nullnull数学物理方法—— 配套电子
教案
中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载
梁昆淼 编高等学校试用教材高等教育出版社null上课时间: 每学年春季学期
上课地点: 德润楼主讲教师: 王松平（E-mail: phspwang@qdu.edu.cn）
讲课学时（18周）：（共20周，复习考试2周）
72学时；其中：五月一放假2学时。学分：4学分学习成绩：平时成绩10％＋期中10％+期末80%=100%平时作业: 习题 （梁昆淼书）
考试方式：期中、末考试闭卷null第一章 复数与复变函数
第二章 复变函数的积分
第三章 幂级数展开
第四章 留数定理第五章 傅里叶变换第六章 拉普拉斯变换学习内容（72学时）：null第七章 定解问题第八章 分离变量法第九章 级数解法本征值问题
第十章 球函数第十一章 柱函数第十二章 格林函数,解的积分公式
第十三章 积分变换法null引 言
1. 数学物理方法：物理学中的数学方法，主要强调 应用数学
解决物理问题。
如：力学中的微分方程，电动力学，量子力学中的篇微分方程等.
2. 特点：与物理学紧密联系，不是纯数学，为物理学提供数
学工具，它属于物理课程。 太难了！
太重了！
枯燥！
乏味！ 用到的数学知识和物理知识多繁杂
3. 如何学习: 必须具备良好的数学基础，
基本的基础物理知识,
The key: 下功夫，多做习题null不要畏惧，有王老师呢！null第一章 复数与复变函数§1.1 复数与复数运算§1.2 复变函数§1.3 导数§1.4 解析函数§1.5 平面标量场§1.6 多值函数null§1.1 复数与复数运算
复数是数的扩张（完善化）
u自然数
u减法不封闭→整数
u除法不封闭→有理数u不完备√2→实数u方程可解性→复数nullx1 + iy1 x 2 − iy 2x 2 + iy 2 x 2 − iy 2x 2 + y2一1. 复数的基本概念
(1) 复数： 对有序实数（x,y），记为z=x+i y称为复数（i2=-1），
规定：1）z1=z2=x1+ iy1=x2+ iy2 ,当且仅当 x1=x2 , y1=y2
2） z1 + z2=(x1+x2) + i (y1+y2)
3）z1z2=(x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2)=⋅=x 2 y1 − x1 y2
x22 + y 22+ ix1 x2 + y1 y2
2 24） x1 + iy1
x 2 + iy 2 ( x22 + y22 ≠ 0)
(2) 按定义：容易验证加法交换律、结合律，乘法交换律结合律
分配律均成立。nullz1 + z 2 = z1 + z 2 , z1 z 2 = z1 z 2 , =(3)共轭复数： z= x − iy 与 z = x + iy 互为共轭复数。(4)复平面：一对有序
实数(x,y)平面上一
点 (x,y) z1
z 2 z1
z 2 z = z, zz = x 2 + y 2 , z + z = 2 Re z, z − z = 2i Im zyz=x+iy θ
x
复数x+iy
如果把 x 和 y 当作平面上的点的坐标，复数z 就跟平面上的点
一一对应起来，这个平面叫做复数平面或 z平面，x 轴称为实
轴，y 轴称为虚轴.null(5)复数的几种表示法：
1) 几何表示：
一矢量与一复数z构成一一对应，复数的加减与矢量的加减一致 。z1 + z 2 ≥ z1 + z 2z1 − z2 ≤ z1 − z2x + y ≥ zy ≤ zx ≤ z ,yz1z=z1+z2
z2
xxyz1z2z=z1-z2
-z2null ρ = x 2 + y 2ϕ = arctg ( y / x) y = ρ sin ϕ2) 复数的三角形式和指数形式
用极坐标r,φ代替直角坐标x和y来表示复数z.有 x = ρ cos ϕ
则复数z可表示为三角式： z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ )代数式：z = ρe iϕρ = zϕ = Argz 分别叫做该复数的模,和辐角讨论：i) 复数的幅角不能唯一地确定. 如果φ0是其中一个幅角，
则φ=φ0 +2kπ(k=0,±1,±2,…..)也是其幅角，把属于[0, 2 π)
的幅角称为主值幅角，记为 arg z. 0≤arg z <2 π
ii) 复数“零”的幅角无定义，其模为零.
