null第五章 根轨迹分析法
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2011年6月主编修改版第五章 根轨迹分析法
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2011年6月主编修改版深圳大学
机电与控制工程学院制作:罗家祥 审校:胥布工第五章 根轨迹分析法第五章 根轨迹分析法5.1 引言
5.2 根轨迹的基本概念
5.3 绘制根轨迹的一般方法
5.4 根轨迹法的扩展应用
5.5 开环零、极点对系统根轨迹的影响
5.6 利用MATLAB分析控制系统的根轨迹
5.7 小结 5.1 引言5.1 引言根轨迹方程绘制(10个规则)根轨迹扩展应用根轨迹开环零、极点对根轨迹的影响分析改变开环零极点，提高系统稳态或动态性能本章知识体系MATLAB
绘制根轨迹图5.1 引言5.1 引言系统特征方程的根在复平面上的分布位置与系统的动态性能是密切相关的。闭环控制系统是否稳定取决于其特征方程的根是否位于复平面的左半平面内，而闭环控制系统的动态性能取决于系统特征方程的根在复平面左半平面上的分布。
对于高阶系统，为了避免解析法求解所有特征根的繁琐性，1948年伊万斯（W.R.Evans）创立了一种通过改变系统的一个参数来分析系统特征方程根的位置变化的方法，并给出了绘制系统特征根变化轨迹的方法，简称为根轨迹法。
根轨迹法是一种分析线性控制系统的图解方法，具有直观和简便的优点，并且是一种通用方法，可以绘制任意线性多项式关于任何参数的根轨迹，这样不需要用解析法求特征方程的根也能够在根轨迹图上分析改变系统的参数对其动态性能的影响。 5.2 根轨迹的基本概念5.2 根轨迹的基本概念5.2.1 根轨迹图 根轨迹的研究是在一个复平面（简称s平面）上展开的，这时的复平面就叫根平面。当系统开环传递
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数的某一参数从0变化到无穷时，系统的闭环特征根在根平面上变化的轨迹就称为根轨迹。根平面加上根轨迹就叫根轨迹图。 根轨迹常用于研究开环传递函数增益变化对系统的影响，因此，从0变化到无穷的某个参数通常是指与开环传递函数放大系数K成正比的一个参数Kg，一般称为根轨迹增益。5.2 根轨迹的基本概念5.2 根轨迹的基本概念5.2.1 根轨迹图考虑开环传递函数的一般形式为式（5-2）意味着与之间的关系与零值的开环极点无关，同理也与零值的开环零点无关。由式（5-1）得与之间的关系为 5.2 根轨迹的基本概念5.2 根轨迹的基本概念例5-1 5.2 根轨迹的基本概念5.2 根轨迹的基本概念Kg>0，系统闭环特征根始终在根平面的左半部，系统总是稳定的。
0
4，两个共轭复根，系统的阶跃响应变为衰减振荡过程，Kg越大，振荡越剧烈。
Kg的取值不同，系统特征根在s平面的分布不同，系统具有不同的动态特性。5.2 根轨迹的基本概念5.2 根轨迹的基本概念5.2.2 根轨迹方程5.2 根轨迹的基本概念5.2 根轨迹的基本概念2、相角条件 规定相角以逆时针方向为正，顺时针方向为负。1、幅值条件 5.2 根轨迹的基本概念5.2 根轨迹的基本概念注意事项：
幅值条件仅是根轨迹应满足的必要条件，因为幅值还取决于Kg的大小。在根轨迹上的点都满足幅值条件，而s平面上满足幅值条件的点未必在根轨迹上。
相角条件是根轨迹应满足的充要条件，因为相角大小与Kg的大小无关。在根轨迹上的点都满足相角条件，而s平面上满足相角条件的点一定在根轨迹上。
由于绘制根轨迹的目的是通过图上向量计算来进行系统的性能分析，因此s平面的横坐标和纵坐标必须采用相同的比例尺。
通常，直接利用幅值条件和相角条件绘制系统的根轨迹很复杂，可以尝试先画出近似的根轨迹曲线，进行初步分析后，再细化和修正用计算机求解或者绘制出精确的根轨迹。5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3 绘制根轨迹的一般方法 5.3.1 绘制根轨迹的基本法则规则1 根轨迹的连续性
