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弹性力学.pdf

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上传者: gyhdashen 2013-12-25 评分1 评论0 下载0 收藏10 阅读量312 暂无简介 简介 举报

简介:本文档为《弹性力学pdf》,可适用于单机游戏领域,主题内容包含弹性力学龙新华龙新华机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室振动、冲击、噪声研究所Tele:Email:xhlongsjtueduc符等。

弹性力学龙新华龙新华机械系统与振动国家重点实验室机械系统与振动国家重点实验室振动、冲击、噪声研究所Tele:021-34206813-830E-mail:xhlong@sjtueducnEmail:xhlong@sjtu.edu.cn第一章绪论第章绪论1.1基本概念1研究对象弹性体在外部作用下的应力、应变与材料力学的比较材料力学研究杆轴梁等维问题与材料力学的比较:材料力学研究杆、轴、梁等一维问题2范畴一般力学:理论力学、分析力学、振动学……连续介质力学:弹性力学*、流体力学、塑性力学*、断裂力学*空气动力学学、空气动力学……3预备知识先修课程:理论力学材料力学线性代数数理方程先修课程:理论力学、材料力学、线性代数、数理方程概念复习:应力、应变、弹性模量、泊松比4参考书目1.1基本概念4参考书目1.杜庆华余寿文姚振汉,弹性力学。2.徐芝纶.弹性力学(上).北京:高等教育出版社20043.吴家龙.弹性力学.北京:高等教育出版社20094.S.P.Timoshenko.TheoryofElasticity(ThirdEdition).北京:清华大学出版社2009(影印版)5.钱伟长,叶开沅,弹性力学5掌握基本理论和方法–提高力学素养,为有限元课程的学习奠定基础6教学形式–讲授为主,自学结合,适量习题,综合评定。目录1.1弹性力学的任务1.2弹性力学的基本假设1.2弹性学的本假设1.3弹性力学的发展和研究方法1.1弹性力学的任务•弹性力学•——也称弹性理论•固体力学学科的一个分支基本任务——研究由于载荷或者温度改变,弹性体内部所产生的位移、变形和应力分布等。部所产的位移变形和应力分布等为解决工程结构的强度,刚度和稳定性问题作备作准备。1.1弹性力学任务2构件承载能力分析是固体力学的基本任务不同的学科分支,研究对象和方法是不同的研究对象——弹性体研究内容和基本任务与材料力学基本相同研究对象近似研究方法却有比较大的差别材料力学的研究对象是杆件平面假设确定1.1弹性力学任务3材料力学的研究对象是杆件,平面假设确定横截面变形。——一维数学问题,求解的基本方程是常微分方程分方程。弹性力学的研究对象是完全弹性体弹性力学的研究对象是完全弹性体。只能从微分单元体入手只能从微分单元体入手,三维数学问题,综合分析的结果是偏微分三维数学问题,综合分析的结果是偏微分方程边值问题。1.1弹性力学任务4建筑工程1.1弹性力学任务5建筑工程1.1弹性力学任务6航空航天工程航空航天工程1.1弹性力学任务7船舶机械工程1.1弹性力学任务8•弹性是变形固体的基本属性。1.1弹性力学任务9•“完全弹性”是对弹性体变形的抽象。•完全弹性使得物体变形成为一种理想模型。•完全弹性是指在一定温度条件下,材料的应力和应变之间一一对应的关系。和应变之间对应的关系。•这种关系与时间无关,也与变形历史无关。•材料的应力和应变关系通常称为本构关系;•——物理关系或者物理方程•线性弹性体和非线性弹性体研究方法的差别造成弹性力学与材料力1.1弹性力学任务11研究方法的差别造成弹性力学与材料力学问题的最大不同。•常微分方程,数学求解没有困难。•偏微分方程边值问题,在数学上求解困难重重,除了少数特殊问题,一般弹性体问题很难重,除了少数特殊问题,般弹性体问题很难得到解析解。•这里并不是说弹性力学分析不再需要假设,事实上对于任何学科,如果不对研究对象作必事实上对于任何学科,如果不对研究对象作必要的抽象和简化,研究工作都是寸步难行的。1.2弹性力学基本假设•工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有因素,则问题的复杂,数学推导的困难,将使得问题无法求解。