牛顿法潮流计算的高效综合稀疏技术

颜 伟等： 牛顿法潮流计算的高效综合稀疏技术第 7期 电 力 系 统 牛顿法潮流计算的高效综合稀疏技术 颜 伟1，黄正波1，余 娟1，张海兵2，项 波1 （1． 重庆大学 输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室，重庆 400030； 2． 重庆市电力公司 电网检修分公司，重庆 400010） 摘 要： 提出了一种快速实现潮流计算的牛顿法综合潮流稀疏技术。 雅可比矩阵的节点分块结构能有效提 高矩阵的形成、 修正与线性方程组求解效率。 基于此创建了一种由十字链表层和二叉链表层构成的二层链 表结构， 十字链表层存储雅可比矩阵， 二叉链表层存储节点导纳矩阵， 两者之间的对应元素通过指针直接 关联。 在雅可比矩阵形成与修正过程中， 通过两层链表之间的关联结构可直接从二叉链表层中提取导纳信 息形成或修正十字链表层中的雅可比矩阵， 避免消元操作引入的注入元对原始雅可比矩阵结构的破坏所带 来的影响。 十字链表层可直接应用于分块雅可比线性方程组求解操作， 同时， 通过保留链表结构等措施进 一步提高线性方程组求解速度。 通过 IEEE57 到波兰 2746 节点等 5 个网络的潮流计算表明： 所提出的潮流 综合稀疏技术相对于流行的稀疏技术， 效率优势明显。 关键词： 牛顿法潮流计算； 稀疏技术； 雅可比矩阵修正； 分块矩阵； 线性方程组； 动态链表 中图分类号： TM 744 文献标志码： A 文章编号： 1004-9649（2010）07-0019-05 收稿日期： 2009-10-11；修回日期： 2010-05-04 作者简介： 颜 伟（1968—），男，四川乐山人，教授，博士生导师，从事电力系统优化运行与控制研究。 E-mail: cquyanwei@21cn. com 0 引言 稀疏技术 ［1-2］对提高潮流计算效率具有重要意 义，并取得了大量研究成果［3-10］。 相关的研究成果一 般涉及:常用的节点编号技术有半动态编号法 ［3］、近 似最小度法 ［4］、压缩带宽法 ［5］等；常用的存储技术有 十字链表法 ［7-9］、单链表法 ［8］、三元素法 ［1］；常用的消 元技术有高斯消元法和 LU 分解 ［10］等，而潮流稀疏 技术便是上述 3类操作的组合策略。另外，通过预留 注入元空间、保留链表对角元地址、引入因子表以保 留矩阵高斯消元路径［7-9］等技术可进一步改进上述 3 类操作。 雅可比矩阵可看作以节点为基础的由 2×2 阶 子阵 Hij Nij Jij Lij! "、 Hij NijRij Sij! "构成的分块雅可比矩阵（节 点分块雅可比矩阵），但现有研究并没有充分考虑利 用这些特点对算法进行改进。 针对雅可比矩阵的形 成和修正， 现有研究一般将雅可比矩阵和节点导纳 矩阵分别存储在 2个十字链表之中， 雅可比矩阵的 形成和修正需要在 2 个链表之间进行数据查找操 作。在第一次迭代后，由于雅可比链表中填入了高斯 消元操作引入的注入元单元，2 类链表便具有不同 的结构，导致后续的雅可比矩阵修正过程中，无法直 接定位待修正元素地址，降低了修正速度。 为此， 本文分析认为节点分块雅可矩阵结构可 有效提高牛顿潮流计算效率。基于此，创建了一种二 层链表结构， 可以快速定位待修正的雅可比矩阵单 元，完成矩阵的修正；同时进行快速的分块矩阵的高 斯消元。 上述以二层链表为核心的技术统称为综合 潮流稀疏技术。 1 节点分块雅可比矩阵结构在牛顿潮流计 算中的优势 本文的分析均基于直角坐标形式的雅可比矩 阵。 但是，文献［10］指出，将极坐标形式的雅可比矩 阵留出 （n-m）行空行和（n-m）列空列后，再以节点 为单元进行分块，则极坐标形式的雅可比矩阵与直 角坐标形式的节点分块雅可比矩阵具有相同结构。 因此，本文对于直角坐标形式的雅可比矩阵的推论 与应用同样适用于极坐标形式的雅可比矩阵潮流 计算。 1.1 在雅可比矩阵形成和修正中的效率优势 节点数为 N的网络，节点分块雅可比矩阵的 2× 2 阶单元 Hij Nij Jij Lij! "， Hij NijRij Sij! "的修正公式如下（以 Hij 为例，Nij、Jij和 Lij与前者具有相似的结构）： 中国电力 ELECTRIC POWER 第43 卷第 7 期 2010 年 7 月 Vol ． 43， No． 