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常微分方程(第三版)课后答案.doc

常微分方程(第三版)课后答案.doc

上传者: qinhe_89186 2013-12-28 评分 0 0 0 0 0 0 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《常微分方程(第三版)课后答案doc》,可适用于高等教育领域,主题内容包含常微分方程,并求满足初始条件:x=,y=的特解解:对原式进行变量分离得并求满足初始条件:x=,y=的特解解:对原式进行变量分离得:解:原式可化为:.符等。

常微分方程,并求满足初始条件:x=,y=的特解解:对原式进行变量分离得并求满足初始条件:x=,y=的特解解:对原式进行变量分离得:解:原式可化为:.解..解:这是齐次方程令解:原方程化为令方程组则有令当当另外已知f(x)解:设f(x)=y,则原方程化为两边求导得求具有性质x(ts)=的函数x(t),已知x’()存在。解:令t=s=x()==若x()得x=矛盾。所以x()=x’(t)=)两边积分得arctgx(t)=x’()tc所以x(t)=tgx’()tc当t=时x()=故c=所以x(t)=tgx’()t习题求下列方程的解.=解:y=e(e)=ee()c=ce()是原方程的解。.x=e解:原方程可化为:=xe所以:x=e(ee)=e(ec)=cee是原方程的解。.=s解:s=e(e)=e()=e()=是原方程的解。.n为常数解:原方程可化为:是原方程的解.=解:原方程可化为:=()=是原方程的解.解:=令则=u因此:=(*)将带入(*)中得:是原方程的解这是n=时的伯努利方程。两边同除以令P(x)=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式=两边同乘以令这是n=时的伯努利方程。两边同除以令P(x)=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式==这是n=时的伯努利方程。两边同除以令=P(y)=yQ(y)=由一阶线性方程的求解公式==y=P(x)=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式==c=y=​ 设函数(t)于<t<上连续()存在且满足关系式(ts)=(t)(s)试求此函数。令t=s=得()=()()即()=故或()当时即,)()当时====于是变量分离得积分由于即t=时=c=故试证:()一阶非齐线性方程()的任两解之差必为相应的齐线性方程()之解()若是()的非零解而是()的解则方程()的通解可表为其中为任意常数()方程()任一解的常数倍或任两解之和(或差)仍是方程()的解证明:()()()​ 设是()的任意两个解则()()()()得即是满足方程()所以命题成立。()​ 由题意得:()())先证是()的一个解。于是得故是()的一个解。)现证方程()的任一解都可写成的形式设是()的一个解则(’)于是(’)()得从而即所以命题成立。()​ 设是()的任意两个解则()()于是()得即其中为任意常数也就是满足方程()()()得即也就是满足方程()所以命题成立。试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。()​ 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方()​ 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项解:设为曲线上的任一点则过点曲线的切线方程为从而此切线与两坐标轴的交点坐标为即横截距为纵截距为。由题意得:()方程变形为于是所以方程的通解为。()方程变形为于是所以方程的通解为。.求解下列方程。()解:===()P(x)=Q(x)=由一阶线性方程的求解公式===习题、验证下列方程是恰当方程并求出方程的解。解:=则所以此方程是恰当方程。凑微分得:.解:则所以此方程为恰当方程。凑微分得.解:则因此此方程是恰当方程。()()对()做的积分则=()对()做的积分则==则故此方程的通解为、解:则此方程为恰当方程。