华中科技大学出版社—数值分析第四版—课后习题及答案

第四版 数值 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 习题答案 工程经济学课后答案小学生必背古诗文7综合教程3课后答案高中数学必修2答案高等数学同济课后答案 第一章 绪论习题参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 1． ε（lnx）≈ * * * ( ) ( )rx xx     。 2． 1* * * ** * ( )( ) ( )( ) 0.02 nn n r n n n x xx n xx nxx x        。 3． * 1x 有 5位有效数字， * 2x 有 2位有效数字， * 3x 有 4位有效数字， * 4x 有 5位有效 数字， * 5x 有 2位有效数字。 4． * * * * * * 4 3 3 3 1 2 4 1 2 4( ) ( ) ( ) ( ) 0.5 10 0.5 10 0.5 10 1.05 10x x x x x x                    * * * * * * * * * * * * 1 2 3 2 3 1 1 3 2 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 0.214790825x x x x x x x x x x x x       * * * * 62 2 2 4* * *2 4 4 4 1( ) ( ) ( ) 8.855668 10x xx xx x x       。 5． 3 3 32 3 1 3 1 ( ) 1( ) ( ) ( ) / ( ) 0.0033334 36 4 3 3r r r V V VR V VV V           。 6． 3 3 100 1 1 1( ) 100 10 10100 2 2Y        。 7． 1 28 783 55.982x    ， 2 1 128 783 0.0178655.98228 783x      。 8． 2 1 arc1 2N dx tgNx    9． 1 21( ) ( ) ( ) 0.0052x S S S      。 10． ( ) ( ) 0.1S g t t g t   ， 2 ( ) 2 ( ) 0.2( ) 1 2 r g t t tS t tgt      ，故 t 增加时 S的 绝对误差增加，相对误差减小。 11． 10 8 10 0 1( ) 10 ( ) 102y y    ，计算过程不稳定。 12． 6( 2 1) 0.005051f    ，如果令 2 1.4 ，则 61 ( 2 1) 0.004096f    ， 2 6 1 0.005233( 2 1)f   ， 33 (3 2 2) 0.008f    ， 4 3 1 0.005125(3 2 2)f   ， 5 99 70 2 1f    ， 4f 的结果最好。 13． (30) 4.094622f   ，开平方时用六位 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数表计算所得的误差为 41 102   ，分别代入等价公式 )1xx(ln)x(f),1xx(ln)x(f 2221  中 计 算 可 得 2 4 3 1 2 2 1( ) ln(1 ) ( 1) 60 10 3 1021 1 f x x x x x x                   ， 4 7 2 2 2 1 1( ) ln(1 ) 10 8.33 1060 21 1 f x x x x               。 14． 方程组的真解为 1 2 1000000000 9999999981.000000, 1.000000999999999 999999999x x    ， 而无论用方程一还是方程二代入消元均解得 1 21.00, 1.00x x  ，结果十分可 靠。 15． sin sin costan sin s b c a a c b ab c c a b cc c s ab c a b c               第二章 插值法习题参考答案 1.      10 1 0 )()()( nij ji n i in xxxxxV ；     10 1101 )(),,,( nij jinn xxxxxV  . 2. )12)(12( )1)(1(4)21)(11( )2)(1()3()21)(11( )2)(1(0)(2     xxxxxxxL 3 7 2 3 6 5 2  xx . 3. 线性插值：取 510826.0,693147.0,6.0,5.0 1010  yyxx ，则 620219.0)54.0()54.0(54.0ln 0 01 01 01   xxx yyyL ； 二次插值：取 510826.0,693147.0,916291.0,6.0,5.0,4.0 210210  yyyxxx ，则 )54.0(54.0ln 2L ))(( )54.0)(54.0( ))(( )54.0)(54.0( ))(( )54.0)(54.0( 1202 10 2 2101 20 1 2010 21 0 xxxx xxyxxxx xxyxxxx xxy     ＝－0.616707 . 