潮流计算中的二层链表与有序节点关联信息生成法

第 34 卷 第 11 期 电 网 技 术 Vol. 34 No. 11 2010 年 11 月 Power System Technology Nov. 2010 文章编号：1000-3673（2010）11-0087-06 中图分类号：TM 71 文献标志码：A 学科代码：470·4054 潮流计算中的二层链表与有序节点关联信息生成法 颜伟，黄正波，余娟 （输配电装备及系统安全与新技术国家重点实验室(重庆大学)，重庆市 沙坪坝区 400030） A Method to Form Relevant Information Between Two-Layer Linked List and Ordered Nodes for Power Flow Calculation YAN Wei, HUANG Zhengbo, YU Juan (State Key Laboratory of Power Transmission Equipment & System Security and New Technology (Chongqing University), Shapingba District, Chongqing 400030, China) ABSTRACT: To improve the efficiency of power flow calculation by Newton method, a lower triangular two-layer linked list is proposed to implement isomorphic storage of bus admittance matrix and the bus-deblocked Jacobian matrix as well as located inquiry from elements of admittance matrix to Jacobian sub-matrix, thus the efficiency of creating the unit space of matrix linked list as well as the efficiency of forming and modifying of element values in Jacobian matrix are improved. Based on semi-dynamic numbering method, a method to form relevant information of ordered buses is put forward. Using this method, the information of ordered relevant buses, in which the input elements of buses in lower triangular linked list are included, could be established to improve the efficiency of creating the space of linked list. Simulation results of five calculation examples show that the proposed method is available and possesses superiority in power flow calculation of large-scale power grid. KEY WORDS: power flow calculation by Newton method; bus-deblocked Jacobian matrix; bus admittance matrix; linked list; semi-dynamic numbering 摘要：为提高牛顿法的潮流计算效率，创建了一种下三角二 层链表结构。该结构实现了导纳矩阵与雅可比矩阵的同构存 储，以及导纳矩阵元素到雅可比子阵的定位查询功能，提高 了矩阵链表单元空间的开辟效率，及其矩阵元素值的形成与 修正效率。基于半动态编号方法，提出了一种有序节点关联 信息生成法。该方法能够建立包括注入元的下三角链表节点 的有序关联节点信息，提高链表空间的开辟效率。5 个算例 的仿真结果验证了所提方法的有效性，在求解大型电力系统 潮流计算时有优势。 关键词：牛顿法潮流计算；节点分块雅可比矩阵；节点导纳 矩阵；链表；半动态编号 基金项目：国家自然科学基金项目(50577073)。 