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2010届高三数学一轮复习必备精品:空间几何体的表面积和体积.doc

2010届高三数学一轮复习必备精品:空间几何体的表面积和体积

丽水和
2010-01-09 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《2010届高三数学一轮复习必备精品:空间几何体的表面积和体积doc》,可适用于求职/职场领域

~学年度高三数学(人教版A版)第一轮复习资料第讲空间几何体的表面积和体积一.【课标要求】了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)。二.【命题走向】近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题也常以几何体为依托因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式同时也要学会运用等价转化思想会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题会等体积转化求解问题会把立体问题转化为平面问题求解会运用“割补法”等求解。由于本讲公式多反映在考题上预测年高考有以下特色:()用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式()考题可能为:与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题三.【要点精讲】.多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体积(V)棱柱棱柱直截面周长×lS侧S底S底·h=S直截面·h直棱柱chS底·h棱锥棱锥各侧面积之和S侧S底S底·h正棱锥ch′棱台棱台各侧面面积之和S侧S上底S下底h(S上底S下底)正棱台(cc′)h′表中S表示面积c′、c分别表示上、下底面周长h表斜高h′表示斜高l表示侧棱长。.旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧πrlπrlπ(rr)lS全πr(lr)πr(lr)π(rr)lπ(rr)πRVπrh(即πrl)πrhπh(rrrr)πR表中l、h分别表示母线、高r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径r、r分别表示圆台上、下底面半径R表示半径四.【典例解析】题型:柱体的体积和表面积例.一个长方体全面积是cm所有棱长的和是cm求长方体的对角线长解:设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm依题意得:由()得:xyzxyyzxz=()由()-()得xyz=即l=所以l=(cm)。点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、体积之间的关系。例.如图所示在平行六面体ABCDABCD中已知AB=AD=AA=AB⊥AD∠AAB=∠AAD=。()求证:顶点A在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上()求这个平行六面体的体积图图解析:()如图连结AO则AO⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M作ON⊥AD交AD于N连结AMAN。由三垂线定得得AM⊥ABAN⊥AD。∵∠AAM=∠AAN∴Rt△ANA≌Rt△AMA,∴AM=AN从而OM=ON。∴点O在∠BAD的平分线上。()∵AM=AAcos=×=∴AO==。又在Rt△AOA中AO=AA–AO=-=∴AO=平行六面体的体积为EMBEDEquation。题型:柱体的表面积、体积综合问题例.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是这个长方体对角线的长是()A.B.C.D.解析:设长方体共一顶点的三边长分别为a=b=c=则对角线l的长为l=答案D。点评:解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。例.如图三棱柱ABCABC中若E、F分别为AB、AC的中点平面EBC将三棱柱分成体积为V、V的两部分那么V∶V=。解:设三棱柱的高为h上下底的面积为S体积为V则V=VV=Sh。∵E、F分别为AB、AC的中点∴S△AEF=S,V=h(SS)=ShV=ShV=Sh∴V∶V=∶。点评:解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可题型:锥体的体积和表面积例.(山东卷理)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()ABCD【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为,高为,体积为,四棱锥的底面边长为高为所以体积为所以该几何体的体积为答案:C【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地计算出几何体的体积(四川卷文)如图已知六棱锥的底面是正六边形则下列结论正确的是ABC直线∥D直线所成的角为°【答案】D【解析】∵AD与PB在平面的射影AB不垂直所以A不成立又平面PAB⊥平面PAE所以也不成立BC∥AD∥平面PAD,∴直线∥也不成立。在中PA=AD=AB∴∠PDA=°∴D正确(全国卷Ⅱ文)设OA是球O的半径M是OA的中点过M且与OA成°角的平面截球O的表面得到圆C。若圆C的面积等于则球O的表面积等于×答案:π解析:本题考查立体几何球面知识注意结合平面几何知识进行运算由例(年广东卷文)(本小题满分分)某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示,墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH图、图分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图()请画出该安全标识墩的侧(左)视图()求该安全标识墩的体积()证明:直线BD平面PEG【解析】()侧视图同正视图,如下图所示   (2)该安全标识墩的体积为:        (3)如图,连结EG,HF及BDEG与HF相交于O,连结PO由正四棱锥的性质可知,平面EFGH,又平面PEG又平面PEG例.ABCD是边长为的正方形E、F分别是AB、AD的中点GB垂直于正方形ABCD所在的平面且GC=求点B到平面EFC的距离?解:如图取EF的中点O连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B-EFG。设点B到平面EFG的距离为hBD=EFCO=。。而GC⊥平面ABCD且GC=。由得EMBEDEquation·点评:该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法从而简化了运算。例.年上海卷理)已知三个球的半径满足则它们的表面积满足的等量关系是【答案】【解析】同理:即R=R=R=由得例.(安徽卷文)(本小题满分分)如图ABCD的边长为的正方形直线l与平面ABCD平行g和F式l上的两个不同点且EA=EDFB=FC和是平面ABCD内的两点和都与平面ABCD垂直(Ⅰ)证明:直线垂直且平分线段AD:(Ⅱ)若∠EAD=∠EAB=°EF=求多面体ABCDEF的体积。