数学推导的困难将使得问题无法求解•根据问题性质,忽略部分暂时不必考虑的因素,提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。个行的范围•基本假设是学科的研究基础。•超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究科的研究。工程材料通常可以分为晶体和非晶体两种1.2基本假设2•工程材料通常可以分为晶体和非晶体两种。•金属材料晶体材料是由许多原子离子•金属材料——晶体材料,是由许多原子,离子按一定规则排列起来的空间格子构成,其中间经常会有缺陷存在经常会有缺陷存在。•高分子材料非晶体材料由许多分子的集•高分子材料——非晶体材料,由许多分子的集合组成的分子化合物。•工程材料内部的缺陷、夹杂和孔洞等构成了固体材料微观结构的复杂性体材料微观结构的复杂性。1.连续性假设1.2基本假设3•——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满各个质点之间不存在任何物体的介质所充满,各个质点之间不存在任何空隙。•——变形后仍然保持连续性。•根据这一假设,物体所有物理量,例如位移、应变和应力等均为物体空间的连续函数。应变和应力等均为物体空间的连续函数•微观上这个假设不可能成立——宏观假设。2.完全弹性假设1.2基本假设4•——对应一定的温度,如果应力和应变之间存在一一对应关系而且这个关系和时间存在对应关系,而且这个关系和时间无关,也和变形历史无关,称为完全弹性材料性材料。•完全弹性分为线性和非线性弹性弹性力•完全弹性分为线性和非线性弹性,弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。•研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变的变化而改变。3.均匀性假设1.2基本假设4•——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的因此物体各个部分的物理性质都是组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的,不随坐标位置的变化而改变。•——物体的弹性性质处处都是相同的。•工程材料,例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状,并且在物体内部均匀分布,从的几何形状,并且在物体内部均匀分布,从宏观意义上讲,也可以视为均匀材料。•对于环氧树脂基碳纤维复合材料,不能处理为均匀材料。为均匀材料。4.各向同性假设1.2基本假设5•——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质这就是说物体的弹性常数将不的物理性质,这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。•——宏观假设,材料性能是显示各向同性。•当然,像木材,竹子以及纤维增强材料等,属于各向异性材料。属于各向异性材料。•——这些材料的研究属于复合材料力学研究材料究复材料力究的对象。5.小变形假设1.2基本假设7——假设在外力或者其他外界因素(如温度等)的影响下物体的变形与物体自身几何等)的影响下,物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。——在弹性体的平衡等问题讨论时,可以不考虑因变形所引起的尺寸变化考虑因变形所引起的尺寸变化。——忽略位移、应变和应力等分量的高阶小忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量,使基本方程成为线性的偏微分方程组。6.无初始应力假设1.2基本假设8——假设物体处于自然状态,即在外界因素作用之前物体内部没有应力作用之前,物体内部没有应力。弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。弹性力学的基本假设主要包括弹性体1.2基本假设9弹性力学的基本假设,主要包括弹性体的连续性、均匀性、各向同性、完全弹性和小变形假设等。