Project Supported by National Natural Science Foundation of China (50577073). 0 引言 潮流计算是电力系统 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 的基础工作之一，其 计算效率一直是研究人员关心的问题。潮流计算主 要包括 2 个环节：雅可比矩阵的形成与修正和线性 方程组的求解。这 2 方面都涉及稀疏矩阵的存储与 运算技术，主要包括节点的优化编号[1-3]、稀疏矩阵 的存储[4-7]与消元技术[8]。目前稀疏技术已广泛应用 于电力系统拓扑分析、潮流计算、安全分析与优化 计算等诸多领域[9-15]。因此结合分析潮流计算的特 点进一步提高稀疏技术的应用效率，对电力系统各 种分析计算都具有重要意义。 现有潮流计算稀疏技术中，主要采用半动态编 号方法[1]实现节点的优化编号，再采用十字链表[4-6] 分别存储节点导纳矩阵和雅可比矩阵，然后在雅可 比矩阵的十字链表存储结构的基础之上采用高斯 消元或 LDU 分解方法实现牛顿修正方程组的求 解[8]。上述研究没有充分利用节点导纳矩阵与节点 分块雅可比矩阵的同构特点，没有充分考虑随机十 字链表空间开辟时循环寻址、断链与合链操作的耗 时问题，因而尽管通过稀疏技术的应用提高了潮流 的计算效率，但还有进一步挖掘的潜力。 为此创建了一种下三角二层链表结构，实现了 导纳矩阵与雅可比矩阵的同构存储以及导纳矩阵 元素到雅可比子阵的定位查询功能，并大幅度减少 了链表单元的个数。同时提出了有序节点关联信息 生成法。该方法能够建立包括注入元的每个下三角 链表单元的有序的关联节点信息。本文还将对波兰 2746、波兰 2383、IEEE 300、IEEE 118、IEEE 57 节点系统 5 个算例进行分析，以验证所提算法的有 效性。 88 颜伟等：潮流计算中的二层链表与有序节点关联信息生成法 Vol. 34 No. 11 1 兼顾导纳矩阵与分块雅可比矩阵存储的 下三角二层链表 1.1 节点分块雅可比矩阵 当以网络节点为单元重新构造雅可比矩阵时， 可形成由 2×2 阶子阵 ij ij ij ijij ij ij ij ij = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦或 H N J L H N A R S 构成的节点分块雅可比矩阵 A。其中 Hij、Nij、Jij、 Lij、Rij 和 Sij分别为第 i 节点有功功率、无功功率与 电压幅值对第 j 节点电压实部与虚部的偏导数。本 文将具有此结构的雅可比矩阵称为节点分块雅可 比矩阵，其中的子阵包括同一节点的电压实部和虚 部及功率方程所关联的 4 个雅可比矩阵元素。显然 节点导纳矩阵与节点分块雅可比矩阵的结构相同， 具有结构对称性。 1.2 十字链表和二叉单元链表 十字链表具有行和列的双向搜索能力，便于矩 阵非零元素的寻址、插入和删除，得到了普遍应用。 普通十字链表中的每个节点除了包含矩阵对应节 点元素的行号、列号以及元素值外，还包含与该节 点同行的下一个非零元素地址以及同列的下一个 非零元素地址。为了快速检索稀疏矩阵中所有元素 的数值，需要 3 个辅助地址数组分别存放行首非零 元素地址、列首非零元素地址以及对角元素地址， 以便快速定位到某行、某列或对角元素进行搜索[6]。 本文利用十字链表存储分块雅可比矩阵，并在其基 础上实现牛顿修正方程的高斯消元迭代。 二叉单元[16]链表是本文创建的附带定位指针 的一维行链表。普通行链表中的每个节点包含该行 节点非零元素的列号、元素值以及与该节点同行的 下一个非零元素地址。另外还有一个存放矩阵行首 非零元素地址的辅助指针数组，以使行链表具有行 方向的一维搜索能力。本文采用行链表来存储节点 导纳矩阵 Y 的非零元素。与普通行链表不同，本文 在链表的每个节点中还增加了一个定位指针，用于 指向与节点导纳矩阵元素相同位置的分块雅可比 子阵十字链表单元。 1.3 下三角二层链表 本文利用分块雅可比矩阵与节点导纳矩阵同 构且结构对称的特点，结合十字链表、二叉单元链 表以及辅助指针数组，创建了下三角二层链表，兼 顾了导纳矩阵与分块雅可比矩阵的同构存储以及 从节点导纳矩阵非零元素定位查询分块雅可比子 阵的功能。其中上层为十字链表层，负责存储节点 分块雅可比矩阵 A。由于 A 具有结构对称性，为此 我们将上下三角位置对称的 2 个分块子阵 Aij和 Aji 共同存储到下三角的一个存储单元内。这样下三角 十字链表中，每个非对角单元就负责存储 2 个子阵 8 个元素的值。