4. ))()((2 1)()()( 1011 xxxxfxLxfxR   ，其中 ],[ 10 xx . 所以总误差界 |))((|max|)(sco|max2 1|)(| 101 1010 xxxxxxR xxxxxx   8 22 01 1006.118060 1 8 1 4 )(12 1     xx . 5. ))()(( ))()(()( 321202 310 2 xxxxxx xxxxxxxl   当 hxx  3 74 0 时，取得最大值 27 7710|)(|max 2 30   xl xxx . 6. i) 对 ),,1,0(,)( nkxxf k  在 nxxx ,,, 10  处进行 n次拉格朗日插值，则有 )()( xRxPx nnk  )())(()!1( 1)( 0)1( 0 n n n i k jj xxxxfnxxl      由于 0)()1(  nf ，故有 k n i k jj xxxl  0 )( . ii) 构造函数 ,)()( ktxxg  在 nxxx ,,, 10  处进行 n次拉格朗日插值，有    n i j k jn xltxxL 0 )()()( . 插值余项为     n j j n n k xxn gxLtx 0 )1( )()!1( )()()(  ， 由于 ).,,2,1(,0)()1( nkg n   故有 .)()()()( 0    n i j k jn k xltxxLtx 令 ,xt  即得   n i j k j xltx 0 0)()( . 7. 以 a, b两点为插值节点作 )(xf 的一次插值多项式 )()()()()(1 axab afbfafxL   ， 据余项定理， ],[),)()((2 1)()( 1 babxaxfxLxf   ， 由于 ,0)()(  bfaf 故 .|)(|max)(8 1|))((|max|)(|max2 1|)(||)()(| 21 xfabbxaxxfxfxLxf bxabxabxa   8. 截断误差 ].4,4[),)()((6 1)( 2102   xxxxxxexR 其中 ,, 1210 hxxhxx  则 hxx 3 3 1  时取得最大值 3 21044 39 2|))()((|max hxxxxxx x   . 由题意， ,10)39 2(6 1|)(| 6342  hexR 所以， .006.0h 9. ,22 1 nn ny   ,2)22()22( 1122 nnnnnny   则可得 .2)( 224 nnn yy  2/12/1 22   nnny ， 1112 2)22()22(   nnnnnny ，则可得 .2)( 2224  nnn yy  10. 数学归纳法证 当 1k 时， )()()( xfhxfxf  为 m－1次多项式； 假设 )0)(( mkxfk  是 m-k 次多项式，设为 )(xg ，则 )()()(1 xghxgxfk   为 m-(k+1)次多项式，得证。 11. 右 )()( 111 kkkkkk ffgggf     kkkk gfgf 11 左 12. ,11111210010 1 0     nnnnn k kk gfgfgfgfgfgfgf  .121221011 1 0 1 nnnnk n k k gfgfgfgfgfgffg       13.    1 0 2 n j jy )()()()()()( 1112230112   nnnn yyyyyyyyyyyy  0011 )()( yyyyyy nnn   . 14. 由于 nxxx ,,, 21  是 )(xf 的 n个互异的零点，所以 )())(()( 210 nxxxxxxaxf   ,)()()( 1 0 1 0    n ji i ij n i i xxxxaxxa 对 )(xf 求导得              n ji i n ji i iji xxxxxxaxf 0 1 0 ))()(()()( ， 则    n ji i ijj xxaxf 1 0 )()( ， . )( 1 )(1 1 1 0       n j n j n ji i ij k j j k j xx x axf x 记 ,)( k k xxg  则     .1,)!1( ,20,0)()1( nkn nkxg n 由以上两式得 ],,,[1 )( )(1 )( 2101 1 1 0 nk n j n j n ji i ij jk j k j xxxgaxx xg axf x             .1, ,20,0 )!1( )(1 1 0 )1( 0 nka nk n g a n k  15. i)      n j njjjjjj j n xxxxxxxx xFxxxF 0 110 10 )())(()( )(],,,[  ],,,[)())(()( )( 10 0 110 n n j njjjjjj j xxxfcxxxxxxxx xfc      . ii) 证明同上。 