iϕnullρ1 i (ϕ1 −ϕ2 )ρ2利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：
z1 z2 = ρ1 ρ 2ei( ϕ1 +ϕ2 ) = ρ1 ρ2 [cos( ϕ1 + ϕ2 ) + i sin( ϕ1 + ϕ2 )]ρ1
ρ2==[cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )]e z1
z2(6) 复数的乘方与开方：
非零复数ｚ的整数n次幂为:
z n = ρ n einϕ = ρ n (cos nϕ + i sin nϕ )Arg z1
z2z1
z2 z1
z2= Argz1 − Argz2Argz1 z2 = Argz1 + Argz2=z1 z2 = z1 z2nullz = ρ e= ρ (cos(cos ϕ + i sin ϕ ) n = cos nϕ + i sin nϕρ=1时非零复数ｚ的整数n次根式 为:)(k = 0,1,2....n − 1)+ i sinninnϕ + 2kπ
nϕ + 2kπ
nϕ + 2 kπ
n2. 无穷远点
复平面上一点与球面上的
点一一对应 ，复平面上∝ 点
与球面上N相对应，点的幅角无意义。复平面+ ∝为闭平面
。（全平面扩充平面）。AA’NSnull+ i 2i = ei ( + 2kπ )−( +2kπ)= 20
2x + ( y + 1)例1. 求 iik = 0,±1 ± 2K
π
= e 2iπ
2i
例2. 求z −i π
z +i 4表示的图形π
4<0 < argz − i
z + ix 2 + y 2 > 1， ( x + 1)2 + y 2 > 2于是有： x < 0,解：= − 2 x
x + ( y + 1) 2x 2 + y 2 − 1
2x + i( y − 1)
x + i( y + 1)z − i
z + i解：2> 0 − 2 x
x + ( y + 1)x 2 + y 2 − 1
2 2null§1.2 复变函数1. 复变函数的定义： E为复数集，对E上每一复数，有唯一确定的复数w与之对应，则称在E上确定了一个单值
函数， 记 w=f(z) (z∈E)。若z与多个w对应，
则称在E上确定义了一个多值函数，E为函数
的定义域。2 . 区域的概念：满足一定条件的特殊集合，首先
说明
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：10 点的邻域：以Z0为中心（任意小正数）为半径的圆内点的集合，称为z0的 ε邻域，即 z − z0 < ε20 内点：若z0及其邻域的场属于E，则称z0为E的内点.30 边界点：若z0的任意邻域总有属于点集E和不属于点集E的点称为E的边界点。边界点的全体构成边界。null40 区域：满足下列两个条件的点集B称为区域。
（1） 每一点均为内点。（开集性）
（2） 连续性：B内任意两点都可用完全属于B的曲线连接起来。
50 闭区域：B+边界Γ=闭区域
60 单连域：在区域B作任何简单
闭曲线(没有重点）内所包围的点全属于B，
否则为多连通区域。例:是闭区域但不是区域。z − 1 ≤ 21 < z − i < 2为多连通区域nulllim f ( z) = w0 (= a + ib)3. 复变函数的极限和连续
(1) 复变函数的极限和连续的定义同实变函数极限、连续定义完全
相同。只不过当z →z0 时，从任意方向。f(z)在B上各点连续称
f(z)在B上连续。由于：f(z)=u(x,y)+iv(x,y) ，如z2=x2+y2+i2xyz → z0 lim u( x, y) = a
x→ x0
y → y0 lim v( x, y) = b
x→ x0
y → y0这样f(z)在z0连续，可归结为u, v在(x0,y0)连续。
复变函数中极限、连续在定义形式上与微积分中相对应，关于
其中的函 数，极限，连续的性质和运算法则在复变函数中亦成
立。null4. 复变函数分类
复变函数分类(广义）复数数列
初等函数复变函数（狭义）
非初等函数代数函数超越函数有理函数无理函数整式函数分式函数无限次运算无限次复合级数无穷乘积幂级数傅立叶级数nulllim e = 不存在例 ： 初等单值函数幂函数： w=znn=1,2, - - - - -多项式： a0+a1z1+a2z2+- - - - +anzn n 为整数有理分式： a0 + a1 z 1 + L + an z n
b0 + b1 z1 + L + bn z nn为整数指数函数： w = e z = e x + iy = e x (cos y + i sin y )
e z + i 2 kπ = e z (k=0,±1±2…) 以2πi为周期
e z1 e z 2 = e z1 + z2zz →∝lim e+∞ = ∞, lim e−∞ = 0
z →∝ z →∝null(e − e ), chz =正余弦： 1
2i(eiz − e−iz )sinz =1
2(eiz + e −iz )cosz =sinz为奇函数，cosz为偶函数，均以2π为周期1
21
2z − z(e z + e− z )shz =若复数内sin z ≤ 1, cos z ≤ 1 不一定成立e y
2>=e − y + e y
2e iy + e −i ( iy )
2如 cos iy =y充分大，cosiy可以大于任意指定函数
初等多值函数后面专门讨论！null∆z →0 ∆z= lim§1.3 导数
1. 定义：设w=f(z)在B上游定义。若在B内某z∈B, 极限∆wf ( z + ∆z ) − f ( z )
∆zlim∆z →0存在，则称f(z)在z可导，记为df ( z )
dz或f ′( z )注：复变函数和实变函数的导数的定义，虽然形式上相同，实质
上却有很大的区别，这是因为实变函数Δx 只沿实轴逼近零
，而复变函数Δz却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此
复变函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得多.zxnull例： f ( z) = z = x − iy 在复平面上处处不可导∆z
∆z=z + ∆z − z
∆zQ当 Δz→0 沿实轴→ 1=∆x
∆x∆z
∆x∆z = ∆x,沿虚轴= −1=− i∆y
iy∆z
∆z∆z = iy, 极限不存在，因而不可导。
2. 可导必定连续，连续不一定可导，这样的函数在实变函数中不易找到，但是在复变函数中屡见不鲜，如f ( z) = z = x − iynull dz (w1 +w2 ) = dz + dz d (w w ) = dw1 w + w dw2 dzdzdzw1 w2 − w1 w2d w1 dw dz dz d dF dwz n = nz n −1 dz d e z = e z d dz cos z = − sin z d ln z = 13. 求导法则：复变函数导数的定义，在形式上跟实变函数的
导数定义一样，因而实变函数论中的关于导数的规则和公式
可用于复变函数。例如：/ / d dw1 dw2
1 2 2 1
( ) = 2
dz w2 w2
= 1 /
dw
F (w) = .