凑微分得:(sincos)dx(cossin)dy=解:M=sincosN=cossin=sincoscossin=sincoscossin所以=故原方程为恰当方程因为sindxcosdxdxcosdysindydy=d(cos)d(sin)dxd()=所以d(sincosx)=故所求的解为sincosx=C求下列方程的解:.x(y)dxdy=解:=x,=x所以=故原方程为恰当方程又xydxxdxdy=所以d(yx)=故所求的解为yx=C(ey)dxxydy=解:edxydxxydy=exdxxydxxydy=所以de(xx)d(xy)=即de(xx)xy=故方程的解为e(xx)xy=Cxydx(x)dy=解:xydxxdydy=d(xy)dy=即d(xyy)=故方程的解为xyy=C、解:两边同除以得即故方程的通解为、解:方程可化为:即故方程的通解为:即:同时y=也是方程的解。、解:方程可化为:即:故方程的通解为:、解:方程可化为:故方程的通解为:即:、解:这里方程有积分因子两边乘以得:方程是恰当方程故方程的通解为:即:、解:这里因为故方程的通解为:即:、解:这里方程有积分因子:两边乘以得:方程为恰当方程故通解为:即:、解:两边同乘以得:故方程的通解为:、试导出方程具有形为和的积分因子的充要条件。解:若方程具有为积分因子(是连续可导)令方程有积分因子的充要条件是:是的函数此时积分因子为令此时的积分因子为设及连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子证:必要性若该方程为线性方程,则有,此方程有积分因子,只与有关充分性若该方程有只与有关的积分因子则为恰当方程,从而,,其中于是方程可化为即方程为一阶线性方程设函数f(u)g(u)连续、可微且f(u)g(u),试证方程yf(xy)dxxg(xy)dy=有积分因子u=(xyf(xy)g(xy))证:在方程yf(xy)dxxg(xy)dy=两边同乘以u得:uyf(xy)dxuxg(xy)dy=则=ufuyyf=yf===而=uguxxg=xg==故=所以u是方程得一个积分因子.假设方程()中得函数M(x,y)N(x,y)满足关系=Nf(x)Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数试证方程()有积分因子u=exp()证明:M(x,y)dxN(x,y)dy=即证uM=uNu()=NMu()=Nef(x)Meg(y)u()=e(Nf(x)Mg(y))由已知条件上式恒成立故原命题得证。、求出伯努利方程的积分因子解:已知伯努利方程为:两边同乘以令线性方程有积分因子:故原方程的积分因子为:证毕!、设是方程的积分因子从而求得可微函数使得试证也是方程的积分因子的充要条件是其中是的可微函数。证明:若则又即为的一个积分因子。、设是方程的两个积分因子且常数求证(任意常数)是方程的通解。证明:因为是方程的积分因子所以为恰当方程即下面只需证的全微分沿方程恒为零事实上:即当时是方程的解。证毕!习题求解下列方程、解:令则从而于是求得方程参数形式得通解为、解:令则即从而于是求得方程参数形式得通解为、解:令则从而=于是求得方程参数形式的通解为,另外y=也是方程的解、,为常数解:令则从而于是求得方程参数形式的通解为、解:令则从而于是求得方程参数形式的通解为、解:令则得所以从而于是求得方程参数形式的通解为因此方程的通解为习题.解:两边同除以得:即.解:两边同除以得令则即得到即另外也是方程的解。.解:得到即另外也是方程的解。解:令则:即得到故即另外也是方程的解。.解:令即而故两边积分得到因此原方程的解为。解:令则即故方程的解为.解:令则那么求得:故方程的解为或可写为.解:令则即方程的解为.解:将方程变形后得同除以得:令则即原方程的解为X(解:方程可化为y(令解:令则两边积分得即为方程的通解。另外即也是方程的解。解:两边同除以方程可化为:令则即两边积分得即为方程的解。解:令则那么即两边积分得即为方程的解。解:方程可化为两边积分得即为方程的解。解:方程可化为两边同除以得即令则即两边积分得将代入得即故解:方程可化为两边同加上得(*)再由可知(**)将(*)(**)得即整理得两边积分得即另外也是方程的解。