柯西不等式的证明与推广应用

科技信息 0职校论坛0 SCIENCE＆TECHNOLOGYINFORMATION 2008年 第 11期 柯西不等式的证明与推广应用 徐丽君 (丽水中等专业学校 浙江 丽水 323400) 【摘 要】本文给出了柯西不等式的证明方法，并把它应用到距离问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 与极值问题，进一步探讨它的两种推广形式及应用。说明柯西不等式 与它的推广的使用方法和技巧，揭示柯西不等式在数学领域中的广泛应用。 【关键词】柯西不等式；应用；推广 柯西是法国数学家，1789年 8月21日出生于巴黎，他对数论、代 数、数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 和微分方程等多个数学领域进行了深入的研究，并获得 了许多重要成果．著名的柯西不等式就是其中之一。此不等式一般参 考书上采用构造函数、利用判别式来证明，而本文给出了三种简捷证 明法、利用二次型法、数学归纳法。此不等式导出了距离公式。再将它 应用到求极值的问题上．证明方法还列举了柯西不等式的两种推广形 式和应用。 1．柯西不等式证明方法及其应用 1．1证明方法 定理 1 设a／、b 为任意实数( 1，2，⋯n)，则 ， n 2 f∑ )≤∑q ∑6 (1) 其中等号当且仅当 a／与b 成比例时成立。 证明1 (简捷证明) 设A：∑oi2 B：∑b c=∑c 则等 奎害+熹譬=。耋( +害)≥／窆=12争=z 所 以 +1I>2 即 AB>~C2 证明 2 (利用二次型) 0≤∑( +6。，)z_{∑ 2f∑ 。)xy+{∑6 ) 即关于 、Y的二次型非负定，因此 ∑ ∑ ∑ 。∑6 I>0此即式 (1) 证 明 3 (数学归纳法 ) 当n=l时，显然成立。 当n=2时 ( 1bl+ = 1b1+2口lb,oab2+a2b2≤ lb1+ lb2+a2bl+a2b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 _ =( 2。 2)(62 +6 2) 等号当且仅当a~b2=oab 时成立。 2 假设当n=k时成立，即f∑ )≤∑ ∑6 等号当且仅当 弓6 ( =1，2，⋯ )时成立。 那么，当n=k+l时， k~l “ 1 、 f 、 ∑ 2∑6 =f∑ + )f∑6 ) i 1 i：1 、i ： 1 ， l= 1 ／ ： ∑ bi2+b ∑ ∑6I2+ b ≥∑q ∑6 +26 1／∑ ∑6 + 2 ／≥f∑ )+26 6 26 。 ，¨ l ＼2 =f∑ ) 等号成立当且仅当 ( = ， ，⋯ ) 且∑ 2／∑6 ： 2／6 2时成立。 i= 1 i： l bF b J ． 、 ． ／6 ： ：∑ ／∑6 ( =1，2，⋯ ) i： 1 i： 1 ． · ． ／6 =吗 ／6』 ：％ ／6 (i4=1，2，⋯ ) ． ’ ． ／6F ／6 (f =1，2，⋯ +1) 综上所述，(1)式成立。 1．2柯西不等式的应用 利用柯西不等式我们能够简便证明初等数学中较复杂的代数不 等式、几何不等式以及导出点到直线的距离公式，在此不再赘述。现在 讲一下利用柯西不等式导出空问一点到平面的距离与极值问题。 例 1 利用柯西不等式推导空间一点p(xe,yo,zo)到平面 a：ax+By+ Cz+D=O的距离公d=lAxo+Byo+Cz0+D I／、／ I2 r 解：设pl l、Yl、ZI)是平面 a'．Ax+By+Cz+D=O上任一点，则Axl+ l+ +D=0则lPP l=v瓦 『『的最小值就是P到平面Ot 的距离 由柯西不等式。