下层为二叉单元链表层，由多组二 叉单元链表构成，负责存储节点导纳矩阵，由于节 点导纳矩阵的完全对称性，所以只需要存储下三角 非零元素。由于 A 与 Y 具有相同的结构，因此二叉 单元链表中每个节点的定位指针项可以将上下 2 层 的非零单元有机结合起来，实现从导纳矩阵非零元 素定位查询分块雅可比子阵的功能。图 1 为 4 节点 试验电网。图 2 为本文创建的下三角二层链表结构。 1 2 3 4 图 1 4 节点实验电网 Fig. 1 Testing power grid of four nodes Prow1 Prow2 Prow3 Prow4 P c ol 1 P c ol 2 P c ol 3 P c ol 4 A11 Y11 A21 A12 Y21 A41 A14 Y41 A22 Y22 A32 A23 Y32 A33 Y33 A43 A34 Y43 Y44 A44 图 2 下三角二层链表 Fig. 2 Lower triangular and two-layer linked list 第 34 卷 第 11 期 电 网 技 术 89 其中非零存储单元是以图 1 的拓扑信息来确定的。 由图 2 可见，本文 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 的下三角二层链表包括 2 个辅助指针数组 Pcol 和 Prow。式中：Pcol 是二维辅 助指针数组，第 1 列存储节点分块雅可比矩阵的行 首非零分块子阵地址，第 2 列存储节点导纳矩阵的 行首非零元素地址；Prow 是一维辅助指针数组，存 储节点分块雅可比矩阵列首非零元子阵地址(因为 是下三角阵，因此也是对角元素地址)。图中上层直 角方框单元对应十字链表节点，Aij表示节点分块雅 可比子阵。其中主对角单元只存一个主对角子阵 Aii，非主对角单元存储对称的 2 个子阵 Aij和 Aji。 下层椭圆框单元对应二叉单元链表节点，Yij 表示节 点导纳矩阵元素。每个存储 Yij 的二叉单元节点都 有定位指针(向上的街头)指向存储 Aij(也包括 Aji)的 十字链表单元。显然，下三角二层链表可减少雅可 比矩阵存储链表单元的开辟数量及开链、断链、插 入等操作的次数，相应大幅度提高雅可比矩阵链表 存储空间的操作效率。 1.4 二层链表的应用 雅可比矩阵的形成修正是牛顿潮流计算中的 重要步骤。修正操作通过节点导纳矩阵与雅可比矩 阵之间的数据交换完成的。当采用链表方式存储上 述 2 类矩阵后，在 2 类矩阵之间的数据查找操作比 较耗时，需要在链表单元之间反复的定位寻址。特 别是第一次迭代后，节点导纳矩阵与节点分块雅可 比矩阵不再同构，则相关操作更为耗时。二层链表 便为解决此问题而设计。下面首先介绍本文提出的 一种可提高雅可比矩阵修正速度的方法，然后介绍 如何利用二层链表对此方法进行修正操作。 牛顿修正方程的形成与修改主要包括雅可比 矩阵和节点不平衡功率的计算。其中涉及非零导纳 矩阵元素与对应节点电压的乘积计算，且雅可比矩 阵的非对角元素与对角元素以及节点不平衡功率 之间具有代数和的组合关系。利用这个特点，我们 首先计算雅可比矩阵的节点分块非对角子阵元素， 然后累加形成对角子阵元素，再进一步形成节点不 平衡功率，以此提高雅可比矩阵形成与修改的计算 效率。在此基础上，我们进一步利用本文下三角二 层链表结构，首先通过存储行首非零元素地址的辅 助数组，逐行提取每列的下三角导纳矩阵非零元素 及对应节点的电压，以实现对应单元的分块雅可比 子阵元素的计算。然后再通过导纳矩阵二叉单元定 位指针，定位查找分块雅可比子阵的十字链表存储 单元，以实现十字链表中分块雅可比矩阵元素的更 新，避免了消元过程中的注入元对雅可比矩阵结构 的影响。由此我们基于下三角二层链表，高效快速 地实现了牛顿修正方程的形成与修改。 2 基于半动态编号的有序节点关联信息生 成法 2.1 有序节点关联信息生成法 与普通十字链表类似，在创建下三角二层链表 存储空间时，若随机插入非零元单元，则每一个链 表单元的创建都必须通过横纵 2 个方向的循环寻 址、断链与合链操作才能完成，比较耗时。反之， 如果按照有序的节点关联信息，例如从首节点到末 节点的关联信息依次生成链表单元，则可省去大量 的寻址、断链与合链操作，进而大幅度提高链表空 间的开辟效率。 本文研究发现，利用半动态编号方法，不仅能 实现节点的优化编号，而且还能生成有序的节点关 联信息，从而大幅度提高链表空间的开辟效率。文 献[1]基于符号运算方法，对高斯消元过程与半动态 编号过程的一致性进行了详细比较分析，说明了半 动态编号产生的新支路就是高斯消元的注入元。