高考数学第一轮专题复习.pdf

第页共页《新课标》高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座第一讲集合一．课标要求：．集合的含义与表示（）通过实例了解集合的含义体会元素与集合的“属于”关系（）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题感受集合语言的意义和作用．集合间的基本关系（）理解集合之间包含与相等的含义能识别给定集合的子集（）在具体情境中了解全集与空集的含义．集合的基本运算（）理解两个集合的并集与交集的含义会求两个简单集合的并集与交集（）理解在给定集合中一个子集的补集的含义会求给定子集的补集（）能使用Venn图表达集合的关系及运算体会直观图示对理解抽象概念的作用。二．命题走向有关集合的高考试题考查重点是集合与集合之间的关系近年试题加强了对集合的计算化简的考查并向无限集发展考查抽象思维能力在解决这些问题时要注意利用几何的直观性注意运用Venn图解题方法的训练注意利用特殊值法解题加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主分值分。预测年高考将继续体现本章知识的工具作用多以小题形式出现也会渗透在解答题的表达之中相对独立。具体题型估计为：（）题型是个选择题或个填空题（）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。三．要点精讲．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。（）集合中的对象称元素若a是集合A的元素记作Aa若b不是集合A的元素记作Ab（）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性确定性：设A是一个给定的集合x是某一个具体对象则或者是A的元素或者不是A的元素两种情况必有一种且只有一种成立互异性：一个给定集合中的元素指属于这个集合的互不相同的个体（对象）因此同一集合中不应重复出现同一元素无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异集合不同于元素的排列顺序无关第页共页（）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法列举法：把集合中的元素一一列举出来写在大括号内描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来写在大括号{}内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围再画一条竖线在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点应该根据具体问题确定采用哪种表示法要注意一般集合中元素较多或有无限个元素时不宜采用列举法。（）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集）记作N正整数集记作N*或N整数集记作Z有理数集记作Q实数集记作R。．集合的包含关系：（）集合A的任何一个元素都是集合B的元素则称A是B的子集（或B包含A）记作AB（或BA）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA则称A等于B记作A=B若AB且A≠B则称A是B的真子集记作AB（）简单性质：）AA）A）若ABBC则AC）若集合A是n个元素的集合则集合A有n个子集（其中n－个真子集）．全集与补集：（）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集记作U（）若S是一个集合AS则SC=}|{AxSxx且称S中子集A的补集（）简单性质：）SC(SC)=A）SCS=SC=S。．交集与并集：（）一般地由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A与B的交集。交集}|{BxAxxBA且。（）一般地由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合称为集合A与B的并集。}|{BxAxxBA或并集。注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算运算结果仍然还是集合区分交集与并集的关键是“且”与“或”在处理有关交集与并集的问题时常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件结合Venn图或数轴进而用集合语言表达增强数形结合的思想方法。．集合的简单性质：第页共页（）,,ABBAAAAA（）,ABBAAA（）)()(BABA（）BBABAABABA（）SC（A∩B）=（SCA）∪（SCB）SC（A∪B）=（SCA）∩（SCB）。四．典例解析题型：集合的概念例．设集合},|{ZkkxxA若x则下列关系正确的是（）A．AxB．AxC．Ax}{D．Ax}{解：由于kk中k只能取到所有的奇数而中为偶数。则AA}{,。