高等数学（上下）习题

nullnull高等数学 重庆交通学院 （习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 课上、下）冯春null习题课（一）习题课（二）1、多元函数微分法及其应用2、重积分3、曲线积分 曲面积分4、无穷级数5、微分方程综合练习题详细讲解内容：目 录null习题课（一）一、 ， ， 是同一函数的原函数吗？习题 : 1．求极限 null解： 由夹逼定理 2．已知函数 存在，求： 原式=3. 求null设y = ln(1+x) , △x=0.02 , 求dy的值 dy = dx = = 0.01 有理函数的分解： （1） 将分母进行因式分解 Q(x) = 为质因式 （2）分解成简单分式之和 简单分式： 个数： 分子次数恰好比分母次数少一次 null四种类型简单分式： 例： 1) 2) null3) 4) 四种简单分式的积分：( k ≠ 1 )null∵∴视具体情况而定有理函数分解的技巧：例：（1）令 x = tant原式null（2） （3） （4） null原式 =二、三角函数有理式的积分 令用万能公式 null习题课（二）多元函数微分学重点： 1、 2、 null梯度的方向是 的方向 P44 11、 求 令 得： 练习一 一、是非判断题 1、 若函数 在点 处可微，则 在 处沿任何方向的方； null2、若 在D同存在二阶偏导数则在D内必有 向导数必有在 3、 已知 F是任意可微函数，则 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ： 1、可微 可导 有偏导数； 2、相等的条件是连续； 3、 二、选择题 1、 A、1 B、0 C、 D、不存在 D2、设 在点 处存在偏导数， 则 =___A、0 B、 C、 D、 D null3、设 ，则： =__A、 B、 C、-1 D、1 D 分析： 1、 2、 三、计算 1、设 有连续的一阶偏导数，又函数分别由下列两式确定： ，求 2、设 ，其中 由方程： 确定，求 3、设 ，求 null4、求函数 在点 A(1,0,1)处沿点 A指向点B(3,-2,2)的方向导数。 5、在椭圆 上求一点， 使其到直线 的距离最短。 6、求曲面 平行于平面 的切平面方程。 1、 2、 null3、令 ∴ ， 4、 5、目标函数 约束条件： 构造 目标函数+ 约束条件 6、 练习 一 1: 若z= ,则 2: 若u=xyz,则Pradu(0,2,2)= 3: 若z= ,其中 可导,则 4: 点(0,0)是二元函数z= 的 (多选) A 连续点 B 间断点 C 驻点 D 极大点 E 极小点 5: 若f(x+y,xy)=1/x+1/y,则 6:设z= ,其中f可导,则 7:已知z= ,u= ,v= ,求dz 8:M(x,y,z)为空间中一点,求原点到M的距离沿向径 方向的方向导数 9:已知 ,求 null 10: 若f(x)可微且f(0)=0,而D (t>0)求 11: 练习 二 1: 设 ,求 在点(2,2) 2: 设u(x,y)= (y>0) ,试求n使得 3: 求z= 在闭区域 内的最大(小)值 4: 改变积分顺序 5: 若D= 则 6: 有光滑曲线L所围成的区域D的面积可以 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为 7: 设 则 对错 null 8: 若f(x,y)在有界闭区域D上连续,且f(x,y)<0,则二重积分 在几何上表示的曲面z=f(x,y)为顶,平面区域D为底的曲顶柱体体积.对错 9: 化为极坐标系下的二次积分 10: 求 以表示的曲面的面积 11: P318,3 P349,6 12: 若 在x=e处收敛.问在x=2.x= 处是否收敛 练习三 1: 设 则 2: 函数 在(1,1,0)点的梯度与向量 ={1,-1,3}垂直,则a= 3: 设u=f(xz,x+y)有二阶连续偏导数,则 4: 若u=xyz, ,则 5: 6:改变积分顺序 null 第八章 多元函数微分法及其应用 1: 定义域的求法及表示 2: 多元函数的极限 A: 求法:利用一元函数的重要极限公式以及一些初等变换运算,如根式有理化等 一 多元函数的基本概念. 练习: 求 1) 2) B: 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 多元函数极限不存在的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 二重极限 存在，得出极限不存在 例： 3：多元函数的连续性： 注意：连续性与一元多元的关系 二：偏导数： 1：概念： 设f(x,y)= 0 求证：f(x,y)在点（0，0）处不连续 null 2: 偏导数的几何意义 P16 3: 偏导数求法 1）多元复合函数的求导法则。