这 样利用半动态编号产生的节点关联信息，不仅可以 顺序开辟节点分块雅可比矩阵的链表空间，而且还 能预先顺序开辟分块雅可比矩阵高斯消元的注入 元空间，从而避免了消元注入元插入的寻址、断链 与合链操作，提高了高斯消元的计算效率。 文献[1]详细介绍了基于电网节点关联信息的 半动态编号方法。下面以图 1 的 4 节点实验网络的 半动态编号过程为例，说明本文的下三角节点顺序 关联关系的依次生成法，具体如图 3 所示。 (a) 原始网络 (b) 消去 2 节点 (c) 消去 3 节点 (d) 消去 4 节点 (e) 消去 1 节点 1 1 3 2 1[1] 2(1) 3[1] 4[1] 1[1,2] 2(1) 3(2)[1] 4[2] 1[1,2,3] 4(3)[2] 3(2)[1] 2(1) 3(2)[1] 4(3)[2] 1(4)[1,2,3] 2(1) 图 3 4 节点电网的半动态编号过程 Fig. 3 Step of semi-dynamic numbering of the four buses network 90 颜伟等：潮流计算中的二层链表与有序节点关联信息生成法 Vol. 34 No. 11 图 3 中，图 3(a)为原始网络，图 3(b)~3(e)为消 元过程中的网络。子图中，没有括号的数值 1~4 为 节点的原始编号，圆括号“()”内的数值表示节点 的新编号，方括号“[]”内的数值表示节点所关联 的其它节点的新编号。若一个节点与其它多个已编 号节点关联，则方括号内有多个数值，每个数值之 间由逗号隔开。如图中的 1(4)[1,2,3]，表示原始编 号为 1 的节点其新编号为 4，该节点与其它的 3 个 节点关联，这 3 个节点的新编号分别是 1、2 和 3。 图中的虚线表示编号过程中消去的支路，实线为待 消去支路。 编号过程如下：第 1 步，选择节点 2 为第一个 被消去节点，使其新编号为 1，即产生 2(1)，对应 消去 2-1 与 2-3 支路，生成 1-3 支路，同时在其关 联的节点 1 与 3 旁 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 节点 2 的新编号 1，即 1[1] 和 3[1]。第 2 步，选择节点 3 使其新编号为 2，即 3(2)，消去 1-3 与 3-4 支路，同时在其关联的节点 1 与 4 旁记录节点 3 的新编号 2，即 1[1,2]和 4[2]。第 3，第 4 步类似。 根据半动态方法的上述编号、消元与关联节点 新编号的记录过程，可形成节点的新编号与其顺序 关联关系，具体如表 1 所示。其中：第 1 列是电网 节点的原始编号；第 2 列是原始节点的新编号；第 3 列是节点所关联的其它节点新编号。从表 1 可知， 节点所关联的多个节点的新编号次序是由小到大 顺序排列，这是由于半动态编号是由小到大依次产 生节点新编号的。 表 1 半动态编号后形成的信息 Tab. 1 Information after semi-dynamic numbering 原始编号 新编号 关联节点 1 4 1，2，3 2 1 — 3 2 1 4 3 2 根据表 1 的节点关联信息，可形成节点之间的 关联矩阵，具体如图 4 所示。图中：0 表示不关联 或无其直接信息；1 表示关联。从图 4 可以看出， 关联矩阵的非零单元都只在下三角 (含主对角 ) 部分。 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 注入元 图 4 节点之间的关联矩阵 Fig. 4 Incidence matrix of the buses 对比图 3 中原始电网与消元过程中的网络可发 现，半动态编号结束后，图 3(e)中增加了一条新支 路 1-3(其端节点新编号为 4-2)。这是在半动态编号 第 1 步消去 2-1 与 2-3 支路时产生的。因为该支路 的关联，使节点关联矩阵中产生了新的非零单元 (4,2)。这相当于在节点新编号关联矩阵基础上进行 符号高斯消元产生的注入元，在图 4 的对应位置 标示。 综上所述，本文通过动态记录半动态编号消去 支路时的关联节点信息，不仅可以依次产生节点关 联矩阵下三角非零单元的节点顺序关联关系，而且 还能预先产生对应高斯消元的注入元。相应根据节 点的顺序关联关系，可以依次开辟下三角二层链表 单元的内存空间，避免了常规方法的大量循环寻 址、合断链操作，提高了链表空间的开辟效率。由 于开辟的链表单元已包含高斯消元的注入元，因而 又可以提高牛顿修正方程组高斯消元计算的效率。 2.2 有序节点关联信息生成法的应用 有序节点关联信息生成法生成的是矩阵下三 角的关联信息。