得、／ ~f(Xo-XI)2+(Yo-YI)2+(Zo-ZI)2一 ≥I A(XO-X1)+BOr『y1),-}-C(z0 I = IA 0+By Czo+D I 即lPP。l=lAx。+B + 旷hD l／、／ 当且仅当PP J_平面 时取等号即点P ( 0)到平面 a'Ax+By+Cz+D=O的距离公式是 d= IAx0+Byn+ 0十D I／、／ f r 例2 (极值问题)如果计 ·慨 1，q>0那么当且仅当arx1一 ．= 时／ )=口 1 ⋯+ 的最小值是 1／(1／al+⋯+1 证明： 1+⋯+‰=—— =二二I、／嘶 1+⋯+—— =二_、／ 、／al 、／％ ≤(1／al+⋯+1／％)‘(alx1 + 2 ⋯+0 ‘ 即alx1 a ⋯+珥 ≥1／(1／al+⋯+1 当且仅当、／ 1／—— 一 一 ．、／ ／— 一 即 arx,。一· 时 、／al V％ ／ = l ⋯+ 的最小值是 1／(1／a~+⋯+liar) 这是个条件极值问题，是在 +⋯ ：1条件下才成立。若把这个 条件变成 。 慨 ⋯慨，l2=Ⅱ，求 ． ， ) +⋯ 的最大值，同样也能得出。 只需 1 -Ix ⋯ (1 1 +⋯+1’≥ 2+⋯慨 即na>I(x1 2+⋯ 亦即 ：+⋯ ≤、 当且仅当 F⋯ 等号成立。由此可得／ ) 。 ⋯ 的最大值是、 。这两个极值原理能够更方便的解决 中学数学与数学竞赛题中一些求极值问题。 2．柯西不等式的推广 定理2 >0 i=1，2⋯mj=l，2⋯n， m，n∈N，m≥2，n≥2， ／m ＼ ， ＼／m ＼ ，m ＼ 贝IJl∑a／laa⋯‰)≤{∑ ){∑ I．．．I∑‰n) (2) 当且仅当all：口n：⋯：吼 n21： ：⋯：Ⅱ2．t=⋯=‰1：％：⋯：‰ 时等号成立。 证明：记∑ = q。：蟛⋯：％．．．．：‰= i= l (2)式甘( + ⋯+ ≤(S1S2⋯ “ {=》( + +⋯+7 ／(SlS2⋯S ≤1 维普资讯 http://www.cqvip.com 科技信息 0职校论坛0 SCIENCE＆TECHNOLOGY INFORMATION 2008年 第 l1期 由均值不等 式 r／(stS2⋯s = 1 ⋯aln)／(SiS2⋯s ≤ ( )：(量 一：(釜) 将得到的m个同向不等式相加 (TI+T2⋯rm)／(S ·s ≤(∑(1iln／S。n+∑ ／5 +．_·+∑C／s：}／n ： ／n：1 ． ‘．(2、式成立 。 由均值不等式取等号的条件知，当且仅当 o,／S1=adS：⋯=％／5 ( 1，2⋯m) 即all：0l2：⋯：0ln=oal：oe2：⋯：％⋯ -= ： ：⋯： 时等号成立。为了使于 应用，在范例前给出柯西不等式推广的相应特例。在定理 2中，令 m=2 有 推论 1 设 npO，6 >O，i=1，2，⋯n，n≥2则 l啦⋯％+6lb2⋯6 ≤ 1n+bin)(ct2n+b ⋯( +6 (3) 当且仅当al：啦：⋯：％=61：62__．·：6 时等号成立 型 例3求证 + 鲁≥(。 2+6 2) ( b>0，n (o， })) 当且仅当x=arct,m(~--1 时等号成立 2 2 证明：( +6 J =[( 斋 ) (。击 ) +(。 击 o(6击／c ) ] ， 2 <~(sin2x⋯ )( + ) =( + ) ． · ． a + ≥(。斋+6 ) 当且仅当 in素 ： ：：： ：。 ： ：+2 当且仅当s ：— 一=c邮 +2 ：— s n c +2 即 =arctan(手) 时等号成立 定理 3 设 口．b ∈R ．(1≤i≤mn≥2)．0∈R’ ≤ ≤⋯≤ 则对 (o， 有 (i 1 )(i 1 )≤(i 1 )(i ) ＼= ，、= ， 、= ，＼=l ／ 等号成立当且仅当 01 = 02 一 ‘ 0 n 证明：当n=2时(。 6 + 6 )(。 6IⅡ+ 6 ) ：。