华侨大学 1、 填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量 、 满足 ， ， ，则 ． 2、设 ，则 ． 3、曲面 在点 处的切平面方程为 ． 4、设 是周期为 的周期函数，它在 上的表达式为 ，则 的傅里叶级数 在 处收敛于 ，在 处收敛于 ． 5、设 为连接 与 两点的直线段，则 ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 2、 解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线 在点 处的切线及法平面方程． 2、求由曲面 及 所围成的立体体积． 3、判定级数 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求 ． 5、计算曲面积分 其中 是球面 被平面 截出的顶部． 3、 （本题满分9分） 抛物面 被平面 截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 ， 其中 为常数， 为由点 至原点 的上半圆周 ． 4、 （本题满分10分） 求幂级数 的收敛域及和函数． 5、 （本题满分10分） 计算曲面积分 ， 其中 为曲面 的上侧． 6、 （本题满分6分） 设 为连续函数， ， ，其中 是由曲面 与 所围成的闭区域，求 ． 高等数学A(下册)期末考试试题【A卷】 参考解答与评分标准 2009年6月 1、 填空题【每小题4分，共20分】 1、 ； 2、 ；3、 ； 4、3，0； 5、 . 1、 试解下列各题【每小题7分，共35分】 1、解：方程两边对 求导，得 ， 从而 ， …………..【4】 该曲线在 处的切向量为 …………..【5】 故所求的切线方程为 ………………..【6】 法平面方程为 即 ……..【7】 ２、解： ，该立体 在 面上的投影区域为 ．…..【2】 故所求的体积为 ……..【7】 ３、解：由 ，知级数 发散…………………【3】 又 , .故所给级数收敛且条件收敛．【7】 ４、解： ， …………………………………【3】 【7】 ５、解： 的方程为 ， 在 面上的投影区域为 ． 又 ，…..………【３】 故 ..【7】 三、【9分】解：设 为该椭圆上的任一点，则点 到原点的距离为 ……【1】 令 ， 则由 ，解得 ， ．于是得到两个可能极值点 …………………【7】 又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得． 故 ……【9】 四、【10分】 解：记 与直线段 所围成的闭区域为 ，则由格林公式，得 ．………………【5】 而 …………【8】 ………………………【10】 五、【10分】解： ，收敛区间为 …………【2】 又当 时，级数成为 ，发散；当 时，级数成为 ，收敛．……【4】 故该幂级数的收敛域为 ………【5】 令 （ ），则 , ( ) ……【8】 于是 ，（ ）………………….【10】 六、【10分】解：取 为 的下侧，记 与 所围成的空间闭区域为 ，则由高斯公式，有 ………….… 【5】 …………………….…【7】 而 ….… 【9】 …………………….… 【10】 七、【6分】解： ….… 【2】 ….… 【4】 故 【6】
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