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欧拉公式的证明

天凉好个秋
2010-01-14 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《欧拉公式的证明pdf》,可适用于高等教育领域

!!Q型Q:!iScienceendTechnOIOgyInnovationHerald欧拉公式的推论与应用学术论坛王玉华(辽宁广播电视大学辽宁沈阳)摘要:本文由欧拉公式得列了重要的推论。井对其应用迁行了分析蔫示了指文函敦与三角函数之间的内在联系指出了欧拉公式及其推论在解决相关同是中的重要作用。关键词:欧拉公式推论应用中图分类号:G文献标识码:A文章编号:一x()(a)一一己l言欧拉公式揭示了指数函数和三角函数的关系在数学中有着广泛的应用.为此本文对欧拉公式作了进一步的研究得到了一些重要推论并对其推论的应用进行了分析以此进一步揭示了欧拉公式的含义及其在解决某些问题的有效性.为了叙述方便对欧拉公式常见结论引入如下:.欧拉公式e扫=COSZis缸z(z∈复数集).常见结论:()e一岔=COSzis加Z()sh=去(e扛e咄)()cost=妄(e虹e柚):h)h.七c()酽螂千“sh等(k=Ol⋯俨)欧拉公式的推论由欧拉公式可以得到很多重要推论。仅举两例.子.H月推论e台‘=COS∑“/sin∑ft只需令∑ft=f代入欧拉公式即可验证.k=l推论z=e/t设(t为实数)则有薹c:z^="COS"jt(c。s筹sn詈)^=·‘●证明由二项式定理∑c:z‘=(z)”主。∥(e“)n:enit(。j●e。岛一:即e‰。s扣‰s”(cos了nt椭如争结论成立.应用分析以上得到的推论有着广泛的应用.三角函数的倍角公式的推导由推论令n=则有e‘“b’=cos(tlt)is讷(tIt)=eltle也=(costtisinfIXcost/sint)=(COStlcost一shlsht)/(sinlCOStCOStlsint)由复数相等条件有:cos(tlf)=COStlcost一sintlsintsh(tl)=sintCOStCOStlsin即两角和的正余弦公式.以(一代替‘可以得到两角差的正、余弦公式利用商的关系可以得到相应正、余切公式同时还可得到倍角公式及半角公式.当n=且f=分=‘时可以得到倍角的正、余弦公式等等..一些系数为组合数的三角函数和式的讨论由推论:”COS吾(cintfs蛔警)=窆《∥'’'’。“=荟o(costisin∥=窆c:(cos舡fsinit)=∑碟cosktiZ碟sinktkOtO根据复数相等条件有:毒《c“扛“co主cos詈★=O●^套c:sinkt="cosits呼I=O∑《sinktI()÷‘’有杰《c。s幻对()两边对t求导:甩r=tan()()昙c薹《cos七=兰cz”cos”主cos詈Z七asinkt=”疗cos“=tsinf.COSnt一一旦cos一一tsin曼ZZ即:一月"cos”l三fsh三cos兰cos三s如争观nICOSnI圭s讷半则有:窆七csh幻铆nlcosnI丢s讷堕岩()同理()式两边对t求导有:窆七acoskt=mnlcosnI/'COs半()科技创新导报ScienceandTechnologyInnovationHerald∑七《sinkt()÷()有∑n七CcoS斯★=O=咖半㈤类似()一()这种组合数为系数的三角函数和式的计算按常规方法处理是非常困难的.但利用欧拉公式的推论是非常简洁的.而且得到的结论结构对称形式美观呈规律性.转化的思想是数学中的重要思想.从以上讨论可以看出使用欧拉公式及其推论的实质就是进行三角函数、指数函数及幂函数的相互转化.参考文献【l】复变函数.人民教育出版社【】高中代数(上册).人民教育出版社.万方数据

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