这些假设都是关于材料变形的宏观假设。弹性力学问题的讨论中,如果没有特别的提示,均采用基本假设。提,用设。这些基本假设被广泛的实验和工程实践这实实证实是可行的。1.3弹性力学的发展和研究方法弹性力学是一门有悠久历史的学科,早期研究可以追溯到1678年,胡克(R.Hooke)发现胡克定律。发现胡克定律。这一时期的研究工作主要是通过实验方法探索物体的受力与变形之间的关系。•近代弹性力学的研究是1.3发展与研究方法2近代弹性力学的研究是从19世纪开始的。•柯西1828年提出应力、应变概念建立了平衡微应变概念,建立了平衡微分方程,几何方程和广义胡克定律胡克定律。•柯西的工作是近代弹性柯西的工作是近代弹性力学的一个起点,使得弹性力学成为门独立的固性力学成为一门独立的固体力学分支学科。柯西(A.L.Cauchy)1.3发展与研究方法3•而后,世界各国的一批学者相继进入弹性力学学者相继进入弹性力学研究领域,使弹性力学进入发展阶段。年圣维南•1856年,圣维南(A.J.Saint-Venant)建立了柱体扭转和弯曲的基本理论;的基本理论;圣维南(A.J.Saint-Venant)(A.J.SaintVenant)1.3发展与研究方法4•1862年,艾瑞(G.B.Airy)发表了关于弹性力学的平面发表了关于弹性力学的平面理论;•1881年,赫兹建立了接触应力理论;应力理论;赫兹(H.Hertz)1.3发展与研究方法51898年,基尔霍夫建立了平板理论;了平板理论;1824年生於德国,1887年逝世。曾在海登堡大学和柏林大学任物理学教授,柏林大学任物理学教授,他发现了电学中的“基尔霍夫定理”同时也对弹霍夫定理”,同时也对弹性力学,特别是薄板理论的研究作出重要贡献基尔霍夫(G.R.Kirchoff)的研究作出重要贡献。(G.R.Kirchoff)•1930年,Гадёркин发展了应用复变1.3发展与研究方法61930年,Гадёркин发展了应用复变函数理论求解弹性力学问题的方法等。•另一个重要理论成果是建立种能量原理;提出系列基于能量原的近似计算方法•提出一系列基于能量原理的近似计算方法。•许多科学家像拉格朗日(JLLagrange)乐•许多科学家.像拉格朗日(J.L.Lagrange),乐甫(A.E.H.Love),铁木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了贡献做出了贡献。•中国科学家钱伟长钱学森徐芝伦胡海•中国科学家钱伟长,钱学森,徐芝伦,胡海昌,等在弹性力学的发展,特别是在中国的推广应用做出了重要贡献广应用做出了重要贡献。钱学森1.3发展与研究方法7钱伟长胡海昌1.3发展与研究方法8杨桂通徐芝伦徐芝伦•弹性力学促进数学和自然科学基本理论1.3发展与研究方法9•弹性力学——促进数学和自然科学基本理论的建立和发展;•广泛工程应用——造船、建筑、航空和机械制造等制造等。•发展——形成了一些专门的分学科;发展形成了些专门的分学科;•现代科学技术和工程技术——仍然提出新的理论和工程问题。对于现代工程技术和科研工作者的培养•对于现代工程技术和科研工作者的培养——对于专业基础,思维方法以及独立工作能力都有不可替代的作用。数学方法1.3发展与研究方法10•数学方法•实验方法实验方法•二者结合的方法•弹性力学的基本方程——偏微分方程的边值问题求解的方法有解析法和近似解法问题,求解的方法有解析法和近似解法。解析法在数学上难度极大因此仅适用于个•解析法在数学上难度极大,因此仅适用于个别特殊边界条件问题。•近似解法对于弹性力学有重要意义。•数值解法——计算机处理的近似解法。1.3发展与研究方法11数值解计算机处理的近似解法。•现代科学技术,特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用为基础展和广泛应用为基础。•有限元方法为代表的计算力学。有限元方法为代表的计算力学。•以有限元为基础的CAD,CAE等技术,使计算机不仅成为数值分析工具而且成为设计分析机不仅成为数值分析工具,而且成为设计分析工具。•有限元方法以弹性力学为基础,有限元方法将计算数学与工程分析相结合•有限元方法将计算数学与工程分析相结合,极大地扩展和延伸了弹性力学理论与方法,取得了当代力学理论应用的高度成就。