闭环特征方程根是根轨迹增益Kg的连续函数；根轨迹是连续的直线或曲线。 规则2 根轨迹的分支数
=特征根个数=系统阶数n。 根轨迹法是通用的方法，可以用于绘制线性多项式中任何参数的根轨迹。本节以根轨迹增益Kg为参数归纳出绘制根轨迹的基本法则。5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法规则4 根轨迹起点与终点
根轨迹的起点(Kg=0时) ：位于开环传递函数的极点处。
根轨迹的终点(Kg=∞时：止于开环传递函数的零点(包括m个有限零点和n-m个无穷远处的零点)。 规则3 根轨迹的对称性
实系数特征方程的根必为实数或共轭复数, 必对称于实轴。5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法规则5 实轴上的根轨迹 实轴上的根轨迹在奇数个零点和极点的左侧。 规则6 根轨迹的渐近线
Kg→∞时, 有n-m条根轨迹分支沿着与正实轴夾角, 截距为-的一组渐近线趋于无穷远处。
注意到式（5-14）中有 k=0, 1, 2,…,5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法（2）渐近线在实轴上交点 故推得n-m个渐近线与实轴的夹角为
（1）渐近线与实轴的夹角 5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法由比较（5-17）分母多项式系数可得 5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法例5-2 已知三阶系统的开环传递函数为
试在平面上确定系统根轨迹的渐近线。
解：系统无零点，而有三个开环极点：-p1=0，-p2=-3和-p3=-4，因此
有n-m=3条根轨迹分支趋向无穷远。
渐近线在实轴上交点的交点为
和n-m=3个渐近线与实轴的夹角为5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法规则7 根轨迹的分离点和会合点（特征方程的重根点）
若实轴两相邻开环极点之间有根轨迹: 该区段必有分离点; 若实轴两相邻开环零点之间有根轨迹：该区段必有会合点;
2) 在分离点和会合点上，根轨迹切线与正实轴夾角称分离角或会合角;
3) 分离点或汇合点必有重根：重根法.由此，根轨迹的分离点或会合点，重根必然满足如下式子： 5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法例5-3 考虑例5-2中的开环传递函数
根据规则5可知，闭环系统根轨迹在实轴上的区间为（-, -4]和[-3, 0]，显然，点s1=-3.5352在实轴上的根轨迹区间之外，故根轨迹分离点必位于点s2=-1.1315处。5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法规则8 根轨迹与虚轴的交点 例5-4 考虑开环传递函数 方法1：5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法规则8 根轨迹与虚轴的交点 方法2：5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法规则9 根轨迹的出射角和入射角 出射角：是指起始于开环复极点的根轨迹变化切线与正实轴的夹角。 入射角：是指终止于开环复零点的根轨迹变化切线与正实轴的夹角。 5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法例5-5 已知系统的开环传递函数为 5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法规则10 根轨迹的走向 当n-m2时，闭环极点之和始终等于常数.
