惯性矩

附录I：截面的几何性质 A FN=σ EA LFl N=∆ PGI TL=ϕ PI Tρτ = 一 截面的静矩和形心 ∫= Ay xdAS A ∫= Ax ydAS A xdA x A∫= A ydA y A∫= A S x y= A Sy x= xASy = yASx = 当截面由若干简单图形组成 ∑ = = n i iiy xAS 1 ∑ = = n i iix yAS 1 一次矩 x y y x y x dA O xASy = yASx = ™1 截面图形的静矩相对坐标轴定义的， 与坐标轴有关 ™2 截面对形心轴的静矩为零 ™3 若截面对某轴的静矩为零，则该轴 必为形心轴 例题例题 I.1I.1 如图所示将截面任意分为两部分A1与A2，证明这两部分面 积对整个截面形心轴xc的面积矩绝对值相等。 设： A1，A2对xc轴的静矩分别为Sxc1和Sxc2 21 xcxcxc SSS += 1A 2A C cx 21 xcxc SS +=0 21 xcxc SS = 证毕 例题例题 I.2I.2 试确定图示梯形面积的形心位置，及其对 底边的静矩。 2211 yAyASx +=解：图形对底边的静矩 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= 32 1 3 2 2 1 hahhbh ( )bah 2 6 2 += 形心位置 a b h x y O C1x C2x 0=x A Sy x= ( ) ( )bah bah + + = 2 2 6 2 ba bah + +⋅= 2 3 二 极惯性矩.惯性矩.惯性积 dAI p 2ρ∫= y x y x ρ dA O dAyI x 2∫= dAxI y 2∫= xydAIxy ∫= 性 质： 9 惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯矩是对点定义的。 9 惯性矩和极惯矩永远为正，惯性积可能为正、为负、为零。 9 任何平面图形对于通过其形心的对称轴和与此对称轴垂直的轴 的惯性积为零。 o )( 12 xx −= 1xy dA dA yy x ∫= Axy xydAI ( )dAxyxydA AA ∫∫ −+= 22 0=9 对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远，其惯性矩越大。 xdA y x dA y 9 组合图形对某一点的极惯性矩或对某一轴的惯性矩、惯性积 ∑ = = n i PiP II 1 ∑ = = n i yiy II 1 ∑ = = n i xix II 1 ∑ = = n i xyixy II 1 惯性半径：任意形状的截面图形的面积为A，则图形对y轴 和x轴的惯性半径分别定义为 dA x y O x y A I i yy = A Ii xx = 惯性半径的特征： 1.惯性半径是对某一坐标轴定义的。 2.惯性半径的单位为m。 3.惯性半径的数值恒取正值。 三 惯性矩.惯性积的平行移轴公式 AaII xcx 2+= abAII xcycxy += C xc yc y xO b a dA cy cx ∫= Ax dAyI 2 ( )∫ += A C dAay 2 ∫= A c dAy 2 ∫+ A cdAya2 ∫+ AdAa2xcI= Aa2+ ∫ =A cc yAdAy AbII ycy 2+= 在所有相互平行的坐标轴中，图形对 形心轴的惯性矩为最小，但图形对形 心轴的惯性积不一定是最小 ¾简单图形（截面）的惯性矩 y zh b ①矩形(b×h) ∫∫ − === 2 2 3 22 12 h hAz bhdybydAyI 12 3 2 hbdAzI Ay == ∫ ②圆（环）形 222 zy +=ρ zyA AAP IIdAzdAydAI +=+== ∫ ∫∫ 22ρ )1( 642 4 4 απ −=== DIII Pzy y z y z D d=α 内直径 ¾组合图形（截面）的惯性矩 简单图形∑= )()( 2 iizziz AaIII ic +== ∑∑ 若有空心部分，则减。 y z aa a a [例] 圆形正方形 zzz III -= ( ) 12 2 4a= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⋅⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ 4264 - 224 aaa ππ 46 5- 3 4 44 aa π= 例题例题 I.3I.3 试求图示三角形（1）对x轴静矩；（2）对x 轴的惯性矩；（3）对x1轴的惯性矩。 