弹性力学研究方法与材料力学的对比材料力学:研究杆、梁、柱、轴等杆状构件(长度远大于厚度和宽度的构件)一维数学问题求解的基本方程是常微分方度和宽度的构件)。维数学问题,求解的基本方程是常微分方程。2dMxy弹性力学2dzyxEI弹性力学:研究杆、梁、柱、轴等杆状构件;也研究板、壳及其它实体结构。数学模型一般是三维的偏微分方程。弹性力学研究方法与材料力学的对比共性:材料力学也是从从静力学、几何学和物理学三个方面出发,研究杆状构件的拉、压、弯、扭和剪切等问题。区别:材料力学:引用一些截面的变形状态或应力情况的假设,得出的结果往往是近似的的结果往往是近似的。弹性力学:基于6个基本假设(材料力学也基于这6个假设),弹性力学:基于6个基本假设(材料力学也基于这6个假设),由无限小微分体的平衡导出偏微分方程,无须引用上材料力学的中对应力和变形情况假设分析方法较严密结果比较精确的中对应力和变形情况假设。分析方法较严密,结果比较精确。弹性力学研究方法与材料力学的对比在究弹学在研究梁的弯曲时,弹性力学没有引用“平截面假设”。材料力学结果弹性力学结果弹性力学研究方法与材料力学的对比在研究梁的弯曲时,弹性力学不引用纵向纤维间无挤压的假设q材料力学结果弹性力学结果q0qy0yxxqxxy弹性力学研究方法与材料力学的对比材料力学在计算有孔口的拉伸构件时通常假设净截面上正应力材料力学在计算有孔口的拉伸构件时,通常假设净截面上,正应力是均匀分布的q材料力学结果qqq材料力学结果弹性力学结果qqq3q3弹性力学结果q3张量简介张量的基本概念爱因斯坦求和约定张量的基本概念,爱因斯坦求和约定符号与e符号ij与erst坐标与坐标转换张量的分量转换规律,张量方程张量代数,商法则常用特殊张量主方向与主分量常用特殊张量,主方向与主分量AppendixA张量基本概念张量基本概念标量(零阶张量)例如质量度例如:质量,温度质量密度质量密度应变能密度,等应变能密度,等其值与坐标系选取无关。AppendixA.1张量基本概念张量基本概念矢量(一阶张量)位移速度位移,速度,加速度,力,加速度,力,法向矢量,等10ijijijeeAppendixA.10ij张量基本概念张量基本概念矢量矢量u在笛卡尔坐标系中分解为331122331iiuuuuiueeee其中u1,u2,u3是u的三个分量,e1,e2,e3是单位基矢量。AppendixA.1张量基本概念张量基本概念矢量既有大小又有方向性的物理量;其分量与坐标系选取有关,满足坐标转换关系;遵从相应的矢量运算规则AppendixA.1张量基本概念矢量(可推广至张量)的三种记法张量基本概念矢量(可推广至张量)的三种记法:实体记法:u分解式记法3iuuuuueeee分解式记法:1122331iiuuuuiueeee分量记法:iuAppendixA.1张量基本概念张量基本概念指标符号用法1.三维空间中任意点P的坐标(x,y,z)可缩写成xi,其中x1=x,x2=y,x3=z。2两个矢量和b的分量的点积(或称数量积)为2.两个矢量a和b的分量的点积(或称数量积)为:3bbbbb1122331=iiiabababababAppendixA.1张量基本概念爱因斯坦求和约定张量基本概念爱因斯坦求和约定如果在表达式的某项中,某指标重复地出现两次,则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和。该重复的指标称为哑指标,简称哑标。3112233=iiuuuuuiiueeeee11223313==iiiabababababiiab1122331iiiiiababababababAppendixA.1张量基本概念张量基本概念由于aibi=biai,即矢量点积的顺序可以交换:abab=ba=由于哑标i仅表示要遍历求和,故可成对地任意交iiabab=ba=换。例如:bbb=jjmmababab只要指标j或m在同项内仅出现两次且取值范围只要指标j或m在同项内仅出现两次,且取值范围和i相同。AppendixA.1张量基本概念张量基本概念二阶张量应变应力速度梯度变形梯度等应变,应力,速度梯度,变形梯度,等。三阶张量压电张量,等。四阶张量弹性张量,等。弹性张量,等。AppendixA.1张量基本概念二阶(或高阶)张量的来源张量基本概念二阶(或高阶)张量的来源描述一些复杂的物理量需要二阶(或高阶)张量描述些复杂的物理量需要阶(或高阶)张量低阶张量的梯度低阶张量的并积更高阶张量的缩并,等。