16. ;1!7 !7 !7 )(]2,,2,2[ )7( 710  ff  .0!7 )(]2,,2,2[ )8( 810  ff  17. ,0)()()(3  jjj xpxfxR .1,,0)()()(3   kkjxpxfxR jjj 即 1, kk xx 均为 )(3 xR 的二重零点。因而有形式： .)())(()( 2123  kk xxxxxKxR 作辅助函数 .)())(()()()( 2 1 2  kk xtxtxKtptft 则 .0)(,0)(,0)(,0)(,0)( 11   kkkk xxxxx  由罗尔定理，存在 ),,(),,( 121  kk xxxx  使得 .0)(,0)( 21   类似再用三次罗尔定理，存在 ),,(),( 121  kk xx 使得 ,0)()4(  又 ),(!4)()( )4()4( xKtft  可得 ,!4)()( )4( fxK  即 ).,(.,!4)())(()( 1 2 1 2)4( 3   kkkk xxxxxxfxR  18. 采用牛顿插值，作均差表： ix )( ixf 一阶均差 二阶均差 0 1 2 0 1 1 1 0 -1/2 ],,[))((],[)()()( 210101000 xxxfxxxxxxfxxxpxp  ))()()(( 210 xxxxxxBxA  )2)(1()()2/1)(1(0  xxxBxAxxx 又由 ,1)1(,0)0(  pp 得 ,4 1,4 3  BA 所以 .)3(4)( 2 2  xxxp 19. 记 ., khaxn abh k  则 ].,[,)()()( 1 1 1 1 1         ii ii i i ii i in xxxxx xxxfxx xxxfx 因为 ],[)( baCxf  ，所以 )(xf 在 ],[ ba 上一致连续。 当 Nn  时，   n abh ，此时有 |)()(|maxmax|)()(|max 110 xxfxxf nxxxninbxa ii                ii i i ii i ixxxni xx xxxfxx xxxfxf ii 1 1 1 1 10 )()()(maxmax 1 ii i i ii i ixxxni xx xxxfxfxx xxxfxf ii          1 1 1 1 10 )]()([)]()([maxmax 1 .maxmax 11 1 10 1         ii i ii i xxxni xx xx xx xx ii 由定义知当 n 时， )(xn 在 ],[ ba 上一致收敛于 )(xf 。 20. )(xI h 在每个小区间 ],[ 1kk xx 上表示为 ).(,)( 11 11 1       kkk kk k k kk k h xxxfxx xxfxx xxxI 计算各值的 C程序如下： #include"stdio.h" #include"math.h" float f(float x) { return(1/(1+x*x)); } float I(float x,float a,float b) { return((x-b)/(a-b)*f(a)+(x-a)/(b-a)*f(b)); } void main() { int i; float x[11],xc,xx; x[0]=-5; printf("x[0]=%f\n",x[0]); for(i=1;i<=10;i++) { x[i]=x[i-1]+1; printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]); } for(i=0;i<10;i++) { xc=(x[i]+x[i+1])/2; I(xc,x[i],x[i+1]); printf("I[%d]=%f\n",i+1,I(xc,x[i],x[i+1])); } for(i=0;i<10;i++) { xx=(x[i]+x[i+1])/2; f(xx); printf("f[%d]=%f\n",i+1,f(xx)); } } 21. )(xI h 在每个小区间 ],[ 1kk xx 上为 .)()( 112 1 1 2 1 1       kkkkk kk k k kk k h xxxxxxxx xxxxx xxxI .44 )(|)(||)()(||)(| 22 1 11 2 hxxxxxxxxxfxIxR kkkkkkh   22. ,4)( 3xxf  则 )(xI h 在每个小区间 ],[ 1kk xx 上表示为 .)