用点的平移公式即x′=xay′=ya∥该公式中涉及三个坐标:点在平移前后的坐标(xy)和(x′y′)以及点的平移向量a軆的坐标(aa)这三个坐标在应用时要弄清楚。()可利用图象的平移公式即ya=f(xa)其中(aa)是平移向量a軆的坐标利用这个公式可以求平移后图象的函数表达式。解:()由点的平移公式得x′==y′==∥∴对应点A′的坐标为()()由函数图象的平移公式得图象F′的函数表达式为y=sin[(xπ)π]化简得图象F′的函数表达式为y=sin(xπ)小结:无论是点的平移还是图象的平移平移公式都涉及了三个量:平移前的、平移后的和平移向量。从方程的角度三个量可以知二求一解题时要分析清楚已知什么量求的是什么量。接下来我们来看看如何利用平面向量来求解直线的方程。五、平面向量在求直线方程方面的应用例已知△ABC的三个顶点A()B()C()点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点()求直线DE、EF、FD的方程()求AB边上的高CH所在的直线方程。分析:利用共线及垂直等关系进行处理。本题第一个问题是求直线方程只要求出其上任一点的坐标即可而直线DE、EF、FD分别与相应的边平行所以可以考虑通过对应向量的共线来处理第二个问题是求高所在的直线方程可以通过对应向量的内积为零来求得。解:由已知得点D()E()F()设点M(xy)是直线DE上任一点则D∥∥M∥D∥∥ED∥∥M=(xy)D∥∥E=()()×(x)()×(y)=即xy=为直线DE的方程。同理可求得直线EF、FD的方程分别为xy=和xy=()设点N(xy)是CH所在直线上的任一点则C∥∥N⊥A∥∥B∴C∥∥N·A∥∥B=而C∥∥N=(xy)()=(xy)A∥∥B=()()=()∴(x)(y)=即xy=为高CH所在的直线方程。小结:对于平面解析几何中的有关直线平行与垂直的问题常常转化成为考虑与直线相关的向量的平行与垂直从而将形的问题转化成为数的问题。向量运算在日常生活中也有着广泛的应用。六、平面向量在实际生活方面的应用例如图所示一块垂直于水平地面的广告牌已知上端A距离地面a米下端B距离地面b米。问某人P距离广告牌多远时看广告牌最清楚?解:设人眼P距地面h米以水平线OP为x轴广告牌所在的铅直线BA为y轴以米作长度单位建立平面直角坐标系。设c=ahd=bh人离广告牌的垂直距离为x米则有A(c)B(d)P(x)从而P∥∥A=(xc)P∥∥B=(xd)设∠APB=θ于是该问题等价于:当x取何值时视角θ最大。由向量的内积公式得P∥∥A·P∥∥B=P∥∥A·P∥∥Bcosθ即cosθ=xcdxc姨xd姨xyB()A()C()D(xy)O图EFOBACDxy图OPDxyBA(ah)(bh)(h)(x)地平线θ图课堂内外=(cd)xcdxcd……①要使视角θ最大则要使cosθ最小亦即要使①式中分母最小由均值定理可知:当且仅当x=cdx时cosθ最小即当x=cd姨=(ah)(bh)姨时视角θ最大。归纳起来用向量方法解决平面几何有如下的三步曲:建立平面几何与向量的联系用向量表示问题中涉及的几何元素将平面几何问题转化为向量问题通过向量运算研究几何元素之间的关系如距离、夹角等问题把运算结果“翻译”成几何元素。即[形到向量]→[向量的运算]→[向量和数到形]。总之向量既是代数的又是几何的利用向量解决有关问题往往凸显其简洁之美。(作者单位广东省潮州市职业技术学校)→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→想家就是想念这个味道体验性教学在思想品德课中的实证研究文刘晶会道德是人身发展的需要也是人类文明进步的需要。初中思想品德课程正是结合了初中学生生理、心理成长需要融合道德、法律、心理健康、国情国策等相关内容旨在促进初中学生道德品质、健康心理、法律意识和公民意识的进一步发展。