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实验四 微分方程的数值解.doc

实验四 微分方程的数值解

whxred
2013-12-22 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《实验四 微分方程的数值解doc》,可适用于高等教育领域

实验四微分方程数值解及应用  一 引例  在世纪末英国人马尔萨斯在他出版的一本专著中对人口数量的增长趋势进行了模拟提出了人口的指数增长模式导致最后会出现人口数量超过地球的承受容量即人口爆炸问题。虽然马尔萨斯人口模拟忽略了一些人口增长的重要因素但是他为以后人口模型的改进提供了基础下面将介绍著名的马尔萨斯人口模型及改进。马尔萨斯认为:单位时间内人口的出生数量和死亡数量与人口总数成正比例即人口出生率和死亡率都是常数因此人口的净增长率为常数。设时刻的人口数量为人口出生率为死亡率为则有:从而其中:称为净增长率(常数)。因此马尔萨斯人口模型如下:。该微积分方程初值问题的解析解:。用此模型预测某国年人口数量的误差为年人口数量的误差为年人口数量的误差达年将达到多个亿。该模型对于长期预测不合理。针对马尔萨斯人口模型的不足年荷兰生物学家Verhulst提出了如下改进:由于资源的限制人口存在最大值(极限)。因此人口增长率不应该是常数假设增长率是随着人口数量接近而线性递增:从而得到改进后的人口模型为称为逻辑斯谛增长模型。刻画世界千变万化的规律微分方程是最有力的工具。二、微分方程的数值解法讨论一阶微分方程的初值问题()或一阶微分方程组的初值问题其中是向量函数为自变量。微分方程的数值解法的基本原理:引入自变量的取值点列定义称为步长常用等间距的步长(与无关记为)假设精确解为。为了寻求的近似值根据一定的原理结合当前得到的近似解近似地表示该点或前一点的导数值由此推出计算的迭代公式。.​ 欧拉方法欧拉方法是一种简单的求解初值问题的数值逼近方法其基本思路为:对方程()在小区间上用差商代替导数)用左端点替换函数中的得到方程()的近似表达式设则的近似值为()其中为初始点()称为显示欧拉公式也称向前欧拉公式。向前欧拉法简单易于计算但精度却不高收敛速度慢。)用右端点替换函数中的()其中为初始点()称为隐示欧拉公式也称向后欧拉公式。这是一个非线性方程无法直接计算。在计算精度、收敛速度方面与向前欧拉算法相同。)将()式与()式加以平均得到()称为梯形公式。与前两个方法相比该方法的计算精度高、收敛速度快。但迭代计算与()式一样繁!)改进的欧拉公式:先由公式()算出的预测值然后带入梯形公式()的右端作为校正即()称为改进的欧拉公式。还可以写为人们常用的是向前欧拉公式和改进的欧拉公式。且欧拉法可以推广到求解微分方程组的情形。练习:用上述方法求解微分方程初值问题要求:取步长分别用三种数值解法求解并结合其精确解对求解误差进行分析比较。首先用解析法得到其精确解。其次用数值解法向前欧拉算法迭代公式为向后欧拉算法迭代公式为.​ 龙格库塔方法龙格库塔方法简称方法是利用泰勒展式将在处展开并取其前面若干项来近似而得到公式如果则的近似值为若则称以上迭代公式为阶公式的大小决定误差的高低高阶高精度。要得到一个阶公式关键在于如何选取使之满足界的要求。阶公式中点公式改进的欧拉公式阶公式阶公式在MATLAB软件中含有数值求解的系统函数其实现原理就是龙格库塔方法。三、实验作业.求下列微分方程的解析解。)一阶线性方程)高阶线性齐次方程)高阶线性非齐次方程用两种方法求解方程(单摆运动的近似解析解)当单摆初始角度较小时也较小从单摆运动微分方程可近似写为求此方程的解析解并与数值解进行比较。应用题鱼雷击舰问题一敌舰在某海域内沿正北方向航行时我方战舰恰位于敌舰的正西方向nmail处。我舰向敌舰发射制导鱼雷敌舰速度为nmailmin,鱼雷速度为敌舰速度的倍问敌舰航行多远时将被击中?求解下列问题a)​ 建立微分方程模型并求解析解和数值解。b)​ 用计算机模拟的方法模拟鱼追击敌舰的过程。绘出模拟追击曲线及列表给出不同时刻鱼雷与敌舰的位置。提示:现对追击过程进行模拟当两个动点的距离小于(nmail)时则认为我舰点已经追上敌舰点。模拟过程实际上是产生平面上两个点列:和的过程。MATLAB程序如下P=,dt=v=v=*v设置初始数据fork=:t=tdtq=v*tu(k)=v(k)=q()计算点在时刻的坐标w=qpd=norm(w)计算向量及两点间的距离ifd<=,break,end若两点间的距离小于则跳出循环w=wdp=pv*dt*w计算点在时刻的坐标x(k)=p()y(k)=p()分离横坐标与纵坐标endplot(x,y,u,v’,o’)作图

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