四种情况。 注意：抽象复合函数情况 2）隐函数的求导公式 练习：1）设f(x+y,x-y)=2x( )求 2）设u(x,y)为二元可微函数，已知 则：u(x,y)= 3)设u(x,y)具有二阶连续偏导数，且 ， 其中a,b为函数。则函数 F(t)=u(t,t)的二阶导数 = 4：求全微分dz 如：设 ，其中f(u,v)具有连续偏导，求dz 5:求方向导数的梯度。P57 注意：最大方向导数求法？ null 7: 求 8: 线密度为p=x的光滑曲线弧L对y轴的转动惯量为 9: 若 为球面 的下半部分下侧, 为 在xoy面上的投影区域,则 对错 10: 若 为圆柱体 ,的整个表面外侧, 求 11: 设L是以A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)为顶点的四边形正向边界,则 12: f(x)以4为周期,f(x)= x-1 x+1 则f(x)的傅立叶级数在x=5,x=4分别收敛于 练习 四 1: 见练习三.11 2: 求 其中L为 上从点A(-1,0)到B(1,0)的上半园弧 3: 设 为曲面 被平面z=0,z=3所截部分外侧,求 null 4: 若L是上半椭圆x=acost,y=b取顺时针方向求 5:设L为 + =1,则在下述曲线积分中,积分值是零的为 A: B: C: D: E: 6:曲线积分 在整个xoy平面内与路径无关 7:若 为球面 + + = 的外侧,则 其中Dxy={(x,y) + = } 10:球面 + + =14在点(1,2,3,)处的切平面方程 练习五 1: 若 为 外侧,则 2: 设L为从点(1,1)到点(4,2)的直线段,求 3: 设 求u(x,y) 4: 求 ,其中 为平x/2+y/3+z/4=1在第一卦限部分 5: 设z=xf(y/x)+(x-1)ylnx,其中f是任意二次可微函数,求证 : 6: 若 . 则 A 条件收敛 B绝对收敛 C发散 D敛散性不定 7: 当x= 时,级数 条件收敛 A 2 B 0 C -2 D-1 8: 若a>0,b>0.级数 的收敛半径R= A.a B.b Cmax{a,b} D min{a,b}null 9: 下列级数中,收敛的有 10:若 收敛,则 11: 将f(x)=1/(5+2x)展开成x+1的幂级数 12: P44.7.11null 第九章 重积分 一：二重积分 1：定义与性质。 注意：定义的实际意义 薄片的质量=密度*面积 2：计算方法------化为二次积分 （一）直角坐标：涉及“积分顺序” 不同定积分顺序的方法： 例题：改换积分顺序P104,5,6 1) 2) 3) (二）极坐标： 1）只有一些积分顺序。先r后 2）当被积分函数或积分区域中含有 时 3）注意：rdr 例：化为极坐标 1）： 2）null 3：应用 1）平面薄片的质量M= P104.7 2)求立体的体积： 顶：作被积函数 底：Dxy 作积分区域 V= P104.8,910. P112.7.8 3)曲面的面积：设 ：z=f(x,y) 则 A= 例：均匀分布的上半球面 ： z= 求该上半球面 的质量 4）平面薄片的重心，转动惯量 公式计算 P126,124 二：三重积分 1：定义域性质 2：计算方法----化为三次积分 （一）直角坐标： 1）在xoy平面的投影区域 2）z确定方法：用一条平行于z轴的直线由下向上穿过 3）dv=dxdydz null (二）极坐标： 1 dv= 2）注意积分顺序 （三）球坐标： 1）dv= 2)注意：积分顺序 3）r的确定方法 注意：区别柱坐标和极坐标中的r 例：1。计算 其中 z =-1 围成 2。 其中 所围成 3：应用 （一）立体的体积 （二）物体的质量，重心，转动惯量 P138 例：设一曲面壳 上任一点M(x,y,z)处的面密度（x,y,z）求 关于xoy面的转动惯量 null 第十章 曲线积分 曲面积分 曲线积分 1：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） 第二类曲线积分 （对坐标的曲线积分） 1）定义 2）性质 3）二者之间的区别联系 注意：两类曲线积分定义的实际意义 1）曲线形构件的质量：P154.M= 2)变力沿曲线所作的功：P162 则 2：第一类曲线积分的计算方法：-----化为定积分 L: A: x=g(t) y=h(t) B: y=y(x) C: x=x(y) = null 注意：1）下限一定小于上限 2）圆的方程一般是用参数方程 例：计算 L: y=x,x轴在第一象限内所围扇形的整个边界 3：第二类曲线积分的计算方法-----化为定积分 注意：积分限由起点到终点，不论大小 例; 1.