​ 求一曲线使其切线在纵轴上之截距等于切点的横坐标。解:设为所求曲线上的任一点则在点的切线在轴上的截距为:由题意得即也即两边同除以得即即为方程的解。​ 摩托艇以米秒的速度在静水运动全速时停止了发动机过了秒钟后艇的速度减至米秒。确定发动机停止分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。解:又由此即其中解之得又时时。故得从而方程可化为当时有米秒即为所求的确定发动机停止分钟后艇的速度。一质量为m的质点作直线运动从速度等于零的时刻起有一个和时间成正比(比例系数为k)的力作用在它上面此质点又受到介质的阻力这阻力和速度成正比(比例系数为k)。试求此质点的速度与时间的关系。解:由物理知识得:根据题意:故:即:(*)式为一阶非齐线性方程根据其求解公式有又当t=时V=故c=因此此质点的速度与时间的关系为:解下列的黎卡提方程()解:原方程可转化为:观察得到它的一个特解为:设它的任意一个解为代入(*)式得到:由(**)(*)得:变量分离得:两边同时积分:即:故原方程的解为()解:原方程可化为:由观察得它的一个特解为设它的任意一个解为故变量分离再两边同时积分得:即故原方程的解为()解:原方程可化为:由观察得到它的一个特解为设它的任一个解为故该式是一个的伯努利方程两边同除以得到:即:令则:根据一阶非齐线性方程的求解公式得:故:因此:原方程的解为:()解:原方程可化为:由观察得到它的一个特解为设它的任一个解为于是这是的伯努利方程两边同除以得到:即:则:即:故:原方程的解为:()解:原方程可化为:由观察得它的一个特解为故设它的任一个解为于是这是的伯努利方程两边同除以得到:即:则:故:原方程的解为:即()解:原方程可化为:由观察得到它的一个特解为设它的任一个解为于是这是的伯努利方程两边同除以得到:即:则:从而:故原方程的解为:即:()解:由观察得到它的一个特解为故设它的任一个解为于是这是n=的佰努利方程两边同除以得:即:从而:故原方程的解为:习题求方程=xy通过点(,)的第三次近似解解:取=求方程=xy通过点(,)的第三次近似解解:令则=题求初值问题:R:的解的存在区间并求解第二次近似解给出在解的存在空间的误差估计解:因为M=max{}=则h=min(a,)=则解的存在区间为==令==ydx=x=ydx=x又=L则:误差估计为:=题讨论方程:在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件并求通过点()的一切解解:因为=在y上存在且连续而在上连续由有:=(xc)又因为y()=所以:=x另外y=也是方程的解故方程的解为:=或y=题证明格朗瓦耳不等式:设K为非负整数f(t)和g(t)为区间上的连续非负函数且满足不等式:f(t)k,则有:f(t)kexp(),证明:令R(t)=,则(T)=f(t)g(t)(T)R(t)g(t)=f(t)g(t)R(t)g(t)kg(t)(T)R(t)g(t)kg(t)两边同乘以exp()则有:(T)exp()R(t)g(t)exp()kg(t)exp()两边从到t积分:R(t)exp()exp()ds即R(t)exp()ds又f(t)kR(t)kkexp()dsk(exp()=kexp()即f(t)k题假设函数f(x,y)于(x,y)的领域内是y的不增函数试证方程=f(x,y)满足条件y(x)=y的解于xx一侧最多只有一个解证明:假设满足条件y(x)=y的解于xx一侧有两个(x),(x)则满足:(x)=ydx(x)=ydx不妨假设(x)(x)则(x)(x)而(x)(x)=dxdx=dx又因为f(x,y)在(x,y)的领域内是y的增函数则:f(x,(x))f(x,(x))则(x)(x)=dx则(x)(x)所以(x)(x)=即(x)=(x)则原命题方程满足条件y(x)=y的解于xx一侧最多只有一个解习题.Proof若()成立则及使当时初值问题的解满足对一切有,由解关于初值的对称性()的两个解及都过点由解的存在唯一性当时故若()成立取定则使当时,对一切有因初值问题的解为由解对初值的连续依赖性对以上使当时对一切有而当时因故这样证明了对一切有.Proof:因及都在G内连续从而在G内关于满足局部Lipschitz条件因此解在它的存在范围内关于是连续的。