习
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
选解
习题 1
8 解 设 ,则得
9 解 设 ,则
11 解 由
矩阵 的秩为2,所以 的维数是2, 的最大无关的行向量组
对 应 于 的 基 , 从 而 均 为
的基.
14 证明 由
, 得 . 所 以
,由 线性无关,
所以 ,从而 的最大无
关组与 的列向量组 的最大无关组对应,从而的结论.
习题 2
2 证明(1) 直接验证内积的四条公里成立.
(2)
3 证 明 (1)
(2) 类似证明.
10证明
11证明 由
得
即
由 的任意性知
是单位阵,所以 是 的
规范
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正交基.
12 证明
13 证明
14 证明(1) ， ，所
以 ，从而 是线性子空间。
（ 2）先取 ，再取 ，…，最后取
，则 就是
的基。所以 。
习题 3
9 证明 （1） ，所以 ，
从而 。反过来， ，
，所以 。
（2） ，所以
，又 ，所以 。
10 证明 设 的特征值为 ，相应的特征向
量为 ，则 是相应于特征值 的特征子空间的基，从而
相应于特征值 的特征子空间 的所有向量都可由 表示。
由 ，从而 ，所以存
在 ，所以 也是 的特征向量，而
线性无关，所以 是 的基，且 在基
下的表示矩阵为 。
13 证明 有相同
的秩和行列式因子，注意到 ，所以最后一个等
价条件是显然的。
18 证明 由 ， 无重根，
所以 是最小多项式。记 ，由
， 得 。 由
，所以 可逆。
由于 ，所以 可由 的低次幂表示。故不防设
， 则 ， 所 以
也 是 最 小 多 项 式 ， 比 较 系 数 得
。
19 证 明
。
20 证 明
。
21 证明 由 知 的最小多项式 是 的因子。
由 无重根，所以 无重根，从而 与对角阵相似。
25 证明 取 ，使得 ，从而 。对 作列分块，
即令 ，将 的列向量组规范正交化得 ，
其中 是一个酉矩阵， 是一个上三角阵。从而 ，
注意到上三角阵的逆矩阵也是上三角阵，上三角阵的乘积也是上三角
阵，所以 。
26 证明 由 25 题知道存在酉矩阵 使得 。若 是对
角阵，则从而 ，
，所以 正规。
反过来，若 正规，则由前面同样计算可得 ，注意到 是
上三角矩阵，直接计算知 ，从而 是对角阵。
习题 4
1 证明 （1）
（ 2 ）
（3）
2 证明 充分性
， 所 以
线性相关，且 。必要性显然。
3 直接计算
4 直接验证范数的三条公里
5 证明 令 ，验证 是内积，从而 是
向量范数。
6 证明 直接验证矩阵范数的 4 条公里，前三条显然。看相容性
8 证明（1） 。
（2） 。
10 证 明 设 的 特 征 值 为 ， 注 意 到
立得结果。
习题 5
1
2 证明 必要性显然。
充分性 取 使得 ，则 ，从而 ，
所以 ，
从而 ，所以 。
4 证明 ，所以 ，
从而 时， 。
17 解 ， 对 于
，若 ，则
（1） ，取 ，则 ，所以
记 ，则 ,注意到
所以
(2) ,取 ,则 ，所以
记 ， 则 , 其 中
.由 ,直接计算知 的最
小 多 项 式 为 . 取 辅 助 多 项 式
.则
另解:
18 解 , 其 中
满足 .若 ,则 .
对本题的 ,取 ,则 ,有 ,所以 ,由
所以
习题 7
11 证明 。事实上，
由 得，
，即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，从而
原方程组相容。
习题 8
1 证 明 存 在 正 交 阵 使 得 , 从 而
.所以 正(负)定的充要条件是 的特征
值恒正 (负 ),由于 的对角线上的元素含于 ,因而 ,这等价于
.
2 证明 若 ,则存在 使得 ,从而
正定 ,同理可得 时 ,
负定,从而 的特征值必在区间 上.
3 按提示做即可.
8 证明 ,直接计算知 是 的一个特征值 ,所以
.
浙公网安备 33021202002483