dz dw dz d
dz
dz
d
dz z sin z = cos znullf ′( z) = lim= lim∆x →0 ∆x + i∆y4. 可导的必要条件 Cauchy-Riemann条件
若 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在 z=x+iy 可导，则∆u + i∆v∆y →0 ∆w
∆z →0 ∆z沿x轴时，Δy=0∂v
∂v+ i∂u
∂x=∆u + i∆v
∆x上式 = lim
∆x →0∂u
∂y− i∂v
∂y=∆u + i∆v
i∆y∆y →0沿y轴时，Δx=0 上式 = lim,← Cauchy - Riemann条件= −=∴∂v
∂x∂u
∂y∂v
∂y∂u
∂xnull= lim∂u ∂v ∂u ∂v∆x + i∆y= lim(∆x + i∆y)(∆x + i∆y) + i∆z∆z∆z →0 ∆z= lim∆v =∆x +∆y + ε 3 ∆x + ε 4 ∆y当∆z → 0时，ε → 0∆x +∆y + i(∆x +=+ i5. 函数f(z)可导的充分必要条件:存在，且连续，并且满足函数f(z)的偏导数 , , ,
∂x ∂y ∂y ∂x
柯西—黎曼方程。证明：由于这些偏导数连续，二元函数u和v的增量可分别写为：∆y + ε 1 ∆x + ε 2 ∆y∂u
∂y∆x +∂u
∂x∆u =lim(这一极限与∆z → 0的方式无关） ∂u ∂u ∂v ∂v
∂u ∂v
∂x ∂x ∂v ∂v
∂x ∂y
∆f ∆u + i∆v ∂x ∂y ∂x ∂y∆x→0
∆y →0∆z →0 ∆z →0∆y)
+ O(ε )
∂u ∂v
∂x ∂xnull由上述定理可得：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别
，复变函数可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且
还要求其实部与虚部通过C--R条件联系起来。在z = 0点满足C--R条件，但不可微。
于是例如：函数
由于 v(x, y) = 0，显然满足C--R条件，但在z=0点并不可微，因为：y ∆ x ∆ y
= lim
∆ x → 0 ∆ x + i∆yf ( ∆ z ) − f (0 )
∆ z lim
∆ z → 0xy ,f ( z ) =nullk ∆x∆x →0 ∆x + ik∆x ∂ρ = ρ ∂ϕ当 Δz 沿射线Δy=k Δx趋于零时:= k
1 + ikf (∆z ) − f (0)
∆z2= lim
∆y →0 lim
∆z →0与k 有关，沿不同的射线，k 值不同，所以该极限不存在，从
而函数在z = 0点不可微.哥西-黎曼条件为: ∂u 1 ∂v
1 ∂u = − ∂v
ρ ∂ϕ ∂ρ在极坐标系中， z = ρ e i ϕf ( z) = u( ρ , ϕ ) + iv( ρ ,ϕ )null§1.4 解析函数
1. 定义：若函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导,则称f(z)在点z0
解析。又若函数f(z)在区域B上每一点都解析则称f(z)是区域
B上的解析函数.
注意：1)有时说：“函数 f(z)在某点解析”，是指在该点的某一
邻域内处处可导。在B上解析与在B上可导等价，在一
点解析与在一点可导不等价。2)“函数f(z) 在闭区域B 上解析”，是指它在包含 B 的某个区域上解析.