设由初值和足够小)所确定的方程解分别为即于是因及、连续因此这里具有性质:当时且当时因此对有即是初值问题的解在这里看成参数显然当时上述初值问题仍然有解。根据解对初值和参数的连续性定理知是的连续函数从而存在而是初值问题的解不难求解它显然是的连续函数。.解:这里满足解对初值的可微性定理条件故:满足的解为故.解:这是在()某领域内满足解对初值可微性定理条件由公式易见是原方程满足初始条件的解故习题(一)、解下列方程并求奇解(如果存在的话):、解:令则两边对x求导得从得时从得为参数为任意常数经检验得是方程奇解、解:令则两边对x求导得解之得所以且y=x也是方程的解但不是奇解、解:这是克莱洛方程因此它的通解为从中消去c,得到奇解、解:这是克莱洛方程因此它的通解为从中消去c,得到奇解、解:令则两边对x求导得解之得所以可知此方程没有奇解、解:原方程可化为这是克莱罗方程因此其通解为从中消去c得奇解、解:令则两边对x求导得所以可知此方程没有奇解、解:可知此方程没有奇解、解:令则两边对x求导得解之得所以且也是方程的解但不是方程的奇解、解:这是克莱罗方程因此方程的通解为从中消去c,得方程的奇解(二)求下列曲线族的包络、解:对c求导得xc=,,代入原方程得经检验得是原方程的包络、解:对c求导得代入原方程得即经检验得是原方程的包络、解:对c求导得–(xc)(yc)=,,代入原方程得经检验,得是原方程的包络、解:对c求导得(xc)=,c=x,代入原方程得,经检验得是原方程的包络(三)求一曲线使它上面的每一点的切线截割坐标轴使两截距之和等于常数c解:设所求曲线方程为y=y(x),以X、Y表坐标系则曲线上任一点(x,y(x))的切线方程为它与X轴、Y轴的截距分别为按条件有化简得这是克莱洛方程它的通解为一族直线它的包络是消去c后得我们所求的曲线(四)试证:就克莱洛方程来说p判别曲线和方程通解的c判别曲线同样是方程通解的包络从而为方程的奇解证:克莱洛方程y=xpf(p)的p判别曲线就是用p消去法从中消去p后而得的曲线c判别曲线就是用c消去法从通解及它对求导的所得的方程中消去c而得的曲线显然它们的结果是一致的是一单因式因此p判别曲线是通解的包络也是方程的通解习题​ 设和是区间上的连续函数证明:如果在区间上有常数或常数则和在区间上线形无关。证明:假设在在区间上线形相关则存在不全为零的常数使得那么不妨设不为零则有显然为常数与题矛盾即假设不成立在区间上线形无关​ 证明非齐线形方程的叠加原理:设分别是非齐线形方程()()的解则是方程的解。证明:由题可知分别是方程()()的解则:()()那么由()()得:即是方程是的解。​ 试验证的基本解组为并求方程的通解。证明:由题将代入方程得:=,即是该方程的解同理求得也是该方程的解又显然线形无关故是的基本解组。由题可设所求通解为:则有:解之得:故所求通解为:​ 试验证有基本解组t并求方程t的通解。解:由题将t代入方程得:即t为该方程的解同理也是该方程的解又显然t线形无关故t是方程的基本解组由题可设所求通解为则有:解之得:故所求通解为​ 以知方程的基本解组为求此方程适合初始条件的基本解组(称为标准基本解组即有)并求出方程的适合初始条件的解。解:时间方程的基本解组故存在常数使得:于是:令t=,则有方程适合初始条件于是有:解得:故又该方程适合初始条件于是:解得:故显然线形无关所以此方程适合初始条件的基本解组为:而此方程同时满足初始条件于是:解得:故满足要求的解。​ 设是齐线形方程()的任意n个解。它们所构成的伏朗斯行列式记为试证明满足一阶线形方程因而有:解:又满足即则:即则有:即:​ 假设是二阶齐线形方程(*)的解这里在区间上连续试证:()是方程的解的充要条件为:()方程的通解可以表示为:,其中为常数, 证:(1)(2)因为为方程的解则由刘维尔公式两边都乘以则有:于是:从而方程的通解可表示为:,其中为常数,。​ 试证n阶非齐线形微分方程()存在且最多存在n个线形无关解。证:设为()对应的齐线形方程的一个基本解组是()的一个解则:()均为()的解。同时()是线形无关的。事实上:假设存在常数使得:(*)的左端为非齐线形方程的解而右端为齐线形方程的解矛盾!从而有又为()对应的齐线形方程的一个基本解组故有:即()是线形无关的。   