l 6 0 啦 6 6l + 6 。 6 a+啦o6 2 0 =。 6 + 6 ( )( b2) ub：Ol／。b ,)( oa)+ 6 ≤ 。 06 0+ 6 0+嘶06 + 6 =(。 0+啦0)(6。 +6。0) 等号成立当且仅当 b x1 9 U 假设当n=k时成立，即 (i耋1 ／i 1 i耋1 i 1 、= 、= ， 、= ，、= ， 等号成立当且仅当 9 一 ’= k U l U U 那么当 n=k+l时 ( + )(1 +啦“ ) ： ∑ 6 ∑ 6 + 6 ∑ 6 + 6 。。 + 6“ ≤( 1( 0i I／i I)+ (鲁) I 、= 、=， ⋯ E + 6 ( 04~+I) hi~+ 6 ( + )(I + ) =(∑ )(∑6 、i = I ， 、i= 1 ， 等号成立当且仅当 al_一 ⋯ -： DI b2 DM 综上所述定理 3成立 在定理 3中令 0=2有 推论 2 设 q，b ∈R ，(1≤ ≤ n≥2)则对 ∈(O，2)有 {∑ 6 {∑ 6 )≤1∑ 1{∑6 ) 、i = 1 ／、i= 1 ／ 、i= 1 ／ 、i= 1 ， 等号成立当且仅当。al一_ 一 一 b1 D2 b 上面我们阐述了柯西不等式和它的推广及其应用。定理2是其中 一 个推广形式，它把柯西不等式中的次数扩展到 n次，每一项的个数 扩展到 n个。要用定理 2证明不等式，应把所证不等式中的项的次数 与每一项的个数化为相等。而定理3是把柯西不等式中每一项的指数 推广到了 次与0一 次，也就是说他们项之间不是同次项 ，而是次数 相加等于某个常数。柯西不等式是这两个定理的特例。这两个定理拓 宽柯西不等式的应用范围。 【参考文献】 [1]斐礼文．数学分析中的典型问题与方法[M】．高等教育出版社，1993，5：270． [2]徐幼明．柯西不等式的推广及其应用明．数学通讯，1996，12：25—26． [3]王玉兰．柯西不等式的一个简单证明及应用明．内蒙古科技与经济，2002，8 135． [责任编辑：张艳芳] (上接第254页)己才能的舞台，还可以为企业带来新的理念和生机 ， 校企合作模式也能给企业带来新的效益增长点和生机，也为敦煌旅游 纪念品的发展走出一条新路子。陕西省某文物复仿制公司根据 自：身专 业人才少，研发力量薄弱的特点与陕西职业技术学院多方协商，强强 联手，打造了陕西旅游念品新形象。 旅游产品将对推广地方形象产生积极的作用。旅游纪念品既：巳旅 游业的名片，也是地方形象的名片。在旅游业发达的国家和地区，旅游 纪念品、旅游商品收入占旅游总收入的4O％一6O％。所以，旅游纪j念品 的 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 与开发，对于增加敦煌旅游业的附加值，拉动内需，促进敦煌经 济和社会的发展具有重要意义。由此可见，学院可与敦煌各工艺公司 联合，“产、学、研”结合，开发敦煌特色旅游纪念品，既有利于拓宽学院 毕业生就业渠道．也可以促进我市经济发展 ．做到职业教育服务于地 方经济建设。 【参考文献】 [1]狄成杰．《建产教结合模式促职业教育发展》明．《中国职业技术教育》．2002．2 [2]酒泉市统计局．《旅游业对敦煌市区域经济拉动力的调查分析》．2004．07．06． [3]张晓亮，曾伟，何翠霞．《敦煌旅游业势头强劲》明．《甘肃经济日报》．2007．2．2． [4]《典藏中国——敦煌)[MVP国旅游出版社． 作者简介：王权朝．酒泉职业技术学院讲师．甘肃省美术家协会会员酒泉书 画院副院长。 [责任编辑 ：张新雷] 237 脚 6 啦 ∑ 维普资讯 http://www.cqvip.com bai 铅笔 bai 铅笔 bai 标注 用排序不等式证 bai 标注 拆成n项，然后每一项可用上面那样证，再加起来。 bai 铅笔