7 Jul. 2010 19 第 43卷中 国 电 力 电 力 系 统 当 i≠j时： Hij=-Bij ei +Gij fi Rij=0 Sij= ≠ ≠ ≠≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ 0 当 i=j时： Hij=-Bii ei +2Gii fi+Bii ei + j=n j=1,j≠i Σ （Gij fj+Bij ej） Rij=2fi Sii=2ei ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ Σ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ 节点分块雅可比矩阵和节点导纳矩阵具有相同 的结构。因此，节点分块雅可比矩阵中，当 i≠j时，修 正 2×2阶单元所需的导纳信息在节点导纳矩阵中仍 然处于（i，j）位置。 当 i=j时，修正 2×2阶对角单元所 需的导纳信息是节点导纳矩阵第 i 行中的所有导纳 数据，可通过简单的链表循环查找功能依次提取。 由以上分析可以看出： 在雅可比矩阵修正过程 中，任意一个待处理的 2×2 阶单元在节点分块雅可 比矩阵中的位置， 与修正过程中所需的导纳值在节 点导纳矩阵中的位置相对应。 在被广泛应用的潮流 稀疏技术中，雅可比和导纳矩阵都采用链表存储，数 据查找十分耗时， 而上述性质将有效提高 2类链表 之间的数据查找和修正效率。但是，传统雅可比矩阵 和节点导纳矩阵之间没有这种直接对应关系， 特别 是以单元素为对象的传统雅可比矩阵在进行节点优 化编号后， 传统雅可比矩阵和导纳矩阵之间的对应 关系便更加复杂， 增加了 2个链表之间的数据查找 时间。 1.2 在线性方程组求解中的优势 对分析所涉及的网络及网络规模作如下约定： 网络节点数为 n，其中具有（m-1）个 PQ节点；（n-m） 个 PV节点；1个平衡节点；同时，非对地支路的数量 为 k（不包括与平衡节点相联的支路）。 1.2.1 在半动态节点优化编号中的优势 半动态节点优化编号的直接处理对象必须是结 构对称型矩阵。传统雅可比矩阵不是结构对称型，因 此在排序前， 还需进行结构对称化等操作， 耗费时 间。节点分块雅可比矩阵结构和导纳矩阵相同，具有 结构对称特点， 并且其拓扑信息可直接从支路联结 信息中提取，因此，以 2×2 阶节点分块为单元，直接 进行半动态优化编号，效率较高。 对于实际网络，若以节点分块雅可比矩阵的 2× 2阶分块为单元，则阶数为（n-1）；同时，传统雅可比 矩阵阶数为 2（n-1）。 因此，节点分块雅可比矩阵编 号规模为（n-1）；而传统雅可比矩阵为 2（n-1），前者 的编号规模较小，效率较高。 1.2.2 在十字链表存储操作中的优势 在链表形成和消元求解过程中会进行大量的链 表寻址、插入操作。同时，十字链表的寻址、插入操作 通过二维循环搜索实现，本身极为耗时。 另外，十字 链表的规模越大或者链表中的非零元个数越多，则 某一单元寻址、 插入操作需要考虑的循环操作规模 便会越大，耗费时间。 为此，分别研究了节点分块雅 可比矩阵和传统雅可比矩阵的规模、非零单元（元） 个数和稀疏度。 实际网络中，PQ节点占绝大多数， 即 m≈n，因 此，首先假设 m=n，即不存在 PV 节点，以合理简化 公式。 对于节点分块雅可比矩阵，以 2×2 阶单元为参 照，结构与节点导纳矩阵相似。节点分块雅可比矩阵 相关参数分别为：矩阵规模=（n-1）2；非零 2×2 阶单 元个数=（n-1）+2k；稀疏度=［（n-1）+2k］/（n-1）2。 而传 统雅可比矩阵相关参数分别为：矩阵规模=［2（n-1）］2= 4（n-1）2；非零元个数=4［（n-1）+2k］；稀疏度=［（n-1）+ 2k］/（n-1）2。 可以看出节点分块雅可比矩阵的规模较小 ， 非零元个数较少，因此，相对于传统雅可比矩阵， 操作节点分块结构雅可比矩阵对应的链表会更节 省时间。 2 二层链表结构及其在牛顿修正方程组求 解中的应用 为快速形成与修正雅可比矩阵， 并兼顾线性 方程组的高效求解， 本文利用节点分块雅可比矩 阵和导纳矩阵结构相同的特点，设计二层链表，以 提高雅可比矩阵的形成、 修正以及线性方程组求 解效率。 2.1 二层链表的创建 二层链表主要由 2部分组成： 存储节点分块雅 可比矩阵的非零单元的十字链表、 存储节点导纳矩 阵非零单元的二叉链表组 （由二叉单元构成的链表 组）。 节点分块雅可比矩阵和节点导纳矩阵结构相 同，因此，两者之间的对应存储单元分别由二叉单元 中的指针项一一关联。