(4)(4 2121)( 3 11 2 1 3 2 1 1 4 1 1 1 2 1 4 1 2 1 1                                         kk kk k kk kk k k kk k kk k k kk k kk k h xxxxx xxxxxxx xx xxx xx xx xxxxx xx xx xxxI !|4/)())((||)(| 212)4(  kk xxxxfxR  .16!4)2()2(!4 4 2 1 121 hxxxxxx kkkkkk   23. ,05.0121  xxh ,09.0232  xxh ,06.0343  xxh .08.0454  xxh 1 1    ii i i hh h          i ii i ii ii i h yy h yy hh 1 1 1 1 6 则三次样条插值函数表达式为 ))(6())(6()(6)(6)( 1 113 1 31      iii i i ii i i i i i i i i i i xxh m h yxxhmh yxxh mxxh mxS i) 由 6868.0)53.0(,0000.1)25.0(  SS ，得 5714.0,4.0,6429.0 321   276.0)1],[(6 100  xxf ， 43.2,264.3,3157.4 321   1692.0]),[6868.0(6 434  xxf 关于 43210 ,,,, mmmmm 的方程组为 24. i) 因为 ],,[)( 2 baCxf  所以 右＝    b a b a dxxSxfxSdxxSxf )]()()[(2)]()([ 2 dxxSxfxSxSxfb a })]()()[(2)]()({[ 2  dxxSxfb a ))()(( 22   ＝左。 ii) 由于 )(xS 为三次函数，故 )(xS  为常数，又 )()( ii xSxf  ，则 0)]()([1   dxxSxfiixx ，所以 dxxSxfxSxSxfxSdxxSxfxS n i x x b a i i     0 1 )]()()[()]()()[()]()()[( dxxSxfxSxSxfxSb a  ))]()()(())()()(([ )]()()[()]()()[( aSafaSbSbfbS  。 第三章 函数逼近与计算习题参考答案 1. (a) 区间变换公式为 '' ( ) , x ax b a x a x b a      ，代入原公式可得新区间里的伯 恩斯坦多项式为 0 ( , ) ( ( ) ) ( ), ( ) (1 ) n k k n k n k k n k k x aB f x f b a a P P x C x xn b a        ; (b) 2 3 2 1 3 2 3 2 3 2 6 3 2 8( , ) , ( , ) (1 ) (1 )x x x x xB f x x B f x           ，相应的麦克劳 林级数分别为 3 1 3 1( ) , ( ) 6P x x P x x x   ，部分和误差则为 3 1 1( ) 0.64596448R x   ， 5 3 1( ) 0.07969263840R x   ，大于伯恩斯坦多项式的误差。 2. ( )m f x M  ，故 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) n n n k k n k k k k km m P x f P x B f x M P x Mn          ， 当 ( )f x x 时， 1 1 ( 1) ( 1) 1 0 1 ( , ) (1 ) (1 ) n n k k n k k k n k n n n k k kB f x C x x x C x x xn                。 3. sin 4 0 1x   ，对任意不超过 6次的多项式 ( )g x ，在 (2 1) , 1, ,88 kx k   时， 若有 ( ) sin 4 1g x x  ，则 ( )g x 在 0,2 上至少有 7个零点，这与 ( )g x 不超过 6次矛盾，所以 ( ) sin 4 1g x x  ， ( ) 0g x  就是所求最佳一致逼近多项式。 4. 设所求为 ( )g x c ， ( , ) max( , ), max ( ), min ( )a x ba x bf g M c m c M f x m f x        ， 由 47页定理 4可知 ( )g x 在  ,a b 上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别 为 ( )f x 的最大值和最小值处，故由 1( ), ( )2M c m c c M m      可以解得 1( ) ( )2g x M m  即为所求。 5. 原函数与零的偏差极大值点分别为 3 , 13 ax x  ，故 33 3( ) ( ) 13 3 a aa a   ， 解方程可得出唯一解 3 4a  。 6. 