习题​ 解下列方程()解:特征方程故通解为x=()解:特征方程有三重根故通解为x=()解:特征方程有三重根故通解为()解:特征方程有复数根i,i故通解为()解:特征方程有复数根故通解为()解:特征方程有根a,a当时齐线性方程的通解为s=代入原方程解得故通解为s=当a=时,代入原方程解得故通解为s=()解:特征方程有根,两重根齐线性方程的通解为x=又因为不是特征根故可以取特解行如代入原方程解得A=B=故通解为x=t()解:特征方程故齐线性方程的通解为x=取特解行如代入原方程解得A=B=,C=故通解为x=()解:特征方程有复数根故齐线性方程的通解为取特解行如代入原方程解得A=故通解为()解:特征方程有根,故齐线性方程的通解为x=因为i不是特征根取特解行如代入原方程解得A=故通解为x=()解:特征方程有复数根故齐线性方程的通解为是特征方程的根故代入原方程解得A=故通解为()解:特征方程有重根a当a=时齐线性方程的通解为s=,是特征方程的重根故代入原方程解得A=通解为s=,当a时齐线性方程的通解为s=,不是特征方程的根故代入原方程解得A=故通解为s=()解:特征方程有根,故齐线性方程的通解为x=不是特征方程的根故代入原方程解得A=故通解为x=()解:特征方程有根i,i故齐线性方程的通解为不是特征方程的根,取特解行如代入原方程解得A=故通解为()解:特征方程有根i,i故齐线性方程的通解为,i,是方程的解代入原方程解得A=B=故代入原方程解得A=B=故故通解为习题给定方程组x=xx=(*)a)试验证u(t)=,v(t)=分别是方程组(*)的满足初始条件u()=,v()=的解b)试验证w(t)=cu(t)cv(t)是方程组(*)的满足初始条件w()=的解其中是任意常数解:a)u()==u(t)==u(t)又v()==v(t)===v(t)因此u(t),v(t)分别是给定初值问题的解b)w()=u()u()==w(t)=u(t)v(t)====w(t)因此w(t)是给定方程初值问题的解将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题:a)xxtx=e,x()=,x()=b)xx=te,x()=,x()=,x()=,x()=c)x()=,x()=,y()=,y()=解:a)令x=x,x=x,得即又x=x()=x()=x()=于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题:x=x()=其中x=b)令=x===则得:且()=x()=,=()=,()=()=,()=()=于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题:=x()=,其中x=c)令w=xw=w=yw=y则原初值问题可化为:且即ww()=其中w=试用逐步逼近法求方程组=xx=满足初始条件x()=的第三次近似解解:习题试验证=是方程组x=x,x=在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。解:令的第一列为(t)=,这时(t)==(t)故(t)是一个解。同样如果以(t)表示第二列我们有(t)==(t)这样(t)也是一个解。因此是解矩阵。又因为det=t故是基解矩阵。考虑方程组x=A(t)x()其中A(t)是区间a上的连续nn矩阵它的元素为a(t),i,j=,,…,na)​ 如果x(t),x(t),…,x(t)是()的任意n个解那么它们的伏朗斯基行列式Wx(t),x(t),…,x(t)W(t)满足下面的一阶线性微分方程W=a(t)a(t)…a(t)Wb)​ 解上面的一阶线性微分方程证明下面公式:W(t)=W(t)et,ta,b解:w(t)=…=…=…整理后原式变为(a…a)=(a…a)w(t)=(a(t)…a(t))w(t)b)由于w(t)=a(t)…a(t)w(t),即=a(t)…a(t)dt两边从t到t积分lnln=即w(t)=w(t)e,ta,b设A(t)为区间a上的连续nn实矩阵为方程x=A(t)x的基解矩阵而x=(t)为其一解试证:a)​ 