另外，为了控制十字链表和二 叉链表的相关操作，还需要引入头节点指针网络。图 1 为某 4节点网络对应的二层链表结构。 关于图 1 的 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 ：（1）直角方框构成的网络为 头节点网络，圆角方框及相关指针构成的网络为十 字链表网络，椭圆框及相关指针构成的网络为二叉 链表网络，箭头方向代表指针方向。 （2）每一个头节 点对应网络中的一个实际节点，头节点地址依次存 储在一个指针数组中，因此，可直接定位任意头节 点指针，然后通过头节点指针操作该十字链表。 （3） 二叉链表每一行（列）中的单元与电网中对应节点 的信息（自导纳等）一一对应，或连接此节点的支路 信息（互导纳等）。 （4）十字链表层中存储的元素为 20 颜 伟等： 牛顿法潮流计算的高效综合稀疏技术第 7期 电 力 系 统 波兰 2383 IEEE300 IEEE118 IEEE57 0.257 35 0.013 28 0.004 06 0.001 88 0.815 78 0.064 63 0.014 22 0.007 66 0.315 47 0.205 48 0.285 51 0.245 43 算 例 波兰 2746 0.350 00 0.926 60 时间比 0.377 73 计 算 时 间 /s 综合潮 流稀疏 技术 流行潮 流稀疏 技术 图 1 二层链表结构 Fig.1 Structure of the two-layer linked list table Aij= Hij Nij Jij Lij! "或 Hij NijRij Sij! "，二叉链表层中存储的元素 为 Yij=［Gij Bij］， 两者通过二叉单元中的一个指针项 发生关联，由 Yij指向 Aij。 2.2 基于二层链表的雅可比矩阵的形成与修正 对于节点分块雅可比矩阵中非对角单元的修 正，利用二叉单元中的指针项，通过二层链表中的导 纳结构信息定位到待修正的 2×2 阶分块单元，在提 取导纳值后对雅可比矩阵单元进行修正。 对角单元 的修正过程与前者类似，不同的是：修正节点分块雅 可比矩阵对角单元所需的导纳信息是通过遍历二叉 链表网络对应的行（列）获得的。 二层链表中的十字链表层用于存储雅可比系数 矩阵，因此，线性方程组求解将在二层链表中的十字 链表层进行，并且十字链表的存储空间将长期保留。 一次迭代消元后的十字链表层将包含原始雅可比矩 阵存储单元和注入元存储单元这 2类信息。 由此产 生一个问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：雅可比矩阵修正时，如何快速定位十字 链表层中待修正的雅可比矩阵存储单元， 以求避免 对注入元的存储单元进行误操作？ 二叉链表层严格 对应着待修正的节点分块雅可比矩阵单元， 并且在 迭代消元过程中不会改变，因此，同样按照上述的二 层链表中雅可比矩阵修正时的操作方式， 便可以在 保留注入元存储空间的前提下， 快速定位并修正节 点分块雅可比矩阵单元。 可以看出， 该二层链表结构较快地实现了节点 分块雅可比矩阵单元的定位与修正， 同时兼顾了节 点分块雅可比线性方程组迭代求解的需要， 提高了 牛顿潮流计算速度。 2.3 基于二层链表的牛顿修正方程组的迭代求解 线性方程组的求解操作是在二层链表中的十字 链表层实现的，同时，通过头指针指向对十字链表的 操作相对独立， 不因其与二叉链表层的组合而受到 任何影响。 另外，结合被广泛应用的潮流稀疏技术，利用十 字链表进行节点分块雅可比矩阵存储消元， 并保留 十字链表存储空间。同时，实现直接利用支路信息进 行节点分块雅可比矩阵的节点优化编号。 结构相同、 数值不同的矩阵在高斯消元过程中 以及消元后，理论上都具有相同的结构。 同时，牛顿 潮流线性方程组求解的关键内容便是结构相同、数 值不同的雅可比矩阵的迭代消元求解。为此，保留潮 流迭代消元操作所涉及的二层链表存储空间， 避免 了在同一位置的注入元引起的重复的链表空间查 找、开辟和删除等操作，提高计算效率。相对于“符号 分解，预留注入元空间”等传统处理注入元的方式， 此 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 在避免矩阵符号分解等操作的同时， 达到了 相同的效果。另外，直接利用支路信息进行节点分块 矩阵的节点优化编号的操作较为高效， 无需对矩阵 结构信息进行统计，节省计算时间。 