文献[17]指出，结构对称矩阵高斯 消元过程中，待消元矩阵仍然具有对称性。因此可 以通过关联信息生成下三角十字链表用于存储节 点分块雅可比矩阵，利用其消元过程中的结构对称 性进行计算。由于生成的有序关联信息已经包含了 消元过程中的注入元信息，因此整个消元过程不需 要进行注入元的插入操作，保持了矩阵建立时的结 构，提高了消元计算的效率。 3 仿真分析 3.1 仿真背景 计算机硬件配置为：P e n t i n m ( R ) 4 C P U 2.26 GHz，内存 512 M，操作系统 Windows XP，仿 真环境 VC 6.0。仿真算例采用波兰 2746、波兰 2383 实际算例与 IEEE 300、IEEE 118、IEEE 57 算例。 为了验证本文算法的有效性，我们构造了另外 一个潮流计算的对比方法，包括以下 5 个环节：1） 形成一维链表数组存储的节点导纳矩阵 Y；2）创建 形成完整雅可比矩阵的十字链表 A0；3）基于 A0结 构进行半动态编号；4）创建基于新编号的完全雅 可比矩阵十字链表 A1；5）基于 A1 进行高斯消元迭 代计算。相对而言，本文方法仅包括 3 个环节：1） 基于电网拓扑结构进行半动态编号；2）基于节点 新编号，创建存储节点分块雅可比矩阵和节点导纳 第 34 卷 第 11 期 电 网 技 术 91 矩阵的下三角二层链表 AY；3）基于 AY 的分块 高斯消元迭代计算。 3.2 2 种方法的潮流仿真总体计算效率比较 采用本文方法与对比方法对上述 5 个算例进行 了潮流仿真计算，算例收敛计算时间具体见表 2。 通过时间比(本文方法/对比方法)可以看出，5 个算 例中，本文方法的计算时间最多占对比方法的 31.097%，最少仅有 19.858%，显然本文方法的计算 效率有明显优势。 表 2 2 种方法的潮流计算收敛时间对比 Tab. 2 Time comparison of the two kinds of power flow calculation algorithm 算例 本文方法/s 对比方法/s 时间比 波兰 2746 0.255 80 0.822 60 0.310 97 波兰 2383 0.188 40 0.683 40 0.275 68 IEEE 300 0.013 48 0.060 84 0.221 57 IEEE 118 0.003 66 0.016 55 0.221 15 IEEE 57 0.001 40 0.007 05 0.198 58 3.3 2 种方法的内存空间分配效率对比分析 为了实现潮流计算，对比方法需要创建 3 个完 全矩阵 Y、A0 和 A1 的十字链表空间，而本文方法 仅需要创建一个下三角二层链表空间 AY。显然 2 者在链表单元的个数及其链表空间开辟时间方面 明显不同，另外链表的规模也不相同。表 3 给出了 5 个算例的相关结果。通过时间比可以看出，5 个 算例中，本文方法的链表空间开辟时间最多占对比 方法的 23.349%，最少仅有 19.079%。由此可见， 本文方法需要的链表空间开辟时间明显比对比方 法少。 表 3 2 种方法的内存空间操作时间对比 Tab. 3 Time comparison of the two kinds of memory operations 算例 本文方法/s 对比方法/s 时间比 波兰 2746 0.032 55 0.168 87 0.192 75 波兰 2383 0.028 45 0.130 22 0.218 48 IEEE 300 0.005 02 0.021 50 0.233 49 IEEE 118 0.001 82 0.008 69 0.209 44 IEEE 57 0.000 58 0.003 04 0.190 79 3.4 2 种方法的雅可比矩阵形成与修正效率对比 分析 为了实现雅可比矩阵的形成与修正计算，对比 方法需要以 Y 基础，通过节点的新旧编号关系，循 环查询十字链表 A1 中的对应单元；而本文方法中， 直接可以根据节点导纳矩阵二叉链表单元的定位 指针确定对应的节点分块雅可比子阵。显然两者的 查询计算效率明显不同。表 4 给出了 5 个算例的相 关结果。通过时间比可以看出，5 个算例中，本文 方法雅可比矩阵的形成与修正时间最多占对比方 法的 27.060%，最少仅有 11.009%。由此可见，本 文方法在雅可比矩阵的形成与修正方面计算效率 明显比对比方法高。 