AppendixA.1张量基本概念张量基本概念应力张量应力张量AppendixA.1张量基本概念张量的三种记法张量基本概念张量的三种记法:实体记法:分解式记法:111112121313212122222323+eeeeeeeeeeee分量记法313132323333+eeeeee分量记法:ijAppendixA.1张量基本概念张量基本概念爱因斯坦求和约定nnnnT112233ijjiiiinnnnT1111221331nnnT2112222332nnnT3113223333nnnTAppendixA.1张量基本概念张量基本概念采用指标符号后,线性变换表示为11111221331jjxaxaxaxax1111122133122112222332jjjjxaxaxaxaxxaxaxaxax33113223333jjxaxaxaxax利用爱因斯坦求和约定写成利用爱因斯坦求和约定,写成:iijjxaxiijj其中j是哑指标,i是自由指标。AppendixA.1张量基本概念张量基本概念例如一点的应力状态要用应力张量来表示,它是具有二重方向性的二阶张量,记为(或)。有重方向性的阶张量,记为(或)矢量和标量是特殊的张量,矢量为一阶张量,标量矢量和标量是特殊的张量,矢量为阶张量,标量为零阶张量。AppendixA.1张量基本概念张量基本概念在表达式或方程中自由指标可以出现多次,但不得在同项内出现两次,若在同项内出现两次则是哑指标。例:若i为自由指标,0jijif,0jijiifAppendixA.1张量基本概念张量基本概念自由指标表示:若轮流取该指标范围内的任何值,关系式将始终成立关系式将始终成立。例如:表达式在自由指标i取123时该式始终成立即有iijjxax在自由指标i取1,2,3时该式始终成立,即有11111221331jjxaxaxaxax2211222233233113223333jjjjxaxaxaxaxxaxaxaxaxAppendixA.133113223333jj张量基本概念同时取值的自由指标必须同名独立取值的自由指张量基本概念同时取值的自由指标必须同名,独立取值的自由指标应防止重名。,0jijif自由指标必须整体换名,即把方程或表达式中出现的同名自由指标全部改成同一个新名字。0jijif0jkjkfi换成k,jijif,0jkjkfAppendixA.1张量基本概念张量基本概念指标符号也适用于微分和导数表达式。例如,三维空间中线元长度ds和其分量dx之间的关系空间中线元长度ds和其分量dxi之间的关系2222123ddddsxxx3可简写成:2dddiisxx场函数f(x1,x2,x3)的全微分:ddiiffxxAppendixA.1张量基本概念张量基本概念可用同项内出现两对(或几对)不同哑指标的方法来表示多重求和。表示多重求和。例如:33ijijijijaxxaxx11ij若要对在同项内出现两次以上的指标进行遍历求和,一般应加求和号。如:31112223331iiiiabcabcabcabcAppendixA.1张量基本概念b张量基本概念一般说不能由等式iiiiabac两边消去ai导得iibc但若ai可以任意取值等式始终成立,则可以通过取特殊值使得上式成立AppendixA.1张量基本概念张量基本概念小结通过哑指标可把许多项缩写成项通过自由指标通过哑指标可把许多项缩写成一项,通过自由指标又把许多方程缩写成一个方程。一般说,在一个用指标符号写出的方程中,若有k个独立的自由指标其取值范围是1则这个方个独立的自由指标,其取值范围是1~n,则这个方程代表了nk个分量方程。在方程的某项中若同时出现m对取值范围为1~n的哑指标,则此项含相互迭加的nm个项。AppendixA.1张量分析初步矢量和张量的记法,求和约定符号ij与erst坐标与坐标转换坐标与坐标转换张量的分量转换规律张量方程张量的分量转换规律,张量方程张量代数,商判则张量代数,商判则常用特殊张量,主方向与主分量AppendixA符号与e符号ij与erstij符号(Kroneckerdelta)定义(笛卡尔坐标系)1(=)ijij(i,j=1,2,…,n)0()ijij特性特性1.对称性,由定义可知指标i和j是对称的,即ijjiAppendixA.2符号与e符号ij与erst2.ij的分量集合对应于单位矩阵。