选项为D点评：该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不属于的关系而集合之间是包含与不包含的关系。例．设集合P={m|－＜m≤}Q={m∈R|mxmx－＜对任意实数x恒成立}则下列关系中成立的是（）A．PQB．QPC．P=QD．P∩Q=Q解：Q={m∈R|mxmx－＜对任意实数x恒成立＝对m分类：①m=时－＜恒成立②m＜时需Δ=（m）－×m×（－）＜解得m＜。综合①②知m≤∴Q={m∈R|m≤}。答案为A。点评：该题考察了集合间的关系同时考察了分类讨论的思想。集合Q中含有参数m需要对参数进行分类讨论不能忽略m=的情况。题型：集合的性质例．（广东）已知集合A={}那么A的真子集的个数是（）第页共页A．B．C．D．解：根据子集的计算应有－=（个）。选项为A点评：该题考察集合子集个数公式。注意求真子集时千万不要忘记空集是任何非空集合的真子集。同时A不是A的真子集。变式题：同时满足条件：①},,,,{M②若MaMa－则,这样的集合M有多少个举出这些集合来。答案：这样的集合M有个。例．已知全集{,,}SxxxA={,x}如果}{ACS则这样的实数x是否存在？若存在求出x若不存在说明理由。解：∵}{ACS∴AS且即xxx＝解得,,xxx当x时x为A中元素当x时Sx当x时xS∴这样的实数x存在是x或x。另法：∵}{ACS∴AS且A∴xxx＝且x∴x或x。点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当x时x”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号}{ACS是两层含义：AS且。变式题：已知集合{,,},{,,}AmmdmdBmmqmqm其中,AB且,求q的值。解：由BA可知第页共页（）mqdmmqdm或（）mqdmmqdm解（）得q解（）得,qq或又因为当q时mqmqm与题意不符所以q。题型：集合的运算例．（全国Ⅱ理）已知集合M＝｛x|x＜}N＝｛x|logx＞｝则M∩N＝（）A．B．｛x|＜x＜}C．｛x|＜x＜}D．｛x|＜x＜}解：由对数函数的性质且>显然由logx易得),(B。从而),(BA。故选项为D。点评：该题考察了不等式和集合交运算。例．（安徽理）设集合,AxxxR|,Byyxx则RCAB等于（）A．RB．,xxRxC．D．解：,A,B所以{}RRCABC故选B。点评：该题考察了集合的交、补运算。题型：图解法解集合问题例．（上海春）已知集合A={x||x|≤x∈R}B={x|x≥a}且AB则实数a的取值范围是。解：∵A={x|－≤x≤}B={x|x≥a}又AB利用数轴上覆盖关系：如图所示因此有a≤－。点评：本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问题。图第页共页例．（全国理）已知全集I＝N*集合A＝｛x｜x＝nn∈N*｝B＝｛x｜x＝nn∈N｝则（）A．I＝A∪BB．I＝（ICA）∪BC．I＝A∪（ICB）D．I＝（ICA）∪（ICB）解：方法一：ICA中元素是非的倍数的自然数ICB中元素是非的倍数的自然数显然只有Ｃ选项正确方法二：因A＝｛…｝B＝｛…｝所以ICB＝｛…｝所以I＝A∪ICB故答案为Ｃ方法三：因BA所以（IC）A（IC）B（IC）A∩（ICB）＝ICA故I＝A∪（ICA）＝A∪（ICB）。方法四：根据题意我们画出Venn图来解易知BA如图：可以清楚看到I=A∪（ICB）是成立的。点评：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握注意数形结合的思想方法用无限集考查提高了对逻辑思维能力的要求。题型：集合的应用例．向名学生调查对A、B两事件的态度有如下结果新疆王新敞特级教师源头学子小屋http:wwwxjktygcomwxcwxcktcomwxcktcomhttp:wwwxjktygcomwxc源头学子小屋特级教师王新敞新疆赞成A的人数是全体的五分之三其余的不赞成赞成B的比赞成A的多人其余的不赞成另外对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？解：赞成A的人数为×=赞成B的人数为=如上图记名学生组成的集合为U赞成事件A的学生全体为集合A赞成事件B的学生全体为集合B。设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为x,赞成A而不赞成B的人数为－x赞成B而不赞成A的人数为－x。依题意(－x)(－x)x(x)=,解得x=。所以对A、B都赞成的同学有人都不赞成的有人新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:wwwxjktygcomwxcwxcktcomwxcktcomhttp:wwwxjktygcomwxc王新敞特级教师源头学子小屋新疆。点评：在集合问题中有一些常用的方法如数轴法取交并集韦恩图法等需要考图XXXXUBA第页共页生切实掌握。本题主要强化学生的这种能力。解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件想到用韦恩图直观地表示出来。