表 4 2 种方法的雅可比矩阵形成与修正时间对比 Tab. 4 Time comparison of the two kinds of Jacobi matrix formation & modification 算例 本文方法/s 对比方法/s 时间比 波兰 2746 0.040 55 0.149 85 0.270 60 波兰 2383 0.032 48 0.142 66 0.227 67 IEEE 300 0.001 96 0.008 86 0.221 22 IEEE 118 0.000 60 0.002 92 0.205 48 IEEE 57 0.000 12 0.001 09 0.110 09 3.5 2 种方法的牛顿线性方程组求解效率对比 这里综合比较 2 个方法的节点优化编号与牛顿 修正方程组的迭代求解效率。对比方法以 A0 为基础 进行编号，本文方法以 AY 为基础进行编号，其中 AY 的链表单元比 A0 少很多。对比方法以完全矩阵 的 A1 为基础进行高斯消元，第 1 次迭代时需要插入 注入元；本文方法以分块矩阵 AY 为基础进行高斯 消元，不仅无需插入注入元，而且一个子阵单元的 消元计算可以同时处理 A1 的 4 个雅可比矩阵元素。 由此导致两者在求解牛顿修正方程时的效率不一 样。表 5 给出了 5 个算例的相关结果，通过时间比 可以看出，5 个算例中，本文方法的求解时间最多 占对比方法的 33.398%，最少仅有 21.236%。由此 可见，本文方法的节点优化编号与牛顿修正方程组 的迭代求解效率明显比对比方法高。 表 5 2 种方法的牛顿修正方程的求解时间对比 Tab. 5 Time comparison of the two kinds of liner equations solving for Jacobian 算例 本文方法/s 对比方法/s 时间比 波兰 2746 0.162 60 0.486 86 0.333 98 波兰 2383 0.124 06 0.402 20 0.308 45 IEEE 300 0.005 98 0.028 16 0.212 36 IEEE 118 0.001 12 0.004 24 0.264 15 IEEE 57 0.000 68 0.002 46 0.276 42 4 结论 1）利用下三角二层链表可以快速地进行雅可 比矩阵的修正，并且减少所开辟的链表单元的数 量，提高链表空间的生成效率。 2）有序节点关联信息生成法可以生成有序的 节点关联信息，同时预先生成注入元信息，避免随 机链表空间开辟时的大量循环寻址、断链与合链 操作。 92 颜伟等：潮流计算中的二层链表与有序节点关联信息生成法 Vol. 34 No. 11 参考文献 [1] Tinney W，Walker J．Direct solutions of sparse network equations by optionally ordered triangular factorization[J]．Proceedings of the IEEE，1967，55(11)：1801-1809． [2] Davis T A，Gilbert J R，Larimore S I．A column approximate minimum degree ordering algorithm[J] ． ACM Transactions on Mathematical Software，2004，30(3)：353-376． [3] Krishna M，Sambarapu S，Halpin M．Sparse matrix techniques in power systems[C]//39th Southeastern Symposium on System Theory， Mercer University，2007：194-198． [4] 尤钟晓，金勇，李述茂．十字链表在电力系统潮流计算中的应用 [J]．电力自动化设备，1999，19(6)：31-33． You Zhongxiao，Jin Yong，Li Shumao．The application of orthogonal 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颜伟(1968)，男，教授，博士生导师，主要研 究方向为电力系统优化运行与控制，E-mail： cquyanwei@21cn.com； 黄正波(1983)，男，硕士研究生，主要研究方 向 为 电 力 系 统 优 化 运 行 与 控 制 ， E-mail ： huangzb1983@163.com； 颜伟 余娟(1980)，女，副教授，主要研究方向为电力系统无功优化、电 压稳定和风险评估，E-mail：dianlixi@cqu.edu.cn。 （责任编辑 王晔）