例如在三维空间1001112132122233132331000100013132330013.换标符号,具有换标作用。例如:2dddddddijijiijjsxxxxxx即如果符号的两个指标中有个和同项中其它即:如果符号的两个指标中,有一个和同项中其它因子的指标相重,则可以把该因子的那个重指标换成的另个指标而自动消失AppendixA.2的另一个指标,而自动消失。符号与e符号ij与erst类似地有;;ijjkikijikjkaaaaaaaa;;ijkjkiijkikjijjkikijjkklilaaaaAppendixA.2符号与e符号ij与erst符号排列符号或置换符号erst符号(排列符号或置换符号)定义(笛卡尔坐标系)定义(笛卡尔坐标系)1当r,s,t为正序排列时10rste当r,s,t为逆序排列时当t中两个指标值相同时0当r,s,t中两个指标值相同时12rsterssttr或(1,2,3)及其轮流换位得到的(2,3,1)和(3,1,2)称为正序排列。(321)及其轮流换位得到的(213)和(132)称为逆序排列2AppendixA.2(3,2,1)及其轮流换位得到的(2,1,3)和(1,3,2)称为逆序排列。符号与e符号ij与erst特性1共有27个元素其中三个元素为1三个元素1.共有27个元素,其中三个元素为1,三个元素为-1,其余的元素都是02.对其任何两个指标都是反对称的,即3.当三个指标轮流换位时(相当于指标连续对换两rstsrtrtstsreeee次),erst的值不变ttteeeAppendixA.2rststrtrseee符号与e符号ij与erst常用实例1.三个相互正交的单位基矢量构成正交标准化基。它具有如下重要性质:每个基矢量的模为1,即ei•ej=1(当i=j时)不同基矢量互相正交即e•e=0(当ij时)不同基矢量互相正交,即ei•ej=0(当ij时)上述两个性质可以用ij表示统一形式:ei•ej=ijAppendixA.2符号与e符号ij与erst当三个基矢量构成右手系时有当三个基矢量ei,ej,ek构成右手系时,有ijijkkeeeeijijkkeeee而对于左手系有eeee而对于左手系,有:ijijkkeeee3ee3e2e1e3e1e212eAppendixA.212符号与e符号ij与erst2.矢量的点积:()()()abababeeee()()()jjkkjkjkjkjkjjkkababababababeeee3.矢量的叉积(或称矢量积):()()()()jjkkjkjkijkjkiababeababeeeee如果没有特殊说明,我们一般默认为右手系。AppendixA.2符号ij与erst符号ij与erst叉积的几何意义是“面元矢量”,其大小等于由矢cab矢量,其大小等于由矢量a和b构成的平行四边形面积方向沿该面的法面积,方向沿该面元的法线方向。()ijkjkieabcabeijkijkjkjkicabeabeAppendixA.2符号ij与erst符号ij与erstcosababcabcosababibbsinabab()()0abaabbAppendixA.2符号ij与erst符号ij与erst三个矢量a,b,c的混合积是一个标量,其定义为:[,,]()abc=abcabc若交换混合积中相邻两个矢量的顺序,混合积的值反号。当a,b,c构成右手系时,混合积表示这三个矢[]()反号。当a,b,c构成右手系时,混合积表示这三个矢量所构成的平行六面体体积。若构成左手系,则为体积的负值db体积的负值。cd=abbcha符号ij与erst符号ij与erst(A23a)ee利用(A.24)和(A.23a)式有(A.23a)(A.24)()ijijijkjkieabeeabe[,,]()()mmijkjkiaebcabcabc=ee[,,]()()mmijkjkiijkmjkmiijkijkeabceabc由此可见符号ij和erst分别与矢量代数中的点积和叉积有关积有关。AppendixA.2符号ij与erst符号ij与erst三阶行列式的值5.三阶行列式的值aaa111213212223112233213213311223aaaaaaaaaaaaaaa313233aaa312213211233113223aaaaaaaaa123123ijkijkijkijkeaaaeaaaAppendixA.2符号ij与erst符号ij与erst三阶行列式的值5.