本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂一时理不清头绪不好找线索。画出韦恩图形象地表示出各数量关系间的联系。例．求到这个数中既不是的倍数又不是的倍数也不是的倍数的自然数共有多少个？解：如图先画出Venn图不难看出不符合条件的数共有（÷）＋（÷）＋(÷)－(÷)－(÷)－(÷)＋(÷)＝所以符合条件的数共有－＝（个）点评：分析个数分为两类即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类而不满足条件的这一类标准明确而简单可考虑用扣除法。题型：集合综合题例．（上海）设集合A={x||x－a|<}B={x|xx<}若AB求实数a的取值范围。解：由|x－a|<得a－<x<a所以A={x|a－<x<a}。由xx<得xx<即－<x<所以B={x|－<x<}。因为AB所以aa于是≤a≤。点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法体现了数形结合的思想方法。例．已知{an}是等差数列d为公差且不为a和d均为实数它的前n项和记作Sn,设集合A={(an,nSn)|n∈N*},B={(x,y)|x－y=,x,y∈R}。试问下列结论是否正确如果正确请给予证明如果不正确请举例说明：（）若以集合A中的元素作为点的坐标则这些点都在同一条直线上（）A∩B至多有一个元素（）当a≠时一定有A∩B≠。解：（）正确在等差数列{an}中Sn=)(naan,则nSn(aan),这表明点(an,nSn)的坐标适合方程y(xa),于是点(an,nSn)均在直线y=xa上。的倍数的倍数的倍数第页共页（）正确设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标x,y应是方程组yxaxy的解由方程组消去y得：axa=－(*)当a=时方程(*)无解此时A∩B=当a≠时方程(*)只有一个解x=aa,此时方程组也只有一解aayaay,故上述方程组至多有一解。∴A∩B至多有一个元素。（）不正确取a=d=对一切的x∈N*有an=a(n－)d=n>,nSn>这时集合A中的元素作为点的坐标其横、纵坐标均为正另外由于a=≠新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:wwwxjktygcomwxcwxcktcomwxcktcomhttp:wwwxjktygcomwxc王新敞特级教师源头学子小屋新疆如果A∩B≠那么据()的结论A∩B中至多有一个元素(x,y),而x=aa＜,y=xa＜这样的(x,y)A,产生矛盾故a=,d=时A∩B=所以a≠时一定有A∩B≠是不正确的。点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识属于知识交汇题。变式题：解答下述问题：（Ⅰ）设集合},|{},|{xxBmxxxABA若,求实数m的取值范围分析：关键是准确理解BA的具体意义首先要从数学意义上解释BA的意义然后才能提出解决问题的具体方法。解：,)(},|{,mxxmxxmmxxxmMmxx则两根均为非负实数的方程关于设至少有一个负实数根方程命题第页共页}|{}|{}|{mmmUmmM设全集m的取值范围是UM={m|m<})(mmmmx方程的小根命题解法二（解法三）设,)(xxxf这是开口向上的抛物线x其对称轴则二次函数性质知命题又等价于,)(mf注意在解法三中f(x)的对称轴的位置起了关键作用否则解答没有这么简单。（Ⅱ）已知两个正整数集合A={a,a,a,a},},,,,{aaaaaaaaB其中ABAaaaaBA求集合的所有元素之和是且且若,,},,{、B分析：命题中的集合是列举法给出的只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决注意“正整数”这个条件的运用},,,{},,,,{,,,,,)(},,,,,,{,,)(,,,,},,{,,BAaaaaaaaaaaBAaaaaaaaaaaaaaBAaaaaaaaa综上不合与条件矛盾同样可得则若则若而只可能有（Ⅲ）},|),{(},|),{(yxxyxBxyyxA设集合,)(,,},|),{(试证明你的结论使问是否存在自然数CBAbkbkxyyxC分析：正确理解,)(题并转化为具体的数学问CBA要使CBCACBCACBA且必须,)()()(,第页共页由,)(bxkbxkbkxyxy当k=时方程有解bx,不合题意当kkbbkkbk)()(得时由①又由,)(bxkxbkxyyxx由)()()(kbbk得②由①、②得,,bkkb而∵b为自然数∴b=代入①、②得k=点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容才能由此寻求解决的方法。题型：课标创新题例．七名学生排成一排甲不站在最左端和最右端的两个位置之一乙、丙都不能站在正中间的位置则有多少不同的排法？解：设集合A={甲站在最左端的位置}B={甲站在最右端的位置}C={乙站在正中间的位置}D={丙站在正中间的位置}则集合A、B、C、D的关系如图所示∴不同的排法有AAA种点评：这是一道排列应用问题如果直接分类、分步解答需要一定的基本功容易错若考虑运用集合思想解答则比较容易理解。