1 2 0.636620a   ，故 2cos x  ，得 2 2 2arccos 0.880689, ( ) 0.771178x f x   ， 2 2 0 1 ( ) 0.1052572 2 f x xa a   ， 故 所 求 最 佳 一 次 逼 近 多 项 式 为 1( ) 0.636620 0.105257P x x  ，又因为两个偏差点必在区间端点，故误差限为 1 1 0 2 max sin ( ) (0) 0.105257 x x P x P     。 7. 1 1 1.71828a e   ，故由 2 1xe e  可以解得 2 0.541325x  ， 2( ) 1.71828f x  ， 则有 2 2 0 1 1 ( ) 0.8940672 2 f x xa a   ，故所求最佳一次逼近多项式为 1( ) 1.71828 0.894067P x x  。 8. 切比雪夫多项式在 1,1 上对零偏差最小，所求函数必为切比雪夫多项式的常 数倍， 2 2 1 1( ) ( )2 2p x T x x   ，解得唯一解 1 2r   。 9. 作变换 1 1 2 2x t  代入 ( )f x 得 4 3 21 5 3 11 9( ) 16 8 2 8 16g t t t t t     ，则 ( )g t 在  1,1 上 的 三 次 最 佳 逼 近 多 项 式 为 3 2 3 1 5 25 11 73( ) ( ) ( )128 8 16 8 128S t g t T t t t t      ，作逆变换 2 1t x  代入 )t(S ，则 ( )f x 在 0,1 上的三次最佳逼近多项式为 3 25 1 129( ) 5 4 4 128P x x x x    。 10. * 0 0( ) (2 1) 1T x T x   ， *1 1( ) (2 1) 2 1T x T x x    ， * 22 2( ) (2 1) 8 8 1T x T x x x     ， * 3 2 3 3( ) (2 1) 32 48 18 1T x T x x x x      ，其中  0,1x 。 11. * *1 1 1 2 2 20 0 1 ( ) ( ) (2 1) (2 1) 2 ( ) ( )1 2 1 n m n m n mT x T x T x T x T x T xdx dx dx x x x x x        ，故  *( )nT x 正 交。 12. 用 4 ( )T x 的 4个零点 2 1cos ( 1, 2,3, 4)8k kx k  做插值节点可求得三次近似最 佳逼近多项式为 2 3 3( ) 0.0524069 0.855066 0.0848212 0.0306032L x x x x     。 13. ( ) xf x e ，则有 ( )n xf x e ，其中  1,1x  。由拉格朗日插值的余项表达公式 可 得 出 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1)!2 ( 1)!2 n n n n n f x L x f e T x n n       ， 令 1 ,( 1)!2 ( 1)!2n nn n e e n n      ，则待证不等式成立，得证。 14. 由 泰 勒 级 数 项 数 节 约 ， 在  1,1 上 有 5,3 4 5 15 1 165 1( ) ( ) ( ) ( )384 8 3840 16x M x T x T x    ， 即 3 2 5,3 4 5 15 1 165 1 183 21 1993 1101( ) ( ) ( ) ( )384 8 3840 16 1024 128 4096 1096M x x T x T x x x x        其中误差限为 5,31 1 15 1 165 1 31max ( ) ( ) 0.00756836384 8 3840 16 4096x x M x        。 15. 3 51 1( ) sin 6 120f x x x x x    ，取 3 5 5 1 1( ) 6 120P x x x x   为 ( )f x 的近似， 误差限为 51 1 1max ( ) ( ) 0.0001984137!x f x P x      ，再对幂级数的项数进行节约就 可 以 得 到 原 函 数 的 3 次 逼 近 多 项 式 3 5,3 5 5 1 1 5 383( ) ( ) ( )120 16 32 384M x P x T x x     ， 其 误 差 限 为 5,31 1 1 1 1max ( ) ( ) 0.0007192467! 120 16x f x M x       ，即为所求 16. 当 ( )f x 为  ,a a 上的奇函数时，设 *( )nF x 为原函数的最佳逼近多项式，则 *( ) ( )n nF x f x E  ，对 *( )nF x  有 * *( ) ( ) ( ) ( )n n nF x f x F x f x E        ，所 以 *( )nF x  也是最佳逼近多项式，由最佳逼近多项式的唯一性， * *( ) ( )n nF x F x   ，即 *( )nF x  是奇函数。