三阶行列式的值111213212223123123ijkijkijkijkaaaaaaeaaaeaaaaaa313233aaa111rstaaa222123333rstrstijkijkrstaaaeeaaaaaa333rstorosotaaa123prpsptopqrstijkijkqrqsqtaaaeeeaaaaaaAppendixA.2qqq符号ij与erst符号ij与erst三阶行列式的值5.三阶行列式的值orosot123orosotprpsptopqrstijkijkeeeqrqsqt123opqrsteeeopqrsteeAppendixA.2符号ij与erst符号ij与erst恒等式其般形式为5.e-恒等式,其一般形式为:irisitijkrstjrjsjtee即krksktijkistjsktksjtee退化形式为:2eeijkistjsktksjt式26ijkrjkirijkijkeeeeAppendixA.2附录A张量分析引论矢量和张量的记法,求和约定符号ij与erst坐标与坐标转换坐标与坐标转换张量的分量转换规律张量方程张量的分量转换规律,张量方程张量代数,商判则张量代数,商判则常用特殊张量,主方向与主分量AppendixA坐标与坐标转换坐标与坐标转换笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)()xxxxxxxreeeeAppendixA.3123112233(,,)iixxxxxxxreeee坐标与坐标转换坐标与坐标转换笛卡尔坐标系(单位直角坐标系)123112233(,,)iixxxxxxxreeee坐标变化时矢径的变化为坐标变化时,矢径的变化为123123ddddddiiiixxxxxxxxxrrrrre123iAppendixA.3坐标与坐标转换坐标与坐标转换任意坐标系123(,,)xxxr=r坐标变化时,矢径的变化为ddddddrrrr123123ddddddiiiixxxxxxxxxrgAppendixA.3坐标与坐标转换概念坐标线线当一个坐标任意变化而另两个坐标保持不变时,空间点的轨迹,过每个空间点有三根坐标线。空间点的轨迹,过每个空间点有三根坐标线。基矢量矢径对坐标的偏导数定义的三个基矢量gi(1,2,3)iiixrgAppendixA.3坐标与坐标转换坐标与坐标转换参考架()xxxxxxxreeee参考架空间每点处有三个基矢量,它们组成一个参考架123112233(,,)iixxxxxxxreeee或称坐标架。任何具有方向性的物理量都可以对其相应作用点处的参考架分解。相应作用点处的参考架分解。iiuug对笛卡尔坐标系:rrr112233123;;xxxrrrgegegeAppendixA.3坐标与坐标转换坐标与坐标转换iiuug三个相互正交的单位基矢量ei构成正交标准化基AppendixA.3坐标与坐标转换欧氏空间中的一般坐标系现在的坐标线可能不再正交;不同点处的坐标线可能不再平行不同点处的坐标线可能不再平行;基矢量的大小和方向都可能随点而异;各点处的参考架不再是正交标准化基。AppendixA.3坐标与坐标转换坐标与坐标转换坐标转换坐标转换pp'e3r0r2e3ee2e1o1e(A38);eeeeAppendixA.3(A.38);ijijijijeeee坐标与坐标转换0r2e3e将新基对老基分解:ieje1e112233iiiiijjeeeee(A.38);ijijijijeeee转换系数:反之:cos(,)ijijijji=eeeeee反之:eeeee112233jjjjijieeeeeAppendixA.3坐标与坐标转换0r2e3e1e0rr+r1e(A38);eeee0,,()iijjiixxx0rerere(A.38);ijijijijeeee向新坐标轴投影,即用点乘上式两边,则左边:iei右边:ikkikkiixxxreee=00()()()ijjikkijijixxxx0r+reeeeeAppendixA.3坐标与坐标转换00()()()ikkikkiiijjikkijijixxxxxxx0reee=r+reeeee由上述两式可得新坐标用老坐标表示的表