用平面几何知识解圆锥曲线定值问题例谈

用平面几何知识解圆锥曲线定值问题例谈 ★解题方法与技巧在圆锥曲线中，过焦点的弦被曲线截得的两条线段的长分别为 m、，则 + 为定值，下面分别就椭 m 圆、双曲线、抛物线来证明这个问题． 1．过椭圆 +手：1的焦点 F作直线交椭圆于A、B 两点(如图 1)，若设 lAFl— m ，I BF I：，llg~ 1+ 1： 2^ 、／图 1 (1)当过焦点的直线平行于 y轴时，直线方程为 X~----一c，该直线与椭圆的两个交点坐标为 (一c，士 )，口于是： ...

★解题方法与技巧在圆锥曲线中，过焦点的弦被曲线截得的两条线段的长分别为 m、，则 + 为定值，下面分别就椭 m 圆、双曲线、抛物线来证明这个问题． 1．过椭圆 +手：1的焦点 F作直线交椭圆于A、B 两点(如图 1)，若设 lAFl— m ，I BF I：，llg~ 1+ 1： 2^ 、／图 1 (1)当过焦点的直线平行于 y轴时，直线方程为 X~----一c，该直线与椭圆的两个交点坐标为 (一c，士 )，口于是：：，．．． + ：． (2)当过焦点的直线与轴重合时，，l—lAFl=口一f，：l BFl：口+f．． 1 ． 1 1 ． 1 口+f+ 口一f 2a ” 十 — ~1-- — ~ 十 a — -t—-c一— ■一 ’ (3)当过焦点的直线不平行于轴也不重合于轴时，直线 AB与准线一一相交于点 G，过 A、F、 B分别引准线的垂线，垂足为 A。、Fl、B。，由椭圆定义得：I AA。I：上：一m ， I BB。I：世旦， e e e e I FF。I：譬一：．设 AG=R，由相似三角形的性质可得 r旦 I 一 l b。一 I {bz I I l R — t ’ ,D R + m ，② R+m+ ’ ，，l R — R—+ m—+ n· ．．．R一 —m(==m一-[-n) ，代入①化简得： — m 一。 + ：，，l ’ b ’ 若椭圆的焦点在轴上，有：1 +1 _ 6 2a 。． 2．过双曲线一 b2--1的焦点 F作直线交双曲线的一支于A、B两点(如图 2)，若设 l AF l=，，l， 2R IBFI：，则 m+ n为定值． (1)若直线 AB平行于 Y 轴．则直线方程为：一c。该直线与双曲线的两个交点坐标为(～士．于是：，． 1 ． 1 2a — 十i ‘ G 4l ／‘ 夕． D 图 2 (2)当过焦点的直线与 y轴不平行时，直线 AB 与准线：一相交于点，过、、分别引准线r - G A F B 的垂线垂足为AI、F-、B．则由双曲线的定义知： I AA，I：：， IBB。I：上旦￡上：旦。 I FFl I：c一譬一譬．设 AG：R。由相似三角形的性质得：旦寺一j ，① _f R ． 62 ⋯ 一，，l ‘ ÷一堕，②R+ —— m — + n’ 代入①得： 1十．i1一 2a ． 3．若过焦点的直线与双曲线一：1的两支相交于 A、B两点(如图3)，则 + (--n)为定值· (1)若过焦点的直线与轴重合，则：／ F／ D ＼．一图3 l AFl：，，l—f一口， I BFI：，l—c+口， 1 1 1 1 f+ 口一f+口 2口一 m — 一一 — ■ 百b’ f一口 f十口 f‘一n‘ ‘ (2)当过焦点的直线不重合于轴时，直线 AB 与准线相交于点G，过 A、B、F分别作准线韵垂线，垂足为 Al、Bl、F1．维普资讯 http://www.cqvip.com § t 试析数学的十种转化方法解题方法与技巧★ 广西崇左南宁师范高等专科学校教学系(532200) 彭展声朱家荣有经验的老师都知道，教学生解题就是引导学生将问题化“生为“熟、变“未知为“已知，这样学生就能把“新题变为“陈题而得解．这种将研究对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的研究对象的思想方法称为转化的思想方法．它在数学中普遍存在，是处理数学问题的一种重要思想方法．掌握并使用好这一思想方法．无论对教好数学。还是对学好数学都大有益处．本文将中学数学中常见的几种转化思想方法归纳成文，供大家参考． 1．空间问■平面化这是立体几何教材的编写及解题思想方法的主线．如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平几问题；多面体和旋转体(球除外)的侧面积公式的推导、侧面上的最短线路问题等通过侧面展开转化为平几问题，再如立体几何中的线线角、线面角、二面角，线线距、点面距、线面距、面面距，以及三垂线定理的证明，从定义到具体的计算都体现了空间到平面的转化．为了实现这种转化，又产生了平移法、展开法、射影法、辅助面(截面)法等行之有效的数学方法． 2．位置关系的互相转化线线、线面、面面平行与垂直的位置关系既互相依存，又在一定条件下可以互相转化，不仅能纵向转化：线线平行(或垂直)甘线面平行(或垂直)甘面面平行(或垂直)，还可以横向转化：线线、线面、面面的平行甘线线、线面、面面的垂直，这些关系在平行或垂直的判断和性质定理中得到充分体现，中学立体几何的平行或垂直关系的证明大都可以用以上相互转化关系去证明． 3．定性问■定量化．这是质量互变哲学思想在数学上的应用．我们知道，在现实生活中没有一定量作为基础的定性是没有说服力的．在数学上，有些问题的定性与定量可以等价起来．如线线、线面、面面平行，这些定性描述，用量来表示就是线线、线面、面面的夹角是 o。，反之亦然，又如线线、线面、面面的夹角是 9O。，等价于它们的位置关系是垂直． 4．等积转化在推导几何体的体积公式的时候，是利用祖陋原理，将一般柱体体积转化为长方体体积，一般锥体体积转化为三棱锥体积，从而导出柱体和锥体的体积公式，将半球的体积转化为一个圆柱体与一个圆锥体的体积之差的思路更让人耳目一新，而三棱锥体积公式推导的“凑补和‘切割转化思想方法应用更为广泛，这一转化思想直接使用在后继的台体体积公式推导中，有关复合几何体的体积计算也都应用这一思想方由双曲线的定义知： I AA1 I一一， · I BB I—n ， I FF1 I—C一譬=等．设 AG=R，由相似三角形的性质得：旦寺一，① 詈一一．一一。：，② 代入‘① 化简得：一 — r／ — — h — — — m — ． 2nm 。．．． +( 1)一 2a． (由于 B在双曲线的另一支上，故在 r／的前面加上负 D l ． Al · ．，’ 号，这与极坐标中的 e

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