3)如果f(z)在点z0点不解析，则称z0为 f(z)的奇点。null例：考察函数f(z)=|z|2是否解析
方法1，按照定义或者求导公式；方法2，按照充要条件= 0=∂v
∂y∂v
∂x= 2 y,∂u
∂y= 2 x,∂u
∂xf ( z ) = x 2 + y 2 , u = x 2 + y 2 , v = 0解：C——R条件仅在 x=0，y=0 成立， |z|2仅在 z=0可导，
故，在复平面上处处不解析。null∂x ∂x ∂y2. 解析函数的性质
（1）若函数f(z)=u+iv在区域B上解析,则曲线族
u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 在B上正交。
证明：u=C1, =C2中任意两条曲线的斜率为dy
dx∂v ∂v
∂x ∂y∂u
∂y∂u
∂x= −k1 =, k1 = −) () = − 1−) = (∂v ∂v ∂v
) (∂v
∂y∂v ∂v
∂x ∂y∂u
∂y∂u
∂x∴ k1 ⋅ k 2 = (（2）若函数f(z)=u+iv在区域B上解析,则u,v分别为B上的调和函
数[调和函数：如果函数H(x,y)在区域B上有二阶连续偏导数
而且满足普拉斯方程，则H(x,y)为区域B上的调和函数]null ∂x∂y ∂x∂x∂y∂x∂y= −=∂u
∂y ∂u
∂v ∂v
,前一式对x求导,后一式对y求导,然后相加,这就消去了v而得到= 0+∂ 2u
2∂ 2u
2同理消去u得到= 0+∂ 2 v
2∂ 2 v
2即：他们都是调和函数, 是同一复变函数的实部和虚部, 所以也
叫做共轭调和函数（由C-R条件联系的函数)
注：解析函数必定调和，但任意两调和函数不一定组成一解
析函数null∂y∂x∂x ∂x（3）解析函数的实部和虚部通过C--R方程相互联系，并不独立
只要知道解析函数的虚部(或实部)，就可求出相应的实部(或
虚部).
例如：给定的二元调和函数 u(x,y) 是解析函数的实部,试求相
应的虚部 v(x,y).
首先, 二元函数v(x,y)的微分式是 ：dy∂v
∂ydx +∂v
∂xdv =dy.∂u
∂xdx +∂u
∂ydv = −)∂ ∂u
(=∂ 2u
2=∂ 2u
2) = −∂u
∂y(− ∂
∂y可见：上式是全微分 ，可用下列方法计算出：
v( x, y ) = ∫ dvnull例1：已知解析函数的实部 u=x3-3xy2 ,求该解析函数
解：方法一，曲线积分法。∂u
∂xdx +∂u
∂ydy = −∂v
∂ydx +∂v
∂xdv =dy = 6 xydx + (3x 2 − 3 y 2 )dydy∂u
∂xdx +∂u
∂y= −∂v
∂ydx +∂v
∂xdv == d (3x 2 y − y 3 ) ⇒ v = 3x 2 y − y 3 + Cdy = 6 xydx + (3x 2 − 3 y 2 )dyx,0 ( x ,0) ( x , y )
( 0,0) ( x ,0)
x,y
方法二，凑全微分。null方法三: 不定积分法。= 6 xy∂ v
∂ x6 xydx + ϕ ( y ) = 3 x 2 y + ϕ ( y )v =∫∂ v
∂ y= 3 x 2 + ϕ ′( y ) = 3 x 2 - 3 y 2 ∴ ϕ ′( y ) = -3 y 2 ⇒ ϕ ( y ) = - y 3 + c
v = 3 x 2 y − y 3 + c
f (z ) = x 3 − 3 xy 2 + i(3 x 2 y − y 3 + c )
= ( x + iy ) 3 + ic = z 3 + icnullr r rr§1.5 平面场（解析函数的应用）
1. 平面场：场中所有矢量平行于某一平面
S，而垂直于S的任意直线上的所有点
矢量相等。∂E y
∂y= −∂E x
∂x⇒∂E y
∂y+∂E x
∂x 2. 平面静电场：
E = E x i + E y j
若空间无电荷， 无源场： ∇ ⋅ E = 0 =而等值线u(x,y)=C1的切向量：E y
E xdy
dx=∂u
∂y∂u
∂x= −所以，E 与等值线 u(x,y)=C1 相切， 可见，u(x,y)=C1就是电力线
方程则，存在可微函数：∂u
∂ydx +∂u
∂xdu =dy = − E y dx + Ex dy （1）nullrr(∇ × E ) k =r∂v r∂v r r r rj = − E x i − E y j = − EkE yE x∂E x
∂y=∂E y
∂x⇒∂E x
∂y−∂E y
∂x= j
∂
∂y又因为E为无旋场：
i
∂
∂x0 r
k
∂
∂zdy = − Ex dx − E y dy∂v
∂ydx +∂v