达式()经过类似推导可得老坐标用新坐标表示的表达式0()iijjixxx经过类似推导可得老坐标用新坐标表示的表达式()0()jijijxxxAppendixA.3坐标与坐标转换()xxx00()()iijjijijijxxxxxx坐标转换的矩阵形式(设新老坐标原点重合)标原点重合)11112131xxxxxx或2212223233132333xxxxxx或1112131121222322Txxxxxx或31323333xxAppendixA.3坐标与坐标转换坐标与坐标转换坐标转换的一般定义坐标转换的一般定义设在三维欧氏空间中任选两个新、老坐标系,和是同空间点的新老坐标值则方程组ix和是同一空间点P的新、老坐标值,则方程组jx(123)xxxij(A53)定义了由老坐标到新坐标的坐标转换,称正转换(,1,2,3)iijxxxij(A.53)定义了由老坐标到新坐标的坐标转换,称转换其逆变换为(,1,2,3)jjixxxij对(A53)式微分(,1,2,3)jjixxxijddiijxxxAppendixA.3对(A.53)式微分ijjx坐标与坐标转换坐标与坐标转换其系数行列式(雅克比行列式)其系数行列式(雅克比行列式)111xxx111123222ixxxxxxx222123ijxxxxJxxxxxxx333123xxxxxxd处处不为零,则存在相应的逆变换,即可反过来用唯一确定dixdjxAppendixA.3坐标与坐标转换容许转换由单值一阶偏导数连续且J处处容许转换由单值、阶偏导数连续、且J处处不为零的转换函数所实现的坐标转换正常转换J处处为正,把右手系转换右手系反常转换J处处为负,把右手系转换成左手系AppendixA.3张量分析引论矢量和张量的记法,求和约定符号ij与erst坐标与坐标转换坐标与坐标转换张量的分量转换规律张量的分量转换规律张量代数,商判则张量代数,商判则常用特殊张量,主方向与主分量AppendixA分量转换规律张量的分量转换规律张量的分量转换规律张量都不会因人为选择不同参考坐标系而改变其张量,都不会因人为选择不同参考坐标系而改变其固有性质,然而其分量的值则与坐标选择密切相关所以张量的分量在坐标转换时应满足定的规律所以,张量的分量在坐标转换时应满足一定的规律,以保证其坐标不变性AppendixA.4分量转换规律标量分量转换规律标量分量转换规律设一个标量在新、老坐标系中的值为和t,则t设个标量在新、老坐标系中的值为和t,则ttt矢量分量转换规律矢量分量转换规律,iijjjijiaaaa,iijjjijiaaaaAppendixA.4分量转换规律张量分量转换规律张量分量转换规律以三维空间的二阶张量为例其分解式是:以三维空间的二阶张量为例,其分解式是:111112121313TTTTeeeeee212122222323313132323333ijijTTTTTTTeeeeeeeeeeeeee其中T为张量分量ee称为基矢量就是把两个ijijTee其中,Tij为张量分量,eiej称为基矢量,就是把两个基矢量并写在一起,不作任何运算,成为构成矢量AppendixA.4的基。分量转换规律张量分量转换规律张量分量转换规律TTeejijieeijijTTeeijmimnjnTeeijmimnjnminjijmnTee即:TTminjijmn即:mnminjijTTmnimjnijTTAppendixA.4mnimjnij分量转换规律高阶张量的分量满足如下转换规律高阶张量的分量满足如下转换规律ijkirjsktrstTTKK…=…rstirjsktijkTTKK…=…rstirjsktijkKKAppendixA.4分量转换规律注:在一个表示全部张量分量集合的指标符号中,自由指标的数目等于张量的阶数K每个自由指标的ijkrstTT……或自由指标的数目等于张量的阶数K,每个自由指标的取值范围等于张量的维数n,各指标在其取值范围内的任何一种可能组合都表示了张量的一个分量,所以维K阶张量共有K个分量以n维K阶张量共有nK个分量。AppendixA.4分量转换规律张量方程张量方程定义每项都由张量组成的方程称为张量方程。or:ijijklklCC0ff0特性具有与坐标选择无关的重要性质可用于0orijjif

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