null 第一节 导数的概念
一、导数概念的引出 第一节 导数的概念
一、导数概念的引出1. 变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为自由落体运动null曲线在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T割线 M N 的斜率为切线 MT 的斜率为2. 曲线的切线斜率二、导数的定义二、导数的定义定义1 . 设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义 , null★★关于导数的说明：例: 在经济学中,边际成本率,边际劳动生
产率和边际税率等从数学角度看就是导数.null注意:即但null★2. 右导数:单侧导数1. 左导数:★★null例1解三、由定义求导数三、由定义求导数例2解即特殊null例3解即类似求得null例4解例如,即null例5解即特殊null例6解求函数的导数. 即故得由于null存在 , 求极限已知求极限解:设例7例8解:null是否可按下述
方法
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作:例9. 设存在，求极限解: 原式四、 导数的几何意义四、 导数的几何意义时，切线方程为： y = y0时，切线方程为： x = x0时，切线方程为： 法线方程为：null例10解由导数的几何意义, 得切线斜率为所求切线方程为法线方程为null哪一点有垂直切线 ? 哪一点处的切线与直线平行 ? 写出其切线方程.解:令 得对应则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线平行的切线方程分别为即故在原点 (0 , 0) 有垂直切线例11 问曲线五、 函数的可导性与连续性的关系五、 函数的可导性与连续性的关系定理 证注意: 函数在点 x 处连续未必可导.例:在 点 x = 0 处连续 , 但不可导.null例12
证明
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在 点 x = 0 处连续 , 但不可导.证null求解:显然该函数在 点x = 0 连续 .例13. 设思考:分段函数求导时, 分段
点导数用左右导数求.null例14 讨论解 不存在n = 1 时,n > 1 时,六、小结六、小结1. 导数的实质: 增量比的极限;3. 导数的几何意义: 切线的斜率;4. 可导一定连续，但连续不一定可导;5. 分段函数求导时, 分段点导数用左右导数求.6. 判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.1.思考与练习:区别:是函数 ；是数值，联系:解答注意:1.null2. 若时, 恒有问是否在可导? (96年考研题）解:由题设由夹逼准则，得故在可导, 且null3. 设其中 为正整数，则 (12年考研题）解:null4. 设在处可导，且则(11年考研题）解:null解: 因为5. 设存在, 且求所以null在 处连续, 且存在，证明在处可导.证：因为存在，则有所以即在处可导.故6. 设nullnullnullnullnull
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