∂xdv =则，存在可微函数：（2）∂yi +∂x∇v =即：v 是电场E的势函数（电势），v=C2是等势线。null)∂v
∂x− i∂u
∂x= −i(∂u
∂x− i∂v
∂x= −即：u(x,y), v(x,y)构成调和函数
f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y)
E = E x i + E y j = E = E x + iE y = −i f ′( z )
可见：只要知道复势，可求得电势分布，电力线的方程由（1）和（2）式可见 ：= E x∂v
∂x= −∂u
∂y∂v
∂y=∂u
∂x= − E y ,nullrr rr r dx r dy rrrrrdy r dx r电通量：rE n
τ
n= E ⋅ n = E x n x + E y n y
= cos α i + sin αj = i + j
ds ds
= cos(α + π / 2)i + sin(α + π / 2) j = − sin α i + cos αj
= − i + j
ds ds∂u dx
∂x ds−∂u dy
∂y dsE n = − B B
A A
u是通量函数。null§1.6 多值函数w = z − a1. 根式函数z − a e iArg ( z −a ) / 2w = z − a =(1) 多值性把w 的模或辐角分别记作r和θ ，z − ar =z − a ei arg( z − a ) 2
z − a eiarg( z − a ) 2+iπw1 =
w2 =1 1
2 2arg( z − a) + nπ (n = 0,1)1
2Arg ( z − a) =1
2, θ =可见，多值性来源于宗量（z-a)复角得多值性nulll’lz-aaz(2) 支点当z沿着l变化一周时，Arg(z-a)由
φ→ φ +2π，若开始对应关系是iθ1z − a ew1 =z − a eiθ 2w2 =绕l一周后对应值变化为： 但是，沿l’一周后还原。
对多值函数w=f(z)，若z绕某点一周，函数值不还原，则称
该点为多值函数的的支点，若z绕支点n周w值复原，则该
点为多值函数的n-1阶支点。
Z=∝ 也是函数的支点，因为可令 t = 1 /( z − a), w = 1 / t ,z =∝ 时，t = 0绕z=a一周等价于绕z= ∝一周nullw1 =
w2 = z − a e iArgw , 0 ≤ Argw < π , （当0 ≤ Arg ( z − a) < 2π）
z − a e iArgw , π ≤ Argw < 2π , （当2π ≤ Arg ( z − a) < 4π）(3) 对应关系的确定
单值分支： 适当规定宗量z-a辐角的变化范围，辐角变化的各个
周期给出多值函数的的各个单值分支，每一单值分
支是一单值函数。
例： w = z − a 有两个单值分支支割线（单值分支几何意义）：
在z平面上从支点z = a到支点z=∝任意引一条射线，称为割线。
规定上岸 Arg(z-a)=0 时给出w1
规定上岸 Arg(z-a)= 2π时给出w2nullArg(z-a)=0a
Arg (z-a)=2π
a Z
平
面Argw=0 w
平
面 Argw=2π
割线将z 平面割开，z 连续变化时，不得跨越支割线，限制了z
的变化范围，这就使得在割开的z 平面上的任意闭曲线不含支
点z = a，∝ 在内，这样相应的函数值也只能在w平面上的一个
单值分支上取值，而不会由一支变到另一支，这样就将多值函
数变成了独立的单值函数。
注意：把一个多值函数划分为单值分支是与支割线密切相关
的，对不同的支割线，多值函数各单值分支的定义域和值域也
就不同。null平面上都是解析的，且：现在让我们来观察一
下当z在这双叶黎曼面
上变化时，函数值w
如何变化。Riemann面两个单值分支在割破的z1
2( z − a) −1 2z − a = d
dznullz − 1, w(2) = 1, 沿负实轴割开， 求w（0）= ?例：w =解：先确定那一分支1∴ w1 =Arg ( z − 1) z = 2 = 00 − 1 e iπ / 2 = iArg ( z − 1) z =0 = π∴ w（0）=又z − 1 e iArg ( z −1) / 2 , π ≤ Arg ( z − 1) < −π）Q w(2) = 1,1Z平
面 π
-πnullk = 0,±1,±2LLnz = ln z + i2πk2. 对数函数
定义：若复数 z≠ 0 ，且满足 z=ew，复数w 称为z 的对数函
数，
并记为 w=Lnz .
注意： z= 0 时, w=Lnz 没有意义.