cx yAS = x b/2 b/2 h/2 h/2 O y x1 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −= 322 hhbh 12 2bh= y dy ∫=′ Ax dAyI 2 ∫−= 22 2 h h bdyy 12 3bh= 122 1 3bhIx = 24 3bh= 23 2 2 1 bhhII xcx ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+= xc 232 2 bhhhII xcx ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ −+= 2624 23 bhhbhIxc ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= 36 3bhIxc = 9 2 36 33 1 bhbhIx += 4 3bh= （1） （2） （3） 例题例题 I.4I.4 图示为三个等直径圆相切的组合问题,求对形心轴xc的惯性矩. O2、O3到xc轴的距离 O1 O2 O3 xc dd 6 3 2 3 3 1 = O1到xc轴的距离 dd 3 3 2 3 3 2 = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛++⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛+= 224224 3 3 4646 3 464 2 ddddddI xc ππππ 64 11 4dπ= 四 惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的主惯性 轴和主惯性矩 X y O x1 y1 α αα 2sincos 221 xy yxyx x I IIII I −−++= αα 2sincos 221 xy yxyx y I IIII I +−−+= αα 2cos2sin 211 xy yx yx I II I +−= +α 图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯 性矩之和为常量,等于图形对原点的极惯性矩 Pyxyx IIIII =+=+ 11 主惯性轴: 图形对某对坐标轴惯性积为零,这对坐标轴称为该图形 的主惯性轴 主惯性矩: 图形对主轴的惯性矩,称主惯性矩 形心主轴: 过形心的主轴称为主形心轴 形心主矩: 图形对形心主轴的惯性矩称为形心主矩 课堂练习课堂练习 I.I. B.图形两个对称轴的交点必为形心； D.使静矩为零的轴必为对称轴。 C.图形对对称轴的静矩为零； D 在平面图形的几何性质中，（ ）的值可正、可负、也可为零。 A.静矩和惯性矩；B.极惯性矩和惯性矩； C.惯性矩和惯性积；D.静矩和惯性积。 在下列关于平面图形的结论中，（ ）是错误的。 A.图形的对称轴必定通过形心； D 课堂练习课堂练习 I.I. 图示任意形状截面，它的一个形心轴zc把截面分成 Ⅰ和Ⅱ两部分，在以下各式中，（ ）一定成立。 0;.0;. CCCC ZZZZ =−=+ ⅡⅠⅡⅠ IIBIIA Ⅰ Ⅱ ZC 。ⅡⅠⅡⅠ AADISC ==+ .0;. CC ZZ C 课堂练习课堂练习 I.I. 图a、b所示的矩形截面和正方形截面具有相同面积。设它们对对称轴x的惯性矩分别为 对对称轴y的惯性矩分别为 ，则（ ）。 a xI b xIa yI b yI o x y )(a o x y )(b 。，；， ；，；， babababa babababa IIIIDIIIIC IIIIBIIIIA xxyyxxyy xxyyxxyy .. .. ppfp ffpf C 课堂练习课堂练习 I.I. 图示半圆形，若圆心位于坐标原点，则（ ）。 。，；， ；，；， yxyx yxyx II.II. II.II. =≠≠≠ ==≠= yxyx yxyx SSDSSC SSBSSA x y D 任意图形的面积为A，x0轴通过形心C， x1 轴和x0轴平 行，并相距a，已知图形对x1 轴的惯性矩是I1，则对x0 轴的 惯性矩为（ ）。 。； ；； AaDAaC AaBA +=+= −== 1x0 2 1x0 2 1x0x0 II.II. II.0I. 课堂练习课堂练习 I.I. Ca 1x 0x B 课堂练习课堂练习 I.I. 设图示截面对y轴和x轴的惯性矩分别为Iy、Ix，则二者的大小关系是（ ）。 不确定。； ；； .. .. DIIC IIBIIA xy xyxy f p = y R R R2 O x B 课堂练习课堂练习 I.I. 图示任意形状截面，若Oxy轴为一对主形心轴，则（ ）不是一对主轴。 。；；； yxODyxOCxyOBOxyA 1311211 .... 1O 2O O 3O 1y y x 1x C A. 形心轴； B. 主轴 C. 主形心轴 D. 对称轴 在图示开口薄壁截面图形中，当（ ）时，y-z轴始终保持 为一对主轴。 O y x 课堂练习课堂练习 I.I. 任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的（ ）。 B A. y轴不动，x轴平移； D. y、x同时平移。 B. x轴不动，y轴平移； C. x轴不动，y轴任意移动； B