江苏省海头高级中学高一数学滚动练习一 江苏省海头高级中学2013--2014学年度高一第一学期期中考试 数学试题 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．） 1．将指数式 转化为对数式为 ； 2．函数 的定义域为 ； ★3．不等式 的解集为 ； 4．已知全集 ， ， ，则 ； 5．已知 在 为减函数，则 的范围为 ； 6．已知 ， ， ，则 的大小关系是 ； 7．已知函数 的图像如右图所示，则 ； ★8．方程 解的个数为 ； ★9．设 ，若幂函数 为偶函数且在 上单调递减，则 ； ★10．对应 是集合 到集合 的映射，若集合 ， ，则这样的映射有 个； 11．用二分法求函数 在区间 上零点的近似解，经验证有 ．取区间的中点为 ，计算得 ，则此时零点 ；(填区间) 12．下列推理中，① ； ② ；③ ； ④ ．其中正确的序号是 ； 13．设函数 ，若互不相同的三个实数 满足 ，则 的取值范围是 ； 14．设 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分） 设全集 ，记函数 的值域为 ，集合 ． （1）求集合 ； （2）若集合 和 ． ★16．（本题满分14分） （1）已知 ， ，求 的值； （2）计算 的值． 17．（本题满分14分） 已知函数 （ ）． （1）试判断 的单调性，并证明你的结论； （2）若 为定义域上的奇函数， ① 当 时，求函数 的值域； ② 求满足 的 的取值范围． ★18．（本题满分16分） 某校高一（2）班 共有学生51人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是 元，若该班全体学生改饮某品牌的桶装纯净水，经测算和市场调查，其年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用228元，其中，纯净水的销售价 （元/桶）与年购买总量 （桶）之间满足如图所示关系. （1）求 关于 的函数关系式； （2）当 时，若该班每年需要纯净水380桶，请你根据提供的信息比较，该班全体学生改饮桶装纯净水的年总费用与该班全体学生购买饮料的年总费用，哪一种更少？说明你的理由； （3）当 至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少？ ★19．（本题满分16分） 已知函数 （ 且 ）， ． （1）若 ，且函数 的值域为 ，求 的解析式； （2）在（1）的条件下，当 时， 是单调函数，求实数k的取值范围； （3）设 ， , 且 是偶函数，判断 是否大于零？ 20．（本题满分16分） 若函数 满足下列条件：在定义域内存在 使得 成立，则称函数 具有性质 ；反之，若 不存在，则称函数 不具有性质 ． （1）证明：函数 具有性质 ，并求出对应的 的值； （2） 已知函数 具有性质 ，求 的取值范围； （3）试探究形如：① ，② ，③ ，④ ，⑤ 的函数，指出哪些函数一定具有性质 ?并说明理由． 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7．0 8．2 9． 10．4 11． 12．①②③ 13． 14． （3）设该班每年购买纯净水的费用为P元，则 要使饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少， 则 解得 ，故 至少为68元时全班饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少。 19．解：（Ⅰ） . ∵函数 的值域为[0, ＋ ) ∴ 且△＝ ∴ . ∴ 5分 （Ⅱ） 在定义域x∈[－2 , 2 ]上是单调函数，对称轴为 ∴ 或 即 或 10分 （Ⅲ）∵ 是偶函数 ∴ ∴ ∴ ∴ 11分 ∴ 12分 ∵ 不妨设 , 则 , , ∴ 15分 ∵ , , ∴ 16分 20．解：（1）证明： 代入 ， 得： ，即 ， ……………………2分 解得 ，∴函数 具有性质 ． …………………3分 （2） 的定义域为R，且可得 ，]∵ 具有性质 ， ∴存在 ，使得 ,代入得 ， 化为 ， 整理得: 有实根， ……………5分 ①若 ,得 ，满足题意； …………………………6分 ②若 ,则要使 有实根，只需满足 ， 即 ，解得 ，∴ ， 综合①②,可得 ……………8分 （3）解法一：函数 恒具有性质 ，即关于 的方程 （*）恒有解. ………9分 ①若 ，则方程（*）可化为 整理， 得 ，当 时，关于 的方程（*）无解， ∴ 不恒具备性质 ； ……………10分 ②若 ，则方程（*）可化为 ， 解得 ， ∴函数 一定具备性质 ； ………12分 ③若 ，则方程（*）可化为 无解， ∴ 不具备性质 ； ……………13分 ④若 ，则方程（*）可化为 ， 化简得 ， 当 时，方程（*）无解， ∴ 不恒具备性质 ； …………14分 ⑤若 ，则方程（*）可化为 ，化简得 ， 显然方程无解， ∴ 不 具备性质 ； ……………15分 综上所述，只有函数 一定具备性质 ． ……16分 （注：第（3）问直接得 一定具备性质 而不说明理由 只给1分）
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