同理可证，当 ( )f x 为  ,a a 上的偶 函数时，最佳逼近多项式 *( )nF x 也是偶函数。 17.   3 22 2 220 sin 2 224 2 4 4ax b x dx a b ab a b             ，为使均方误差最小， 则有 3 2 2 2 0, 2 012 4 4a b a b          ，解得 3 2 96 24 8 24,a b      。 18. (a) ( , ) ( , ) '( ) '( ) b a f g g f f x g x dx   ， ( , ) ( , ) '( ) '( ) b a cf g c f g c f x g x dx   ，c为常 数 ， 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ' ( ) '( ) ' ( ) '( ) b b a a f f g f g f g f x g x dx f x g x dx      ， ( , ) 0f f  ， 但 当 ( )f x c 时 ， ( , ) 0f f  , 不 满 足 定 义 ， 所 以 ( , ) '( ) '( )b a f g f x g x dx  不构成内积。（b） ( , ) ( , )f g g f ， ( , ) ( , )cf g c f g ， 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )f f g f g f g   ， ( , ) 0f f  且当且仅当 ( ) 0f x  时 ( , ) 0f f  ，满 足定义，所以 ( , )f g 构成内积。 19. 11 161 1 1 2122 2 20 0 0 1 1( ) ( ) 0.1961161 (1 ) 26 x dx dx x dxx x      ， 61 1 6 0 0 1 1 1 x dx x dxx    ， 其中0 1  ，则 61 0 1 10.0714286 0.14285714 1 7 x dxx    ，由此可知用积分 中值定理估计比许瓦兹不等式估计更精确。 20. 1 2 2 2 1 2 2( ) 3 5x ax dx a    ， 0a  时最小。 1 2 1 x ax dx  在 1a  时，值为 2 2 1 3 3a a ， 1a  时，值为 1， 1a   时，值为 2 2 1 3 3a a  ， 1a  时最小。 21. 要使 1 2 2 0 ( )x ax b dx  最小，由拉格朗日乘子法可解得 11, 6a b   ，误差为 180 1 ，要使 1 2 100 101 2 0 ( )x ax bx dx  最小，由拉格朗日乘子法可解得 2009799 2009294,5356 5356a b   ，误差为 164063.0 ，前者误差小。 22. 1 上均为偶函数， x 也为偶函数，则 1 2 4 2 0 ( )x a bx cx dx   最小，由拉格朗 日 乘 子 法 可 解 得 15 105 950.1171875, 1.640625, 0.8203125128 64 128a b c        。 23.     1 1 2 sin ( 2)arccos sin arccos( ) ( ) 2 ( ) 1n n n n x n xu x u x xu x x      ，和差化积得 证。 24. 由积分区间的对称性及勒让德多项式的奇偶性可知 1 0 1 1( , ) sin 02f P xdx  ， 1 2 2 1 3 1 1( , ) ( ) sin 02 2 2f P x xdx   ，将原函数在此积分区间上按勒让德多项式 三次展开就可以求得 1 1 1 1 1 1( , ) sin 8sin 4cos 0.3250742 2 2f P x xdx    ， 1 3 3 1 5 3 1 1 1( , ) ( ) sin 236cos 432sin 0.002348072 2 2 2 2f P x x xdx      ，代入可 得 * 3 3 1 3( ) 0.487611 ( ) 0.00821825 ( ) 0.499938 0.0205456S x P x P x x x    ，均方误 差 为 1 21 2 2 2 4 1 32 1 1 3 7sin ( , ) ( , ) 2.4487 102 2 2n xdx f P f P           。 25. * * 0 1 1( ) ( )2 k kk f x C C T x     ，其中 1* 21 0 ( ) ( )2 2 cos 1 k k f x T xC dx k d x       。 26. 10 10654 542.8 0a ba      ， 10654 14748998 738643.0 0a bb      ，解方 程得 4.00955, 0.0471846a b  ，均方误差 13.0346  。 