对数函数为多值函数:
iϕ
u iv iϕ u
v = ϕ = Argz = arg z + 2kπ
w = Lnz = ln z + iArgz
若限定 Argz 取 argz ( -π≤argz<π ) 则 z 的对数只有一个，
称它为w=Lnz 的主值分支 ，记为：
ln z = ln z + i arg znullLn z =单值分支、支点、支割线：
对数函数只有两个支点 0 ，∝，从0点到 ∝点作支割线，即
可得到在这割破的 z 平面上的无穷多单值分支。
(ln z) k = ln z + i(ϕ + 2πk ) k = 0,±1,±2 L
无穷多个单值函数都是解析函数，且：k = 0,±1,±2L1
z d
dz(ln z) k =z1
z2Ln() = Ln( z1 ) − Ln( z2 )Ln( z1 z2 ) = Ln( z1 ) + Ln( z2 )Lnz n = nLnz
n 1
Lnz
n不成立null⇒ w = Arc sin z = Ln(iz + 1 − z 2 )⇒ w = Arc cos z = Ln( z + z 2 − 1)3.一般幂函数
定义：一般幂函数 z α =e αLnz （ α 为复常数）对 z 都有意义,
由于 Lnz 的多值性， z α 一般是多值函数(除α为整数)。1
i
1
iz =
z =eiw − e− iw
2i
eiw + e−iw
24. 反三角函数
由 z=sinw定义反正弦函数 w=Arcsinz
由z=cosw定义反余弦函数 w=Arccosz2 )(cos lni [ln2 + i sin ln= e+ 2 k π )π
4− (+ 2 k π )]π
42 + i (例：(1 + i ) i = e iLn (1 + i ) = enull从认知世界中获得快乐！null继续
努力
拼搏
！！null第二章 复变函数的积分智慧的爆发来自不断 的学习和的积累！
§2.1 复变函数的积分
§2.2 Cauchy 定理
§2.3 不定积分和原函数
§2.4 Cauchy积分公式null∑∫ f ( z )dz = lim ∑ f (ζk =1 §2.1 复变函数的积分
1. 定义及其计算:
(1) 定义：设在复平面的某段光滑曲线l上
定义了连续函数f(z)，在l上取一系列分点,
z0，z1…….. zn 把l分成n个小段.在每个小段
z k=zk-1-zk上任取点ζk, 作和 ： n
k =1f ( ζ k ) ∆ z k于n→∞而且每一小段都无限缩短时, 如果这个和的极限存
在, 而且其值与 各个ζk 的 选取 无关 ,则 这 个 极限称 为函数
f(z)沿曲线l从A到B路积分,记作nkl n→∞)∆z knull∫ f ( z )dz = ∫∫l ( z − a)n = 0(2)复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分 ：
Q z = x + iy, f ( z) = u( x, y) + iv( x, y)l l l∴∫ f ( z)dz = ∫ u( x, y)dx − v( x, y)dy + i ∫ v( x, y)dx + u( x, y)dy(3)计算：设在[α，β]上曲线 l 的方程是：z(t)=x(t)+iy(t) β
l αf [ z (t )]z ′(t )dt dz 2πi n = 1
n ≠ 1的整数
（l 为以z = a为中心ρ为半径的圆周）例1 证明证：设 l 的方程：z − a = ρe it , dz = iρe it dtnulln = 1, ∫= ∫iρe dtρen ≠ 1, ∫2 π iρe dt= n −1 ∫ e −i ( n−1)t dt = 0ρ解： I 1 = ∫0 xdx + ∫0 idy =+ iI 2 = ∫0 o ⋅ idy + ∫0 xdx = 2 π
0= 2πiit
it dz
l z − ai 2 π
0= ∫0 ρ n e intit dz
l ( z − a) n1 2例2 计算： I 1 = ∫l Re zdz, I 2 = ∫l Re zdz1 1 1
21 1 1
2 Oyx l2
l1l2 1+i
l1 可见,两个积分,虽然被积函数相同,起点,终点亦相同,但由于积分
路径不同,其结果并不相同,一般来说,复变函数积分之不仅依赖与起
点和终点,同时还与积分路径有关.null∫[a f (z) + al(4) 积分性质：l lf 2 (z)]dz = a1 ∫ f1 ( z)dz + a2 ∫ f 2 (z)dz21 1l l∫1 + l2lf ( z)dz = ∫1 f ( z )dz + ∫2 f ( z )dzllf ( z)dz∫ f ( z )dz = −∫ −∫ll lf ( z ) ds ≤ ML ( M是f ( z )的上界）f ( z ) dz =∫ f ( z )dz ≤ ∫Q ∑ f (ζ k )∆zk ≤ ∑ f (ζ k ) ∆zk = ∑ f (ζ k ) ∆sknull由于f(z)在 B上的解析,因而∂x ∂y ∂x ∂y∫l Pdx + Qdy = ∫ ( ∂x − ∂y )dxdy证明： §2.2 Cauchy 定理
1.单连通区域Cauchy 定理
单通区域：是这样的区域,在B上作任何简单的闭合围线,围线内
的点都是属于该区域B.