3 仿真分析 计算机硬件配置为 ：Pentium （R）4 CPU 2.26 GHz，内存 512 MB，操作系统 Windows XP，仿真环境 VC 6.0。 仿真算例采用波兰 2746、2383 实际算例与 IEEE300、118、57算例。 基于传统雅可比矩阵结构的半动态编号、十字链 表存储和高斯消元的组合策略是一种效率较高且较 为流行的潮流稀疏技术，简称为流行潮流稀疏技术。 3.1 潮流计算效率对比分析 表 1给出了综合稀疏技术和流行稀疏技术的潮 流计算时间对比数据。可以看出：综合稀疏技术相对 于流行稀疏技术的计算效率更高。 3.2 雅可比矩阵形成与修正的效率对比分析 流行稀疏技术中， 雅可比矩阵采用十字链表存 储，修正所需的导纳数据同样采用十字链表存储。表 2 中的“迭代次数”等于一次潮流计算的迭代次数， 即雅可比矩阵形成与修正总的次数。可以看出：采用 表 1 潮流计算时间比较 Tab. 1 Comparison of the calculation time 21 第 43卷中 国 电 力 电 力 系 统 二层链表结构的雅可比矩阵修正效率明显高于传统 十字链表的效率。 3.3 线性方程组求解效率对比分析 2 类技术的主要区别是： 前者以节点分块雅可 比矩阵为对象进行节点优化编号以及消元计算，后 者采用传统雅可比矩阵进行相关操作。表 3中的“迭 代次数”等于一次潮流计算的迭代次数，也就是线性 方程组求解的次数。可以看出：关于计算时间和注入 元数量 2个指标， 采用节点分块雅可比矩阵明显优 于采用传统矩阵， 并且计算时间比与注入元数量比 在数值上具有一定的关联性。 3.4 内存空间的操作效率对比分析 计算机实现过程中的内存空间的开辟、 删除等 操作也相当重要；另外，链表空间的开辟与删除，其 操作繁琐且耗时。 2类处理方式的关键区别是：综合 技术只需处理一个二层链表，且规模较小；流行技术 需要处理 3个十字链表（分别满足雅可比矩阵修正、 计算以及存储节点导纳矩阵的需要）， 且规模较大。 由表 4可得： 综合技术的内存空间的操作时间更有 优势，原始链表的非零元数量比约为 1∶4，且时间比 与非零元数量比具有一定的相联性。 4 结语 本文理论分析得出： 节点分块雅可比矩阵在矩 阵的形成、 修正以及线性方程组求解中都具有明显 的效率优势。基于此，提出了一种基于节点分块雅可 比矩阵结构的综合稀疏技术。 该综合稀疏技术的核 心是二层链表结构， 快速形成与修正雅可比矩阵并 兼顾分块矩阵的线性方程组求解。 经多个算例证明： 该潮流综合稀疏技术相对于 流行潮流稀疏技术，在雅可比矩阵的形成、修正与线 性方程组迭代求解方面都具有明显的效率优势。 同 时，对于算法的计算机实现，综合稀疏技术在存储空 间开辟、删除等方面也具有很大的效率优势。对于一 次完整的潮流计算， 该潮流综合稀疏技术相对于流 行稀疏技术，其计算时间为后者的 30%左右，效率 优势明显，特别适用于大型电网实时潮流计算。 参考文献： ［1］ 吴建平,王正华,李晓梅.稀疏线性方程组的高效求解与并行计 算［M］.长沙:湖南科学技术出版社, 2004. 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Sparse matrix techniques 表 3 线性方程组求解时间与注入元比较 Tab． 3 Comparison of the liner equations solving time and quantity of input elements 表 4 内存空间单元数与操作时间比较 Tab．4 Comparison of the quantity of storing elements and memory operation time 表 2 雅可比矩阵形成与修正时间比较 Tab． 