27. 经验公式为 2s at bt  ，最小二乘法解得 2.31346, 10.65759a b  ，运动方程 为 65759.1031346t.2s 2  。 28. 经验公式为 /( )y t at b  ，最小二乘法解得 0.160744, 3.17914a b  ，浓度与 时间的函数关系为 17914.3160744t.0/ty  。 29. 输入初始节点 m10 x,,x,x  ，权函数 0)x(  及正交多项式次数 n。 1)x(P,0k k  ，计算 )x(P,, 1kk1k   。 判断 nk  计算 * 1k1kk1k ),x(P,,   。 是    n 0k k * k )x(P)x(F  否 令 1kk  30. 输入初始数组 }x{ k ，等分点数 p2N  。 1q  ，计算 1)2/N(,,1,0m,m   。 判断 )mod2(0q  计 算 )jk2(A q2  ， )2jk2(A 1qq2  ， 12,,1,0k qp   ， 12,,1,0j 1q   。 计 算 )jk2(A q1  ， )2jk2(A 1qq1  ， 12,,1,0k qp   ， 1q2,,1,0j   。 令 1qq  否 是 判断 pq  判断 )mod2(0q  1N,,1,0j),j(AC 2j   1N,,1,0j),j(AC 1j   否 是 否 是 31. 7 0 exp( )4k jj C x i kj   ， 0 1 2 32 2 2 21, , ,2 2 2 2i i i          ， 0 16C  ， 1 4 2 2C   ， 2 0C  ， 3 4 2 2C   ， 4 0C  ， 5 4 2 2C   ， 6 0C  ， 7 4 2 2C   。 第四章 数值积分与数值微分习题参考答案 1. 1) 公式可对 2,,1)( xxxf  均准确成立，即          3 1 2 1 2 11 101 3 2 0 2 hAhAh hAhA hAAA 解得 hAhAA 3 4,3 011  ，具有 3次代数精度。 2) hAhAA 3 4,3 8 011  ，具有 3次代数精度。 3) ,62660.0,28990.0 21  xx 或 .12660.0,68990.0 21  xx 具有 2次代数精度。 4) 12 1 ，具有 3次代数精度。 2. 1) )]1())8 7()8 6()8 5()8 4()8 3()8 2()8 1((2)0([82 1 8 fffffffffT  ＝ ]2.0)1836.1644.001176.0906.00615.00311.0(20[16 1  ＝0.1114 )]1())4 3()4 2()4 1((2))8 7()8 5()8 3()8 1((4)0([46 1 4 fffffffffS  ]2.0)1644.01176.00615.0(2)1836.01423.00906.00311.0(40[24 1  ＝0.1116 2) 3915.110 T 4547.15 S 3) 2277.174 T 3222.172 S 4) 0356.16 T 0358.13 S 3. 柯特斯公式为 )](7)(32)(12)(32)(7[90 43210 xfxfxfxfxf abC  . 其中 4 , abhkhaxk  . 验证对于 5432 ,,,,,1)( xxxxxxf  ，   b a Cdxxf )( 均成立，但 6)( xxf  时不成立。 4. )4(6 1 12/10   eeeS ＝0.63233 )()2(180 )4(4 fababRS  ， 所以 00035.0)2 1(180 1)()2 1(180 1|| 44  eRS 。 5. 1) 此差值型求积公式的余项为   ba dxaxfR ))(( 由于 ax  在 ],[ ba 上恒为正，故在 ],[ ba 上存在一点，使 .)(2 )()()( 2abfdxaxfR b a    所以有 2)(2 )()()()( abfafabdxxfb a   。 2)   ba dxbxfR ))(( .)(2 )()()( 2abfdxbxf b a    3)   b a dxbaxfR 2)2(2 )(   ba dxbaxf 2)2(2 )( .)(24 )( 3abf   6. 梯形公式和辛甫森公式的余项分别为 )(12 2 fhabRr  )()2(180 )4(4 fhabRS  其中 n abhba  ],,[ ， 所以当 n 时， 0,0  Sr RR ，即两公式均收敛到积分 dxxf b a )( ，且分别为 二阶和四阶收敛。 7. 设将积分区间分成 n等分则应有      Mn abfn ababR 2 32 12 )()(12|| 其中 |)(|max xfM bxa   ， 解得 12 )( 3Mabn  。 8. 