单通区域柯西定理: 如果函数f(z)在闭单通区域 B 解析, 则沿 B
上任一分段光滑闭合曲线 l (也可以是 B 的边界),有
∫l f ( z )dz = 0∫l f ( z)dz = ∫l u( x, y )dx − v( x, y )dy + i ∫l v( x, y )dx + u( x, y )dy在B 上连续,对上式 ∂u ∂u ∂v ∂v
, , ,
右端实部和虚部分别用格林公式
∂Q ∂P
snull∫边界),有 ∂v ∂u ∂u ∂v
s s
由于f(z)在上的解析 ，其实部u 和虚部v 满足柯西黎曼条件 ，代
入之即得结论。
定理条件还可以减弱：如果函数f(z)在单通区域B上解析,在闭
单通区域 B 上连续,则沿 B 上任一段分光滑l (也可以是 B 的∫l f ( z ) dz = 0 B
Af ( z)dz 与积分路径无关。推论：f(z)在 B 上解析nullf ( z ) dz = ∑ ∫i =12. 复连通区域Cauchy 定理：
(1) 复连通区域： 有奇点的情况l1l2(2) 区域围线正向：当观察者沿着这个方
向前进时,区域总在观察者的左边.(3) 定理： 如果f(z)是闭复通区域 B上单值解析函数,则
n
i
式中: l 为区域外境界线, 诸 li 为区域内境界线,积分均沿境界线
的正方向进行.nlf ( z ) dzli 逆∫逆或null+ ∫+ ... = 0BC∫ f ( z)dz = −∑ ∫i =1f ( z )dz = ∑ ∫i =1证明：作割线，化复连通区域为单连通区域l+ ∫1 + ∫B′A′ + ∫CD
D′C ′ll∫ f ( z )dz + ∫AB
+ ∫2∫l f ( z )dz + ∫l1 f ( z )dz + ∫l2 f ( z )dz + ... = 0∴nlnl lif ( z )dzf ( z )dzli 逆∫逆或1）闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零。
2）闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零
3）复通区域的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境
界线逆时针方向积分。 D
D’ C’ A
A’ B’l1lilnull∫l ( z − a)n = 0dz 1 n = 1, l包含a
n ≠ 1的整数, 或l不包含a例1 ：证明 1
2πi解: 若回路l不包围点α, 则被积函数在l 在所
在区域上是解析的,按照柯西定理,积分值为零.lR lR
l包围点α，应用复连通区域Cauchy 定理得：
dz dz 2πi n = 1
n ≠ 1的整数null∫l z 2 − zf ( z)dz = ∫ (− )dz + ∫ (z − 1 z− )dz解：应用复通区域Cauchy 定理：dz例2：计算l1
0l2
1∫1
z 1
z − 1
l 1 1
l1 l2
= 0 − 2πi + 2πi − 0 = 0lnull[∫zf (ζ)dζ − ∫z f (ζ)dζ∫z f (ζ)dζ§2.3 不定积分
函数 f(z) 在单通区域 B 上解析,则沿 B 上任一路径l 的积分
∫l f ( z)dz 的值只与起点和终点有关,与路径无关.因此,当起点z0
固定时, 这个积分就定义了一个单值函数：
z
0
F(z)在B上是解析的,且F’(z)= f(z),即F(z)是f(z)的一个原函数.
证明： 我们只要对B上任一点z证明F’(z)= f(z)就行了.以z为圆
心作一含于B小圆.在小圆内取 z + ∆z 点]=z
0z + ∆z
0 1
∆zF ( z + ∆z) − F ( z)
∆z= 1 z + ∆z
∆zF ( z + ∆z) − F ( z)
∆zz0zz +Δznull∫z [ f (ζ) − f ( z)]dζ∫z [ f (ζ) − f ( z)]dζ∫ 1 z + ∆z
∆z− f ( z ) =F ( z + ∆z ) − F ( z)
∆z由于z在B上连续,对于任意给定的正数ε,必须存在正数δ使
得当 ζ − z < ε时, f (ζ) − f ( z) < ε= ε<∆z
∆zε dζ = ε z + ∆z
z 1
∆z 1 z + ∆z
∆z− f ( z) =F ( z + ∆z) − F ( z)
∆z= f ( z)F ( z + ∆z) − F ( z)
∆z⇒ lim
∆z →0F’(z)= f(z)的函数F(z)称为f(z)在B上的一个不定积分，或原函数，
同实函数一样，
z2
1null∫l z − α dz∫l z − α∫lε z − α∫lεdz =∫lεdz + f (α)证明： 应用复连通Cauchy定理，得f ( z) 1
2πif (α) =§2.4 Cauchy积分公式
1. 单通区域Cauchy积分公式
若f(z)在闭单通区域 B 上解析, l 为的围线, α为B 内任意一点,
则有柯西公式:dz 2πi z − α
f ( z) − f (α)
z − αf ( z) 1 f ( z) − f (α) + f (α) 1
2πi
1
2πidz =
=f ( z) 1
2πi可见只要证明上式右端第一项等于零即可。估计：ll ε ε
αnull∫l ζ − z dζ∫ε2πεmax f ( z ) − f (α)
εdz ≤f ( z ) − f (α)
z − αl其中：max|f(z)-f(α)| 是 |f(z)-f(α)| 在 lε 上的最大值.