计算 其中L 1)y= 上从（0，0）到B(1,1) 的一段弧 2)x= 3)有向折线OAB: A(1,0),B(0,1) 2,设有一质量为M的质点受重力作用在铅直平面上沿某一光滑曲线弧从点A移动到点B，求重力所作的功 4：格林公式：P172 条件：特别注意条件是否满足P184,3 结论：null 应用： （一）求闭区域面积 （二）求第二类曲线积分（注意：封闭曲线 （三）曲线积分与路径无关的条件 因子简化曲线积分的计算 P184,5.(3).(4) (四）二元函数全微分求积 。 P179 例:设 ： + = 逆时针方向，计算 1/ （a,b,m,n常数） 曲面积分 1:第一类曲面积分（对面积积分曲面积分），第二类（对坐标）曲面积分 一：定义 二：性质 三：两者之间的区分与联系 2：计算方法——化为二重积分 A: null B: 考虑侧的方向 注意：对第二类曲面积分 尽量用高斯公式计算 3：高斯公式 条件： 封闭+P,Q,R在 的一阶连续偏导 是 的外侧 特征： 注意：一： 封闭 二： 是 的外侧 例 其中f(u)具有连续导数 :z= z= Z= 所围成立体表面外侧，求：I 4：用曲面积分表示通量的方法与计算 P212 设矢量A（x,y,z)=P(x,y,z) +Q +R 则 表示通过 指向侧的通量null例：设 是 z=1所围成立体表面外侧，用曲面积分表示矢量 = 穿 指定侧的通量，并计算通量 例：P203 4null 第 十一章 无穷级数 一：数项级数 1：收敛的定义及性质 2：正项级数的三种判定方法 1）比较判别法--------极限形式 2）比值判别法 3）根植判别法 注意：1）比较判别法的极限形式 2）比较尺度： 等比级数 P-----级数 调和级数 3）比值判别法的特殊应用 P248 P259 例4 3：交错级数的某部后的判别法 4：数项级数的绝对收敛与条件收敛的有关结论及判定方法null 例1 判定 的敛散性,若收敛是条件收敛还是绝对收敛 例2 当常数p满足什末条件时， 条件收敛 例3 ： P253 1.(5) 二：幂级数 1：幂级数收敛区间的求法 1）求R 标准 缺项 写 2）讨论 的收敛性 2：关于和函数 1）性质 2）应用：如求 的和 3）求法：利用已知幂级数的原函数 3：函数f(x)展开成幂级数 1）f(x)展开成 的幂级数 （泰勒级数） 2）f(x)展开成x的幂级数 （麦克劳林级数）null 注意： 1）熟记 ，sinx ,cosx, ln(1+x),1/(1-x) 的幂级数展开式 2）注意展开式成立的条件 3）采用：间接展开法 练习： 1：求下列幂级数的收敛区间 1） 2） 3） 2：求下列幂级数在其收敛区间内的和函数 1） 2） 3） 4） 3：求数项级数 的和 4：将下列函数展开成x的幂级数 1） 2） 3） 4) y=arctgx 5: 将 展开成x-1的幂级数 null 三：傅立叶级数 1：f(x)展开成傅立叶级数的条件 P297 周期为 的函数不一定可以展开成傅立叶级数 2：在间断点处，傅立叶级数收敛于 计算该值时，注意f(x)的周期性的应用 P300 例：1）设f(x)= x 0 ,则其以 为周期的傅立叶级数，在 处收敛于 2）设f(x)为周期为2，且f(x)= 2 则f(x)的以2为周期的傅立叶级数在x=1处收敛于 3：将f(x)展开成正弦级数，余弦级数的条件及方法null 第十二章 微分方程 一 ：一阶微分方程 1：可分离变量 dy/dx=f(x)g(y) 2: 齐次方程 dy/dx=p(y/x) 3: 一阶线性 dy/dx+P(x)y=Q(x) y= Or: dx/dy+P(y)x=Q(y) x= 4: 伯努力方程：dy/dx+P(x)y=Q(x) 5: 全微分方程：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 当 时，u(x,y)= 例1：求曲线方程，这曲线通过原点，且它在点(x,y)处的切线的斜率等于2x+y 例2：设曲线积分 在右半平面内与路径无关，其中f(x)可导，且f(1)=1,求f(x)null二：二阶微分方程 1： 令 则 2： 令 则 3：二阶常系数齐次线性： 4：二阶常系数非齐次线性： 例1：求下列方程的特解 1） 2） 3） 例2：设函数h(x)连续，且满足 求h(x)