根据闭环特征方程可得：系统闭环极点之和等于常数-an-1 随着Kg的增加，一些根轨迹向左移动时，另一些根轨迹必向右移动。 5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法2) 圆弧根轨迹
当系统仅具有两个开环极点和一个开环零点时，则在实轴外的根轨迹必然是沿着圆弧移动。例5-6 考虑系统的开环传递函数为 5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法根据上述绘制根轨迹的基本法则，单回路控制系统根轨迹的绘制一般可按以下七个步骤进行:
（1）确定根轨迹的分支数及其起点和终点。
（2）确定实轴上的根轨迹。
（3）确定根轨迹的渐近线与实轴的夹角和交点。
（4）确定根轨迹的分离点和会合点。
（5）确定根轨迹与虚轴的交点。
（6）确定根轨迹的出射角和入射角。
（7）确定根轨迹的走向，并绘制根轨迹。 5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法分离角为直角。 5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法7) 随着Kg，4条根轨迹分支分别沿着4条渐近线趋向无穷远 5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3.2 参数根轨迹的绘制 绘制参数根轨迹的一般步骤为：
（1）写出原系统的闭环特征方程。
（2）以特征方程式中不含参数的各项除特征方程，求得等效系统的根轨迹方程，此时，等效系统的根轨迹增益即为原系统的参量。
（3）绘制等效系统的根轨迹，即得原系统的参数根轨迹。关键：等效单回路系统的开环传递函数。依照绘制Kg变化时的根轨迹绘制法则绘制参量根轨迹。5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法为参数，用根轨迹绘制一般方法来绘制参数根轨迹。5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法绘制根轨迹的七个步骤如下：
（1）由n=2知，根轨迹的分支数为两条，起点为：-p1=j4和-p2=-j4 ，而终点分别为： -z1=0和无穷远处。
（2）实轴上根轨迹的存在区间(-,0]。
（3）由n-m=1知，根轨迹有一条渐近线，其与实轴的夹角为
而与实轴的交点为（4）实轴上-z1=0与无穷远处之间必有一个会合点，计算
公式
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为
解得s=4， 因s=4不在根轨迹上，故会合点必位于s=-4处。5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法（5）由（1）-（4）可知，根轨迹位于s平面左半部，根轨迹的起点-p1=j4和-p2=-j4就是与虚轴的交点。
（6）根轨迹在起点-p1=j4的出射角为
而在起点-p2=-j4的出射角为
（7）利用式（5-32）得
即在实轴外的根轨迹是以原点为圆心，以为半径的圆弧轨迹，如图5-15 所示。5.3 绘制根轨迹的一般方法5.3 绘制根轨迹的一般方法当K取不同值时，方法一致，如图5-16。
5.4 根轨迹法的扩展应用 5.4 根轨迹法的扩展应用 5.4.1 双回路系统的根轨迹方法：局部闭环子系统的极点为双回路系统的开环极点
1）首先根据局部闭环子系统的开环传递函数绘制其根轨迹，确定局部闭环子系统的极点分布；
2）然后根据双回路系统的开环零极点分布，绘制出全系统的根轨迹。例5-9 已知双回路控制系统的结构 分析：
1) 含有两个参数，两个回环；
2) 确定内环极点，再确定系统开环极点。5.4 根轨迹法的扩展应用5.4 根轨迹法的扩展应用局部闭环全系统开环传递函数5.4 根轨迹法的扩展应用5.4 根轨迹法的扩展应用2）绘制整个系统的根轨迹
当确定内环系统参量的数值后，就可绘制整个系统的根轨迹。 ， ∴内环闭环极点为外环开环传函极点