2 Comparison of the Jacobianmatrix formation & modification time 波兰 2383 IEEE300 IEEE118 IEEE57 6 6 5 5 0.035 47 0.001 33 0.000 59 0.000 14 算 例 波兰 2746 迭代次数 5 0.037 50 0.142 66 0.248 63 0.008 86 0.150 112 0.002 92 0.202 06 0.001 09 0.128 44时间比 0.149 85 0.250 25 时间 /s 二层链表中 的雅可比矩 阵修正 十字链表中 的雅可比矩 阵修正 波兰 2383 IEEE300 IEEE118 IEEE57 6 6 5 5 算 例 波兰 2746 迭代次数 5 0.188 70 0.523 40 0.006 57 0.030 62 0.001 44 0.004 54 0.000 72 0.002 78 0.253 10 0.607 80 6 600 17 144 0.360 53 0.384 97 510 1 756 0.214 57 0.290 43 158 262 0.317 18 0.603 05 116 358 0.258 99 0.324 02 时间比 注入元 数量比 10 478 20 900 0.416 42 0.501 34 注入 单元 /块 节点分块 雅可比 传统雅可比 时间 /s 节点分块 雅可比 传统雅可比 波兰 2383 IEEE300 IEEE118 IEEE57 0.040 60 0.003 75 0.001 33 0.000 58 算 例 波兰 2746 0.051 60 0.176 50 8 155 0.019 37 1 118 0.006 88 476 0.003 56 213 0.198 50 9 756 30 678 0.230 02 0.265 83 4 202 0.193 60 0.266 06 1 538 0.193 31 0.309 49 769 0.162 92 0.276 98 时间比 非零元 数量比 35 206 0.259 95 0.277 11 时间 /s 综合稀疏 技术 流行稀疏 技术 非零 单元 /块 原始二层 链表 原始十字 链表 22 颜 伟等： 牛顿法潮流计算的高效综合稀疏技术第 7期 电 力 系 统 Integrated sparse technique of Newton power flow calculation YANWei1, HUANG Zheng-bo1, YU Juan1, ZHANGHai-bing2, Xiang Bo1 （1．State Key Laboratory of Power Transmission Equipment & System Security and New Technology, Chongqing University, Chongqing 400030, China; 2． Electric Power Maintenance and Installation Institute of Chongqing Electrie Power Company, Chongqing 400010, China） Abstract: An integrated sparse technique of Newton power flow calculation was proposed to enhance the efficiency of the calculation. Above all, through the systems analysis, it is advanced that the structure of the block conformation of the Jacobian matrix under the real bus in networks is able to enhance the efficiencies of these two parts, which are the formation & modification of Jacobian matrices and the decomposition & solving of linear equations. And a kind of two-layer linked list table was constructed further. The two-layer linked list is composed of cross linked list and binary linked list, such that the cross linked list stores the block Jacobian matrix and the binary linked list stores bus admittance matrix, and the corresponding