令 ε→0, 则, lε → α 由于 f(z)连续性,因而有 f ( z) → f (α)
即, max f ( z) − f (α) → 0，于是,ε→0lim ∫≤ lim 2π ⋅ max f ( z ) − f (α) = 0
ε→0f ( z ) − f (α)
z − αf (ζ) 1
2πif ( z) =一般写为：解析函数在曲线上的值决定了其内部的函数值。null∫∫∫证明方法2dzL∫∫| z − a | = r f ( z )
z − adz = lim
r → 0 f ( z )
z − are i ϕ i d ϕ 2 π
0 2 π
0f ( a + re i ϕ ) i d ϕf ( a + re i ϕ )
re i ϕ= lim
r → 0= lim
r → 0 2 π
0f ( a ) i d ϕ = 2π i f ( a )=null[∫dz + ∫[∫dζ + ∫2. 复通区域Cauchy积分公式dz ] f ( z)
l1 z − α 1 f ( z)
2πi l z − αf (α) =3. 无界区域Cauchy积分公式lα
l1CRlzdζ] f (ζ)
C R 逆 ζ − z 1 f (ζ)
2πi l顺 ζ − zf ( z) =由于f(z)在无限远处连续,即任给ε>0, 总能
找到相应的R1,使得当 |z|> R1时有, f ( z) − f (∞) < ε
其中 f (∞) 有界,于是只要R> R1,则有:null∫CR ζ − z dζ − f (∞) = 2πi ∫CR ζ − z dζ − 2πi ∫CR ζ − z dζR →∞ 2πi∫C R ζ − z dζ = f (∞)∫l顺 ζ − z dζ + f (∞)∫l顺 ζ − z dζ≤∫CR⋅ 2πR 1 ε
2π R − z| dζ | <| f (ζ) − f (∞) |
| ζ − z | 1
2πf (ζ) 1 f (ζ) 1 f (∞) 1
2πi1limf (ζ)既有：f (ζ) 1
2πif ( z ) =所以：f (ζ) 1
2πif ( z ) =特别f(∝)=0：null′( z) =∫l (ζ − z) 2 dζ2πif ( z) =∫l (ζ − z) n +1 dζ4. 解析函数的无限次可微性：Cauchy积分公式积分号下对z求导,得
1! f (ζ)
f
反复在积分号下求导,得nf (ζ) n!
2πi可以证明求
导是合法的5. 推论：
模数原理： 设f(z)在某个闭区域上为解析,则| f(z)|只能在境界
线l上取最大值.
刘维尔定理： 如f(z)平面上为解析,并且是有界的,即 f ( z) ≤ N
则f(z)必为常数null例1： ∫l 2(l : z − 2i = ) ( z + i) = 2πi = ∫ ( z − i) dz + ∫( z + i)( z − i)= iπ 2 sin(1 − )+ 2πi e在l内解析）dzl eiz
z + i eiz
z + i z =idz = ∫(= 2πi= 2πi3
2eiz /( z + i)
z − i eiz
z + 1= e −1e−1
2idz e z
l2 ( z 2 + 1)2 e z
l1 ( z 2 + 1)2(l : z > 1) z
例2： ∫l ( z 2 + 1)2 dz-ill1 il2复连通柯西
定理π
4= ∫1eedzdz + ∫2z ′
2 z = −iz ′
2 z =ile z /( z − i)2
2le z /( z + i)2
2null从小小的环球，到
浩瀚的宇宙，运动
是和谐的，揭示本
质的规律是简单的
，人类就是要不断
的认识还没有认识
的世界的规律！null第三章 复变函数的幂级数展开§3.1 复变项级数§3.2 幂级数§3.3 Talyor级数展开§3.4 解析延拓§3.5 洛朗级数展开§3.5 孤立奇点的分类null∑ w= w1 + w2 + L + wk + L∑ wk < ε§3.1 复数项级数 研究解析函数:
连续、极限 微分,
积分，级数1.复数项级数
每一项均为复数的级数 为复数项级数
∞
k （1）
k =1 由于wk = u k + iv K
n n n
n →∞ n→∞ n →∞
所以，级数（1）的收敛归结为两个实数级数的收敛 。
2. 柯西收敛判据
（1）收敛的充要条件是：对任意给定小正数ε,存在N使得n>N时， n + p
k =n +1式中p为任意正整数nulls1 = ∑ pks2 = ∑ qk3. 绝对收敛级数的性质
∞
k =1
2) 绝对收敛级数的和与求和次序无关. ∞
k =1 ∞
k =1p1 q3
p2 q3
p3 q3p1 q2
p2 q2
p3 q2p1 p1 q1
p2 p2 q1
p3 p3 q13) 二绝对收敛级数
q1 q2 q3s1 s 2 = p1 q +1 ( p1 q 2 + p2 q1 ) + L
该级数也是绝对收敛的。4.一致收敛、判别法、性质
1）复变项级数：它的各项是z的函数
∞
（2）
k =1
如果在某个区域 B (或某根曲线l)上所有
浙公网安备 33021202002483