然而在教学过程中由于现在的学习压力较大学习上占用了大部分时间绝大多数中学生生活经验不足因此很多思想品德课程中很浅显的道理对于引起学生共鸣从“心”体会思想品德教学的重点就有很大的难度。因此在教学中本人采用了体验性教学的方法让学生认真体会生活中的真、善、美体会道德的力量无处不在。体验式教学是指根据学生的认知特点和规律通过创造实际的或重复经历的情境和机会呈现或再现、还原教学内容使学生在亲历的过程中理解并建构知识、发展能力、产生情感、生成意义的教学观和教学形式。下面以实际工作中的案例简单介绍。[案例描述]如初一第三单元《过富有情趣的生活》一课。在备课的过程中我就意识到“情趣的生活”对于初一的学生来讲理解起来有点困难。怎样才能让他们更好地体会到生活的情趣体会到生活这个貌似平淡的词语下面华丽的内在做到品味生活呢?于是我根据学生的实际需要设计了这个体验课题目就叫“想家就是想念这个味道”。年月日第五节课。一上午紧张的学习生活已经接近尾声食堂的阿姨已经开始将香喷喷的饭菜推向一个个教室的门口不过我想今天上课一定是一个饕鬄的美食会所以我提着从家里准备的满满一壶豆浆走近了七()班的教室。一进教室果真同学们已经将座位摆成个小方桌每桌个人还有摆放整齐的评委席。我一声令下同学们把自己精心准备的食物都拿了出来有带红烧肉的、有带寿司卷的什么都有看着同学们一张张兴奋的脸孔那种迫不及待地等着老师和同学前去品尝的样子让你觉得学生太可爱了。好了各就各位我先请四位评委到各个桌上去尝一尝然后和组内的同学一起点评一下哪道菜的味道最好并且要有理有据地评价一番。由于之前对评委提出过要求所以小评委们也都煞有介事地认真地品尝着。在大家互相品鉴的间隙我请每组派出一个代表来回答几个问题:他为什么选择做这道菜?在烹饪的过程中有没有得到家人的帮助?家里人怎样评价他的手艺?在此次活动中对于做饭有没有什么新的体会?同学们十分踊跃有的说:“我妈妈夸我做得好吃。”有的说:“原来做饭也是一件挺有意思的家务活。”还有的说:“做饭太麻烦了以后我要多帮助家里人做点家务。”也有的同学说:“我觉得让别人吃我做的饭是一件非常幸福的事。”……听到同学们的话我知道这节课我的教学目的达到了生活的情趣不就是去发现美感知原本平淡中的深刻内涵吗?有了发现的眼睛同学们的人生将会变得更加丰富更加有意义。于是我走到讲台前面对所有的同学说:“各位同学今天老师让你们准备的是家里妈妈最最经常给你准备的饭菜现在同学们一定知道了:原来每一餐妈妈准备的饭菜都包含了那么多的爱心与劳动是不是对妈妈的爱有了更深层次的体会呢?生活原本就是简单的小事汇聚到一起让我们每天都变得忙忙碌碌。希望同学们在忙碌中用心去体会爱用心去品味生活。若干年后当你离家在外、独自打拼的时候可能更会理解老师今天在黑板上写的题目吧“想家就是想念这个味道”。同学们都安静地若有所思地看着我这堂体验课在美好的氛围中结束了。[反思]通过本节体验课的设计使我充分认识到体验式教学的效果。一方面课堂较为活跃学生在轻松的氛围中思想得到了升华精神得到了放松同学间的关系变得融洽。另一方面通过体验式教学许多难以言表的问题让学生发自内心地得到了感知师生之间、生生之间甚至于家长与学生之间都实现了心灵的对话达到了我们教学的目的。第三经历此次实践体验后在与其他老师交流中发现很多学生的近期语文作文、英语作文都对此次活动进行了描写学生的生活体验不仅对道德品质的发展有帮助对于其他学科的学习也起到了很好的作用。(作者单位北京芳草地国际学校富力分校)摘要:通过在初中思想品德课中体验性教学的实践应用探讨实践性教学的意义及实施方法。关键词:初中学生特点体验性教学

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