2010 三角恒等变换 ●两角和的正弦、余弦、正切 , , 。 ●两角差的正弦、余弦、正切 , , 。 ●积化和差
公式
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, , , 。 ●和差化积公式 , , , 。 ●二倍角的正弦、余弦、正切 , , 。 ●公式的逆向变换及相关变形 , , , 。 ●半角公式 , , 。 例1.化简: ________. 原式 例2.在△ABC中,如果4sinA+2cosB=1,2sinB+4cosA=3 ,求sinC的值. 由条件,得(4sinA+2cosB)2=1,(2sinB+4cosA)2=27 ∴20+16sinAcosB+16sinBcosA=28 即 . 例3.求tan20°+tan40°+ tan20°·tan40°的值. 解:∵tan(20°+40°) ∴tan20°+tan40°=tan(20°+40°)·(1-tan20°·tan40°) =tan60°(1-tan20°tan40°)= (1-tan20°tan40°)= - tan20°tan40° ∴tan20°+tan40°+ tan20°tan40°= 例4.设0<<, ,求cos2的值. 解法1: , . ,即sin与cos异号. 且 . , . 由 , . 解法2:由解法1,可知cos<0,sin>0, , . . . 例5.已知 , ,求 解: , , . 解之 或 . , , . ∴原式 例6.已知 , ,求cos(-)和sin(+)的值. 解: (1)2+(2)2得2-2(coscos+sinsin) , , 即 (3) (1)×(2)得sincos+sincos-sincos-cossin= sin(+)·cos(-)-sin(+) (4) (3)代入(4)得sin(+) 例7. 求sin(θ+750)+cos(θ+450)- cos(θ+150)的值. 解:设θ+150=α,则 原式=sin(α+600)+cos (α+300 )- cosα =(sinαcos600+cosαsin600 )+(cosαcos300-sinαsin300)- cosα = sinα+ cosα+ cosα- sinα- cosα =0 例8.化简: 解:原式= = = = 例9.锐角α、β满足条件 ,则下列结论中正确的是( ) A.α+β≠ B.α+β< C.α+β> D.α+β= 略解:令sin ,则有 整理得: (a-b)2=0 即a=b 即: sin2α=cos2β (α,β同为锐角) ∴ sinα=cosβ ∴ α+β= ,故应选D. 说明:本例用设元转化法将三角问题转化为代数问题.换元法这种数学思想应用十分广泛,往往能收到简捷解题的效果. 例10.已知 ,求(1) ;(2) 的值. 解:(1) ; (2) . 两角和与差的余弦 7. 的值是________. - (提示:原式 .) 8.tan70°+tan50°- tan50°·tan70°的值是________. - (提示:原式 =- 9. 的值是________. (解法1: 原式 = ; 解法2:原式 ) 11.已知:tan+tan=2,tan(+)=4,tan<tan.求tan、tan. ∵tan+tan=2① , ② 由①②可知tan、tan是方程 的两个根,解之 ∵tan<tan, 12.已知tan,tan是方程6x2-5x+1=0的两个根,且0<< , ,求+的值. 解:由根与系数关系: , ∴<+<2, . 3.已知为第三象限角且 则sin2等于( ) A. B. C. D. A(提示: ,∴(sin2+cos2)2-2(sincos)2 , , . ,∴4k+2<2<4k+3, .) 4.sin6°·cos24°·sin78°·cos48°的值为( ) A. B. C. D. (提示: . 11.已知 , (1)求sin2x的值;(2)若 ,求 . 解:(1)sin2x中所求角为2x,而已知中角 的2倍为 ,故只要得到 ,即可求得sin2x. 因为 , 所以, (2)中只要求得tanx即可,而sin2x与tanx的关系是 ,再由角的范围确定tanx即可. , .解得tanx=7或 . , , . 即原式 . 5.函数 的最小值是________. (提示: , 当 时,函数有最小值, .) 化简: . .解:原式