对于方程y=A(t)y的任一解y=(t)必有(t)(t)=常数b)(t)为方程y=A(t)y的基解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C使(t)(t)=C解a)(t)(t)=(t)(t)=(t)(t)A(t)又因为=A(t)(t)所以=(t)A(t)(t)(t)=(t)(t)A(t)(t)A(t)(t)=,所以对于方程y=A(t)y的任一解y=(t)必有(t)(t)=常数b)​ “”假设为方程y=A(t)y的基解矩阵则(t)(t)=(t)(t)(t)=A(t)(t)(t)A(t))(t)A(t)(t)=(t)A(t)(t)A(t)=,故(t)(t)=C“”若存在非奇异常数矩阵Cdetc,使(t)(t)=C则(t)(t)=(t)(t)=故(t)(t)=(t)(t)A(t)(t)=(t)A(t)所以(t)=(t)A(t),(t)=(t)A(t)即(t)为方程y=A(t)y的基解矩阵设为方程x=Ax(A为nn常数矩阵)的标准基解矩阵(即()=E)证明:(t)=(tt)其中t为某一值证明:(),(tt)是基解矩阵。()由于为方程x=Ax的解矩阵所以(t)也是x=Ax的解矩阵而当t=t时(t)(t)=E,(tt)=()=E故由解的存在唯一性定理得(t)=(tt)设A(t),f(t)分别为在区间a上连续的nn矩阵和n维列向量证明方程组x=A(t)xf(t)存在且最多存在n个线性无关解。证明:设x,x,…x是x=A(t)x的n个线性无关解是x=A(t)xf(t)的一个解则x,x,…,x,都是非齐线性方程的解下面来证明它们线性无关假设存在不全为零的常数C,(I=,,…,n)使得c=,从而x,x,…,x,在a上线性相关此与已知矛盾因此x,x,…,x,线性无关所以方程组x=A(t)xf(t)存在且最多存在n个线性无关解。、试证非齐线性微分方程组的叠加原理:的解则是方程组的解。证明:()()分别将代入()和()则则令即证.考虑方程组其中a)试验证是的基解矩阵b)试求的满足初始条件的解。证明:a)首先验证它是基解矩阵以表示的第一列则故是方程的解如果以表示的第二列我们有故也是方程的解从而是方程的解矩阵又故是的基解矩阵b)由常数变易公式可知方程满足初始条件的解而、试求其中满足初始条件的解。解:由第题可知的基解矩阵则若方程满足初始条件则有若则有、试求下列方程的通解:a)解:易知对应的齐线性方程的基本解组为这时由公式得通解为b)解:易知对应的齐线性方程的基本解组为是方程的特征根故方程有形如的根代入得故方程有通解c)解:易知对应的齐线性方程对应的特征方程为故方程的一个基本解组为因为是对应的齐线性方程的解故也是原方程的一个解故方程的通解为、给定方程其中f(t)在上连续试利用常数变易公式证明:a)如果f(t)在上有界则上面方程的每一个解在上有界b)如果当时则上面方程的每一个解(当时)。证明:a)上有界存在M>,使得又是齐线性方程组的基本解组非齐线性方程组的解又对于非齐线性方程组的满足初始条件的解x(t)都存在固定的常数使得从而故上面方程的每一个解在上有界b)时当t>N时由a)的结论故时原命题成立、给定方程组()这里A(t)是区间上的连续矩阵设是()的一个基解矩阵n维向量函数F(t,x)在上连续试证明初值问题:(*)的唯一解是积分方程组(**)的连续解。反之(**)的连续解也是初值问题()的解。证明:若是(*)的唯一解则由非齐线性方程组的求解公式即(*)的解满足(**)反之若是(**)的解则有两边对t求导:即(**)的解是(*)的解习题、​ 假设A是nn矩阵试证:a)​ 对任意常数、都有exp(AA)=expAexpAb)​ 对任意整数k,都有(expA)=expkA(当k是负整数时规定(expA)=(expA))证明:a)(A)(A)=(A)(A)exp(AA)=expAexpAb)k>时(expA)=expAexpA……expA=exp(AA……A)=expkAk<时k>(expA)=(expA)=exp(A)=exp(A)exp(A)……exp(A)=exp(A)(k)=expkA故k都有(expA)=expkA、​ 试证:如果是=Ax满足初始条件=的解那么=expA(tt)证明:由定理可知=Ф(t)Ф(t)+Ф(t)又因为Ф(t)=expAt,Ф(t)=(expAt)=exp(At),f(s)=,又因为矩阵(At)(At)=(At)(At)所以=expA(tt)、​ 