∴ -p1，2为外环开环极点，再考虑零值 极点，整个外环根轨迹如图5-19。5.4 根轨迹法的扩展应用5.4 根轨迹法的扩展应用5.4.2 延迟系统的根轨迹5.4 根轨迹法的扩展应用5.4 根轨迹法的扩展应用例5-10 已知延迟系统的开环传递函数为 5.4 根轨迹法的扩展应用5.4 根轨迹法的扩展应用绘制延迟系统的根轨迹步骤如下:(1) 根轨迹有无穷多条。
起点：实轴上的一个起点位于极点 -2处； =-满足幅值条件，无穷多个无穷远开环极点；
终点： =+满足幅值条件，无穷多个无穷远开环零点；有起始于无穷远极点和趋于无穷远零点的根轨迹的渐近线均为水平线，无穷远零点与虚轴的交点为5.4 根轨迹法的扩展应用5.4 根轨迹法的扩展应用所对应的主根轨迹如图5-215.4 根轨迹法的扩展应用5.4 根轨迹法的扩展应用（5）根轨迹与虚轴的交点可由关系式（6）k取不同数值时候的根轨迹作图方法与k=0类似，图5-22为k=0，1，2时相对完整的根轨迹。k1时，根轨迹起始于无穷而终止于无穷。k=0时，为主根轨迹，起主导作用。 由于延迟，保证系统稳定Kg值
不能取得太大，本例Kg应小于3.04。5.4 根轨迹法的扩展应用5.4 根轨迹法的扩展应用5.4.3 0度根轨迹的绘制0度根轨迹：相角遵循0+360k条件的根轨迹称为0度根轨迹，又因根轨迹增益（-Kg）为负值，也称为负根轨迹。0度根轨迹分两种情况：
（1）正反馈系统。
（2）含有一个不稳定零点的非最小相位为系统，此时根轨迹方程为：5.4 根轨迹法的扩展应用5.4 根轨迹法的扩展应用5.4 根轨迹法的扩展应用5.4 根轨迹法的扩展应用规则1 根轨迹的分支数，起点和终点同180度根轨迹。
规则2 由于0度根轨迹相角条件的改变，实轴上的根轨迹在偶数个开环零极点的左侧。
规则3 根轨迹的渐近线与实轴的交点的计算方法同180度根轨迹，而与实轴的夹角的计算公式为
规则4 根轨迹的分离点和会合
点的计算方法同180度
根轨迹。
5.4 根轨迹法的扩展应用5.4 根轨迹法的扩展应用规则5 由于相角条件的改变，
计算离开开环极点-pq
的出射角公式变为而
计算进入开环零点-zq的
入射角公式为 规则6 根轨迹与虚轴交点的计算方法同180度根轨迹。
规则7 根轨迹的走向和其他性质，可按180度根轨迹类似
推得。5.4 根轨迹法的扩展应用5.4 根轨迹法的扩展应用例5-11 考虑一个单位正反馈系统
的开环传递函数的根轨迹。5.4 根轨迹法的扩展应用5.4 根轨迹法的扩展应用5) 三条根轨迹都沿着渐近线趋向无穷远5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响 5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响 系统根轨迹的形状、位置完全依赖于系统的开环传递函数中的零极点，可用增加系统的开环零点和极点的方法来改造根轨迹，从而达到改善系统性能的目的。 5.5.1 开环零点对根轨迹的影响 z1> z2> z3>
随着增加的零点从负无穷远向虚轴移动，根轨迹从原来的位置向左移，且零点越靠近虚轴，则根轨迹变化越明显。5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响 增加开环负实数零点-zi就相当于增加一个以1/zi为时间常数的微分环节
1 +d s
其中，微分时间常数为d=1/zi。
零点距虚轴越近，微分作用越强，对动态特性的影响越显著。 5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响 增加开环零点对根轨迹的影响可归纳如下：
（1）改变了根轨迹在实轴上的分布。
（2）改变了根轨迹渐近线的条数，倾角以及截距。
（3）若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近，则两者作用相互抵消。因此，可加入一个零点抵消有损于系统性能的极点。
（4）根轨迹曲线将向左偏移，提高了相对稳定性，有利于改善系统的动态性能，而且所加的零点越靠近虚轴，则影响越大。5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响5.5.2 开环极点对根轨迹的影响 p1> p2> p3>
根轨迹向右移，且极点离虚轴越近，
根轨迹向右偏移的程度越大；