首先算出 8421 ,,, TTTT ，然后逐次应用 3个加速公式 2,1,0,3 1 3 4 222 1   kTTS kkk 1,0,15 1 15 16 222 1   kSSC kkk 1,0,63 1 63 64 222 1   kCCR kkk 计算结果如下表 k kT2 kS2 kC2 kR2 0 1 2 3 0.68394 0.64524 0.63541 0.63294 0.63234 0.63213 0.63212 0.63213 0.63212 0.63212 所以，积分 71327.063212.02  I 。 9. 5.77822/)2(  hHRa ， 5.9722/)(  hHc ， 所以   20 22 sin)(14   da caS   20 2sin01561.015.77824   d ＝4×7782.5×1.56529 ＝48728 （可任选一种数值积分 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，如柯特斯公式）。 10. 由泰勒展开式  !5!3sin 53 xxxx 有  4 5 2 3 !5!3sin nnnn  由于   nnn sinlim ，用外推算法，令 hhhT sin 1)(  ，则 ,59808.2)3 1( T ,3)6 1( T ,10583.3)12 1( T 13397.3)3 1(3 1)6 1(3 4)3 1(1  TTT ， 14111.3)6 1(3 1)12 1(3 4)6 1(1  TTT ， 14159.3)3 1(15 1)6 1(15 16)3 1( 112  TTT ， 即的近似值为 3.14159。 11. dyyI  3 1 1 1) 计算结果如下表 k kT2 kS2 kC2 kR2 0 1 2 3 1.33333 1.16667 1.11667 1.10321 1.11112 1.10000 1.09872 1.09926 1.09863 1.09862 即积分 I＝1.09862。 2) dttdyy    1 1 3 1 2 11 ，令 2 1)(  ttf 三点高斯公式 09804.1)5 15(9 5)0(9 8)5 15(9 5  fffI 五点高斯公式 )90618.0(23693.0 )53847.0(47863.0)0(56889.0)53847.0(47863.0)90618.0(23693.0 f ffffI   ＝1.09862。 3) dyyI  3 1 1 dyydyydyydyy   3 5.2 5.2 2 2 5.1 3 1 1111 )75.225.0 1 25.225.0 1 75.125.0 1 25.125.0 1(4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 dttdttdttdtt    对每个积分用高斯公式 )3 3()3 3()(1 1 ffdxxf  ，得 I＝1.09854。 此积分精确值为 09861.13ln  。 12. 三点公式： 247.0)]2.1()1.1(4)0.1(3[1.02 1)0.1(  ffff 217.0)]2.1()0.1([1.02 1)1.1(  fff 189.0)]3.1()1.1([1.02 1)2.1(  fff 。 3)1(2)(  xxf ， 4)1(6)(  xxf ， 5)1(24)(  xxf )0.1(f  的误差 35 22 1 1055.1)2.11(243 1.0)(3||   fhR )1.1(f  的误差 45 22 2 108.7)2.11(246 1.0)(6||   fhR )2.1(f  的误差 43 102.6|| R 。 五点公式： 2483.0)]4.1(3)3.1(16)2.1(36)1.1(48)0.1(25[1.012 1)0.1(  ffffff 2163.0)]4.1()3.1(6)2.1(18)1.1(10)0.1(3[1.012 1)1.1(  ffffff 1883.0)]4.1()3.1(8)1.1(8)0.1([1.012 1)2.1(  fffff 。 误差分别为 3 1 107.1 R ， 4 2 104.3 R ， 4 3 107.4 R 。 第五章 常微分方程数值解法习题参考答案 1．尤拉法表达式 2 1 ( 1)( ) 2n n n n ny y h ax b ah nbh      ，误差 2 2 n ah ，改进尤拉 法表达式   2 21 ( , ) ( , ( , ))2 2n n n n n n n n h ny y f x y f x h y hf x y ah nbh        ，无误 差。 2． 近似解 准确解 近似解 准确解 0.1 1.11 1.11034 0.6 2.04086 2.04424 0.2 1.24205 1.24281 0.7 2.32315 2.32751 0.3 1.39847 1.39972 0.8 2.64558 2.65108 0.4 1.58181 1.58365 0.9 3.01237 3.01921 0.5 1.79490 1.79