试计算下面矩阵的特征值及对应的特征向量a)b)c)d)解:a)det(E-A)==(-)()==,=-对应于=的特征向量u=,()对应于=-的特征向量v=,()b)​ det(E-A)=()()(-)==-==-对应于=-的特征向量u=()对应于=的特征向量u=()对应于=-的特征向量u=()c)det(E-A)==()(-)==-(二重)=对应于=-(二重)的特征向量u=()对应于=的特征向量v=,()d)​ det(E-A)==()()()==-=-=-对应于=-的特征向量u=()对应于=-的特征向量u=()对应于=-的特征向量u=()、​ 试求方程组=Ax的一个基解矩阵并计算expAt其中A为:a)b)c)d)解:a)det(E-A)=得==-对应于的特征向量为u=()对应于的特征向量为v=()u=v=是对应于的两个线性无关的特征向量Ф(t)=是一个基解矩阵ExpAt=b)​ 由det(E-A)=得==-解得u=v=是对应于的两个线性无关的特征向量则基解矩阵为Ф(t)=Ф()=Ф-()=则expAt=Ф(t)Ф-()=c)由det(E-A)=得==-=-解得基解矩阵Ф(t)=Ф-()=则expAt=Ф(t)Ф-()=d)由det(E-A)=得=-=+=-解得基解矩阵Ф(t)=则expAt=Ф(t)Ф-()=、试求方程组=Ax的基解矩阵并求满足初始条件解:a)由第题(b)知基解矩阵为所以b)由第题(d)知基解矩阵为Ф(t)=所以c)​ 由(c)可知矩阵A的特征值为==-(二重)对应的特征向量为u=u==+解得=、​ 求方程组=Ax+f(t)的解:解:a)令=Ax的基解矩阵为Ф(t)解得Ф(t)=则Ф-(t)=Ф-()=求得=b)由det(E-A)=得=-=-=-设对应的特征向量为v则(E-A)v=得v=取v=同理可得v=v=则Ф(t)=从而解得c)令=Ax的基解矩阵为Ф(t)由det(E-A)=得==解得对应的基解矩阵为Ф(t)=Ф-(t)=从而Ф-()=、​ 假设m不是矩阵A的特征值。试证非齐线性方程组有一解形如其中cp是常数向量。证:要证是否为解就是能否确定常数向量p则p(mE-A)=c由于m不是A的特征值故mE-A存在逆矩阵那么p=c(mE-A)-这样方程就有形如的解、​ 给定方程组a)​ 试证上面方程组等价于方程组u’=Au,其中u=A=b)​ 试求a)中的方程组的基解矩阵c)​ 试求原方程组满足初始条件x()=,x’()=,x()=的解。证:a)令则方程组化为即u’=u’=Au反之设x=u,x’=u,x=u则方程组化为b)由det(E-A)=得===由得同理可求得u和u取则是一个基解矩阵c)令则化为等价的方程组且初始条件变为而满足此初始条件的解为:于是根据等价性满足初始条件的解为式、​ 试用拉普拉斯变换法解第题和第题。证明:略。、​ 求下列初值问题的解:解:a)根据方程解得==-=t+=-t++===t+-+===-t综上:=t+=-tb)对方程两边取拉普拉斯变换得解得c)对方程两边取拉普拉斯变换得、​ 假设y=是二阶常系数线性微分方程初值问题的解试证是方程的解这里f(x)为已知连续函数。证明:y=y’=习题​ 试求出下列方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态()解:由得奇点(,),(,),(,),(,)对于奇点(,),A=由=得=>,=>所以不稳定对于奇点(,),令X=x,Y=y,则A=得=,=所以渐进稳定同理可知,对于奇点(,),驻定解渐进稳定对于奇点(,),驻定解渐进不稳定()解:由得奇点(,),(,),(,)对于奇点(,)可知不稳定对于奇点(,)可知不稳定对于奇点(,)可知渐进稳定()解:由得奇点(,),(,)对于奇点(,)驻定解不稳定对于奇点(,)得驻定解不稳定()解:由得奇点(,),(,)对于奇点(,)得驻定解不稳定对于奇点(,)得驻定渐进稳定​ 研究下列纺车零解的稳定性()解:=>,=>,=>>=>所以零解渐进稳定()解:A=由=得得=,=i)<即<,渐进稳定ii)>即>不稳定iii)=即=稳定

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