增加开环负实数极点-pl就相当于增加
以1/pl为时间常数的一个惯性环节
1/(Ts+1)
其中，惯性环节时间常数为T=1/pl。
极点离虚轴越近，惯性就越大，对系统稳定性不利。5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响 增加开环极点对根轨迹的影响可归纳如下：
（1）改变了根轨迹在实轴上的分布。
（2）改变了根轨迹渐近线的条数，倾角以及截距。
（3）改变了根轨迹的分支数。
（4）根轨迹曲线将向右偏移，不利于系统的稳定性和动态性能，所加的极点越靠近虚轴，影响就越大。5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响5.5.3 开环偶极子对根轨迹的影响 开环偶极子：是指开环系统中一对互相非常接近（和其他零极点相比）的零点和极点。开环偶极子对系统根轨迹的影响可归纳为以下两点：
1）不影响距离它们较远的根轨迹形状及根轨迹增益 Kg；
原因：开环偶极子与远处根轨迹某点形成的向量基本相等,它们在幅值条件及相角条件中可以相互抵消。5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响5.5 开环零极点对系统根轨迹的影响原因：开环放大系数提高 zc/pc 倍，由开环放大系数与系统的静态误差系数Kp、Kv、Ka关系可知，提高开环放大系数可改善系统的稳态性能。 2）若开环偶极子位于s平面原点附近，则由于闭环主导极点离原点较远，开环偶极子对闭环主导极点的位置及增益的影响不大，但此时开环偶极子可使开环增益增加 zc/pc 倍，从而显著影响系统的稳态性能。5.6 利用MATLAB分析控制系统的根轨迹 5.6 利用MATLAB分析控制系统的根轨迹 5.6.1 绘制根轨迹与求取根轨迹增益关键语句：
rlocus (num，den) 或rlocus(num, den, k)
[k，poles]=rlocfind(num, den)例5-12 单位负反馈开环传递函数 试绘制根轨迹图，试求在根轨迹上点(-1,0)处的坐标值和所对应的根轨迹增益值命令窗口输入内容见166页。
鼠标移动获取轨迹上的坐标值增益。5.6 利用MATLAB分析控制系统的根轨迹5.6 利用MATLAB分析控制系统的根轨迹5.6.2 分析控制系统的稳定性[p, k] = rlocus(num,den)命令窗口输入：
>> num = [1 1];
>> d1 = [1 0]; d2 = [1 -1]; d3 = [1 4 16];
>> d4 = conv(d1,d2);
>> den = conv(d4,d3);
>> rlocus(num,den);
>> axis([-6,6,-6,6]);
>> axis equal;
>> [p,k] = rlocus(num,den);
运行结果如图5-28所示。例5-13 设某单位负反馈系统的开环传递函数为 随着K增大，不稳定稳定不稳定5.7 小结5.7 小结（1）根轨迹的基本概念
所谓的根轨迹，就是当控制系统中某参数由零趋向于无穷大变化时，系统的闭环特征根在s平面上移动的轨迹。根轨迹方程是系统闭环特征方程的变形，由其导出的幅值条件和相角条件也分别称为根轨迹的幅值方程和相角方程。相角方程是决定根轨迹的充分必要条件，可依据其来绘制控制系统的根轨迹，幅值方程可用来确定根轨迹上各点对应的增益值。
（2）绘制根轨迹的一般方法
基于绘制根轨迹的十条规则，可迅速描绘出根轨迹的大致图形。本章也介绍了用MATLAB绘制根轨迹的方法。
（3）根轨迹的扩展应用
多回路根轨迹、延迟系统根轨迹以及0度根轨迹的绘制方法。
（4）开环零、极点以及开环偶极子对根轨迹的影响
在控制系统中适当增加一些开环零、极点，可以改变根轨迹的形状，从而达到改善系统性能的目的。一般情况下，增加开环零点可使根轨迹左移，有利于改善系统的相对稳定性和暂态性能；如果增加开环极点，则根轨迹右移，不利于系统的相对稳定性以及瞬态性能；如果在原点附近加入一对开环偶极子，则可增加开环增益从而显著地改善系统的稳态性能。null本章结束！
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