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闭轨线的存在性
07302010049 童瑞峰
一，引言
打个比方，将系统的轨线比作卫星的轨迹，那么，不稳定的情形即是卫星脱离轨道远离地球；渐进稳定即是卫星回收至地面；稳定则恰好是卫星绕着轨道运行。常识告诉我们，对于前两种情形，倘若给予微小的扰动并不会改变其最终的结果，即远离轨道的仍将远离轨道(实质上是
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近似系统的特征值大于0的，一次近似系统不稳定不一定保证原系统也不稳定，此处不予以追究)，回到地面的最终也将回到地面，但是稳定的情形却很特殊，因为给予其微小的扰动可能会造成很大的变化。
用数学语言描述就是下面的系统：
特别的当a=d=0,b=-1,c=1时，系统的一次近似系统的奇点恰好是中心，(x,y)、(x,y)是对系统微小的扰动。上述的比喻实质上与一次近似系统的定理是一致的，接下来我们要讨论的就是一次近似系统的奇点是中心的这一特殊情形，当然这种情形的特殊性不仅
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现在闭轨线方面，在稳定性方面也有着显著的体现。
二，分界直线思想
考虑到Bendixson判别法以及Dulac函数法在判别是否存在闭轨线时并不能起到很实质性的作用，而且很多情况下我们求得的D(x,y)=(kx+by)H(x,y)的情形，其中H(x,y)是定号的，这种情形无法判断是否有闭轨线经过kx+by=0，并且我们无法找到合适的Dulac函数解决，此时不妨进行定性的分析得到结果。
我们先引入某一类直线的定义，不妨称其为分界直线，即与系统的轨线不相交、不相切的直线，引入此类直线正是针对上述kx+by=0这一情形的，倘若kx+by=0恰为系统的分界直线，那么也就知道了无经过kx+by=0的闭轨线了。实质上，分界直线也有可能是系统的某一条轨线，由于轨线不相交的性质，所以此时分界直线恰好将系统的所有轨线分割为两部分。参考前人的著作，总结后可以归纳得到，分界直线往往有下面几种：
（1） 系统的积分曲线；
（2） 系统在鞍点的切线；
（3） 经过结点且与特殊方向相切的直线；
（4） P(x,y)的垂直渐近线以及Q(x,y)水平渐近线；
（5） 其他分界直线。
不妨看下面的例子：
例1
显然，x=0是该系统的一条分界直线，因为当x=0时，y就成为一个与x无关的一元方程。那么我们不妨取Dulac函数为
B(x,y)=x，
这时
D(x,y)=2xy+x-2xy=x,
利用Dulac函数法知道，x>0以及x<0的区域内没有完整的闭轨线，又x=0是该系统的分界直线，故无轨线相交于该直线，那么全平面也就没有闭轨线。
三，分析思想
至此，我们简单的讨论了利用系统的特殊的直线弥补Bendixson判别法的缺点，但是很多情况下并不是很容易找到分界直线。考虑到Lyapunov方法与Dulac函数法有相似之处，我们可以通过Lyapunov函数的构造方法构造出适当的函数，进而判断是否存在闭轨线，实际上书本中的定理5.3.4已经明确的交代了：
若对于区域S
，存在函数F(x,y)
保持常号，并且集合
不包含系统的非奇点的整条轨线，那么，系统不存在全部位于区域S中的闭轨线。
容易看出该定理与Lyapunov直接方法判断稳定性在形式上几乎一致，所以我们也可以考虑用Lyapunov函数判断系统是否存在闭轨线。
然而上面的技巧性还是很强，对于更一般的系统也是很困难的，下面我们通过一个例子表明，结合各定理、结论，通过分析也可以判断闭轨线是否存在。
本例是书本中181页的第8道习题：
证明：当参数mn
.
解：首先考虑系统的一次近似系统，容易知道是奇点为中心的、有无数条闭轨线的系统，然而由于稳定系统易受干扰，近似系统受到微小的扰动后闭轨线都不存在了（此处是特别针对该系统说的，并不对所有稳定系统成立）。
利用Bendixson判别法可以算得D(x,y)=my，由条件知道m闭轨线的，此时我们遇到与前一个例子相似的地方，然而y=0显然不是系统的分界直线，按照一般的做题步骤我们到这里就会放弃另寻其他方法，但是我们不妨继续分析下去。将y=0带入系统，可以解得x=0或x=-，也就是说在y=0这条直线上轨线通过了(-,0)以及(0,0)这两点，倘若我们可以分析出不存在通过这两点的闭轨线不就解决问题了么？
不妨设a>0，将平面系统分成三块，x<-的区域中，=x+a>0，也就是在这块区域里轨线的走向始终是向上的；同样的，在-
0的区域中是向上的，在图中用箭头标出，我们不考虑在水平方向上轨线是怎么变化的（当然也不考虑画出的轨线是否正确），由于系统是连续的，所以轨线也是连续的，那么我们不妨根据垂直方向的箭头以及经过(-)和(0,0)这些条件画出一条闭轨线。当然图中不是没有画，而是根本画不出来，实际上要让一个环通过水平线上同高度的两个点，在垂直方向上必须要有向上及向下的投影，也就是说，对于本系统，三块区域中垂直方向的走向决定了没有经过y=0的闭轨线。
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不过以上的讨论我们还漏了一种情形，就是与(-,0)或(0,0)相切的情形。相仿的，我们分别令x=0和x=-，带入系统可以解出相应的y，经过简单的计算就可以知道，无论是与哪个点相切的闭轨线，其内部都不包含系统的奇点，这与闭轨线内部必有系统的奇点这一性质矛盾。
以上的讨论都是针对闭轨线不存在的情形产生的，对于一个系统，我们无法知道到底存不存在闭轨线，不过可以通过环域定理以及Bendixson判别法做一个初步的估计，判断出系统最有可能的是哪一种情况，当然这里掺入了主观的判断，不过一定的猜测也是需要的。
例2 试判断平面系统
是否存在极限环？
这里的问题不是让我们证明系统有无闭轨线，而是完全让我们自己判断，我们不妨先用环域定理和Bendixson判断法做初步的分析。计算得到
D(x,y)=1--6-2+1--2-4=2-4-12
此处计算的到的D(x,y)并不是直线形式的，所以根据经验认定系统可能存在闭轨线（此处运用了经验加以判断，即D(x,y)若是环状的，则可能存在闭轨线），于是进一步的，再用+=C尝试环域定理，计算得
T(x,y)=
显然在(0,0)的极小的区域内T(x,y)>0，而在+=C>的区域内T(x,y)<0，所以该系统存在极限环，自然也就存在闭轨线。
四，总结
通过以上的讨论，我们可以看出，在判断系统是否存在闭轨线时，我们不能拘泥于书本中有限的定理，需要根据特定的系统加以定性的分析，例如考虑系统轨线的走向，轨线经过的特殊的点与直线，当然结合奇点的位置加以考虑也会有很大的作用，而且有时候在研究系统的时候，恰当的猜测也是需要的。
参考书目
1、 楼红卫 林伟 《常微分方程》 复旦大学出版社 2007
2、 吕启龙 《关于Dulac函数的结构问题》 《数学研究与评论》 第5卷 第2期
3、 骆桦 《Dulac函数在定性研究中的应用》 《浙江丝绸工学院学报》 第13卷 第4期
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