【思路】根据空间线面关系可证线线垂直由分割法可求得多面体体积体现的是一种部分与整体的基本思想【解析】()由于EA=ED且点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上又ABCD是四方形线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线即点EF都居线段AD的垂直平分线上所以,直线EF垂直平分线段AD()连接EB、EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥EABCD和正四面体EBCF两部分设AD中点为M,在Rt△MEE中,由于ME=,ABCD又BCF=VC-BEF=VC-BEA=VE-ABC多面体ABCDEF的体积为VEABCD+VEBCF=例.()(浙江卷理)如图在长方形中为的中点为线段(端点除外)上一动点.现将沿折起使平面平面.在平面内过点作为垂足.设则的取值范围是.答案:【解析】此题的破解可采用二个极端位置法即对于F位于DC的中点时随着F点到C点时因平面即有对于又因此有则有因此的取值范围是例.(浙江卷文)若某几何体的三视图(单位:)如图所示则此几何体的体积是.【命题意图】此题主要是考查了几何体的三视图通过三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求与表面积和体积结合的考查方法.【解析】该几何体是由二个长方体组成下面体积为上面的长方体体积为因此其几何体的体积为例.全国卷Ⅰ理)直三棱柱的各顶点都在同一球面上若,则此球的表面积等于。解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=,设此圆圆心为球心为在中易得球半径故此球的表面积为例.已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半且求球的表面积解:设截面圆心为连结设球半径为则在中∴∴∴。点评:正确应用球的表面积公式建立平面圆与球的半径之间的关系。例.如图所示球面上有四个点P、A、B、C如果PAPBPC两两互相垂直且PA=PB=PC=a求这个球的表面积。解析:如图设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r圆心为O′球心到该圆面的距离为d。在三棱锥PABC中∵PAPBPC两两互相垂直且PA=PB=PC=a,∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′。由正弦定理得=r,∴r=a。又根据球的截面的性质有OO′⊥平面ABC而PO′⊥平面ABC∴P、O、O′共线球的半径R=。又PO′===a∴OO′=R-a=d=,(R-a)=R–(a)解得R=a,∴S球=πR=πa。点评:本题也可用补形法求解。将PABC补成一个正方体由对称性可知正方体内接于球则球的直径就是正方体的对角线易得球半径R=a,下略题型:球的面积、体积综合问题例.()表面积为的球其内接正四棱柱的高是求这个正四棱柱的表面积。()正四面体ABCD的棱长为a球O是内切球球O是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球求球O的体积。解:()设球半径为正四棱柱底面边长为则作轴截面如图又∵∴∴∴∴HYPERLINK"http:wwwksucom"()如图设球O半径为R球O的半径为rE为CD中点球O与平面ACD、BCD切于点F、G球O与平面ACD切于点H由题设HYPERLINK"http:wwwksucom"∵ △AOF∽△AEG∴ 得HYPERLINK"http:wwwksucom"∵ △AOH∽△AOF∴得HYPERLINK"http:wwwksucom"∴ HYPERLINK"http:wwwksucom"点评:正四面体的内切球与各面的切点是面的中心球心到各面的距离相等题型:球的经纬度、球面距离问题例.()我国首都靠近北纬纬线求北纬纬线的长度等于多少?(地球半径大约为)()在半径为的球面上有三点求球心到经过这三点的截面的距离。解:()如图是北纬上一点是它的半径∴设是北纬的纬线长∵∴答:北纬纬线长约等于.()解:设经过三点的截面为⊙设球心为连结则平面∵∴所以球心到截面距离为.例.在北纬圈上有两点设该纬度圈上两点的劣弧长为(为地球半径)求两点间的球面距离解:设北纬圈的半径为则设为北纬圈的圆心∴∴∴∴∴中所以两点的球面距离等于.点评:要求两点的球面距离必须先求出两点的直线距离再求出这两点的球心角进而求出这两点的球面距离江苏卷)(本小题满分分)如图在直三棱柱中、分别是、的中点点在上。求证:()EF∥平面ABC()平面平面【解析】本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系考查空间想象能力、推理论证能力。满分分五.【思维总结】.正四面体的性质设正四面体的棱长为a则这个正四面体的()全面积:S全=a()体积:V=a()对棱中点连线段的长:d=a()内切球半径:r=a()外接球半径R=a()正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。.直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体直角四面体有下列性质:如图在直角四面体AOCB中∠AOB=∠BOC=∠COA=°OA=a,OB=b,OC=c。则:①不含直角的底面ABC是锐角三角形②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心③体积V=abc④底面△ABC=EMBEDEquation⑤S△ABC=S△BHC·S△ABC⑥S△BOC=S△AOBS△AOC=S△ABC⑦=⑧外切球半径R=EMBEDEquation⑨内切球半径r=.圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角①如图圆锥的顶角为β母线与下底面所成角为α母线为l高为h底面半径为r则sinα=cos=α=°cosα=sin=②圆台如图圆台母线与下底面所成角为α母线为l高为h上、下底面半径分别为r′、r则h=lsinαrr′=lcosα。③球的截面用一个平面去截一个球截面是圆面()过球心的截面截得的圆叫做球的大圆不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆()球心与截面圆圆心的连线垂直于截面()球心和截面距离d,球半径R截面半径r有关系:r=.经度、纬度:经线:球面上从北极到南极的半个大圆纬线:与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆经度:某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。两点的球面距离:球面上两点之间的最短距离就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度我们把这个弧长叫做两点的球面距离两点的球面距离公式:(其中R为球半径为A,B所对应的球心角的弧度数)wwwksucomwwwksucomPABCDOE正(主)视图侧(左)视图�EMBEDPBrush*MERGEFORMAT����EMBEDPBrush*MERGEFORMAT����EMBEDPBrush*MERGEFORMAT����EMBEDPBrush*MERGEFORMAT���unknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown

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