cells between the two layers are linked via the pointer. First, when formatting and modifying the Jacobian matrix, the value of admittance is obtained through the linking between the two kinds of linked lists, which avoiding the effect of the changing of the original Jacobian sturcture after Gauss decomposition, and speeding up the efficiency. Second, the layer of the cross linked list that is preserved during the iteration is used to solve linear equations directly, which speeding up the efficiency. The result of five networks from 57 to 2746 buses are given: compared with the traditional techniques, the integrated sparse technique of Newton power flow described in this thesis is more capable of improving the efficiency. Key words:Newton power flow calculation; sparse technique; Jacobian matrix modification; block matrix; linear equations; dynamic linked list in power systems［C］// 39th Southeastern Symposium on System Theory, 2007． ［6］ 王守相,王成山.配电系统节点优化编号 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 比较［J］.电力系统 自动化, 2003, 27（8）: 54-58． WANA Shou-xiang, WANA Cheng-shan. Comparative study of optimal node indexing schemes for distribution systems［J］. 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Beijing: Science Press, 2006. （责任编辑 李 博） 电力科技信息 ▲中国水电完成国内水电工程“第一墙”施工 由中国水电集团所属水电七局承建的桐子林水电站导 流明渠框格式地下连续墙已提前完工，这个被有关专家称 为国内水电工程“第一墙”的项目顺利完工，标志着电站顺 利实现了导流明渠工程重要节点目标，也标志着桐子林水 电站导流明渠框格式地下连续墙技术攻关项目取得阶段 性成果。 桐子林水电站位于四川省攀枝花市盐边县境内的雅砻 江干流上，是雅砻江干流下游最末一级梯级电站，总装机为 600 MW。 桐子林电站导流明渠布置在右岸滩地上， 结合水工右 岸三孔泄洪闸的布置， 下游段基础处理采用了框格式连续 墙，连续墙厚均为 1.2 m，最大墙深约 42 m。框格式连续墙作 为基础处理的一种工程措施， 在国内水电 工程施工 建筑工程施工承包1园林工程施工准备消防工程安全技术交底水电安装文明施工建筑工程施工成本控制 中尚无 先例，在施工布置、施工程序、施工方法更加合理可行等方 面均需要进行更深入的分析。 特别是对十字形槽段的成槽 存在很大的技术难题。 此项目针对性强，方法新，施工难度 大。 由于关系到导流明渠的工期目标乃至整个桐子林水电 站的目标工期，该项目被列为桐子林水电站的重点项目。 为力争节点工期，攻克该项技术难题，对框格式地下连 续墙节点部位的结构进行优化， 将原设计的十字形节点扩 大桩， 先后解决了防止混凝土绕流技术和接头钢板清理等 技术难题，为连续墙的顺利实施提供了坚强的技术保证。 23