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11_527709157 作业答案11 P156, 27 证明: 方法一：用闭图像定理证明. 任取fxng � H 使得xn ! x;Axn ! y,有 hAxn; yi = hxn; Ayi ! hx;Ayi = hAx; yi ; 但是 hAxn; yi = hy; yi : 故y = Ax,从而A为闭算子,于是由闭图像定理知A 2 B(H).证毕！方法二：用一致有界原理证明. 固定y,定义fy(x) = hAx; yi, 则fy 为线性算子且 jfy(x)j � jhAx; yij = jhx;Ayij � kAy...

作业答案 11 P156, 27 证明: 方法一：用闭图像定理证明. 任取fxng � H 使得xn ! x;Axn ! y,有 hAxn; yi = hxn; Ayi ! hx;Ayi = hAx; yi ; 但是 hAxn; yi = hy; yi : 故y = Ax,从而A为闭算子,于是由闭图像定理知A 2 B(H).证毕！方法二：用一致有界原理证明. 固定y,定义fy(x) = hAx; yi, 则fy 为线性算子且 jfy(x)j � jhAx; yij = jhx;Ayij � kAyk kxk : (1) 故fy 点点有界,由一致有界原理得到kfyk有界. 由(1)知道 kfyk � kAyk : 另外易知jfy(Ay)j = kAyk2. 所以kfyk = kAyk. 从而 kAk = sup kyk�1 kAyk � sup kyk�1 kfyk : 再由一致有界原理得到A有界. 41 证明: 设C : Y ! Y 00 为典范映射. fC(Tx) : kxk = 1g � Y 00. 于是对于任意f 2 Y 0, jC(Tx)(f)j = jf(Tx)j = jS(f)(x)j � kS(f)k <1: 1 由一致有界原理, 存在M � 0; kTxk = kC(Tx)k � M . 故T 有界. 注意到当kfk = 1;有 kS(f)k = sup kxk=1 jS(f)(x)j = sup kxk=1 jf(Tx)j � sup kxk=1 kfk kTk kxk = kTk : 故S 有界. 2

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