上面的例子说明了集合思想的一些应用在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。例．A是由定义在,上且满足如下条件的函数)(x组成的集合：①对任意,x都有),()(x②存在常数)(LL使得对任意的,,xx都有|||)()(|xxLxx第页共页（）设,,)(xxx证明：Ax)(（）设Ax)(,如果存在),(x,使得)(xx,那么这样的x是唯一的（）设Ax)(,任取),(lx,令,,,),(nxxnn证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式||||xxLLxxkklk。解：对任意,x,,,)(xxx,)(x,,所以),()(x对任意的,,xx|||)()(|xxxxxxxxxxxx所以<xxxx,令xxxx=LL|||)()(|xxLxx所以Ax)(反证法：设存在两个),,(,xxxx使得)(xx,)(xx。则由|||)()(|xxLxx得||||xxLxx所以L矛盾故结论成立。)()(xxLxxxx第页共页所以xxLxxnnn||||xxLLxxxxxxxxkkkpkpkpkpkkpkkkpkpkpkpkxxxxxxxxLxxLpkpk…xxLkxxLLK。点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中题目比较新颖。五．思维总结集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言并用集合语言表达数学问题运用集合观点去研究和解决数学问题。．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素熟练运用集合的各种符号如、、、、=、SCA、∪∩等等．强化对集合与集合关系题目的训练理解集合中代表元素的真正意义注意利用几何直观性研究问题注意运用Venn图解题方法的训练加强两种集合表示方法转换和化简训练解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系常常根据“Venn图”来加深对集合的理解一个集合能化简（或求解）一般应考虑先化简（或求解）．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{(,)}与{,}②AB时A有两种情况：A＝φ与A≠φ。③若集合A中有n)(Nn个元素则集合A的所有不同的子集个数为n所有真子集的个数是n－,所有非空真子集的个数是n。④区分集合中元素的形式：如}|{xxyxA}|{xxyyB第页共页}|),{(xxyyxC}|{xxxxD},,|),{(ZyZxxxyyxE}|)',{(xxyyxF},|{xyzxxyzG。⑤空集是指不含任何元素的集合。}{、和}{的区别与三者间的关系。空集是任何集合的子集是任何非空集合的真子集。条件为BA在讨论的时候不要遗忘了A的情况。⑥符号“,”是表示元素与集合之间关系的立体几何中的体现点与直线（面）的关系符号“,Ø”是表示集合与集合之间关系的立体几何中的体现面与直线(面)的关系。逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科是人们认识和研究问题不可缺少的工具是为了培养学生的推理技能发展学生的思维能力。第页共页《新课标》高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座第二讲函数概念与表示一．课标要求．通过丰富实例进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数体会对应关系在刻画函数概念中的作用了解构成函数的要素会求一些简单函数的定义域和值域了解映射的概念．在实际情境中会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数．通过具体实例了解简单的分段函数并能简单应用．通过已学过的函数特别是二次函数理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义结合具体函数了解奇偶性的含义．学会运用函数图象理解和研究函数的性质。二．命题走向函数是整个高中数学的重点其中函数思想是最重要的数学思想方法函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。从近几年来看对本部分内容的考察形势稳中求变向着更灵活的的方向发展对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系再求出函数的定义域、值域进而研究函数性质寻求问题的结果。高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主以解答题形式出现的可能性相对较小本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。预测年高考对本节的考察是：．题型是个选择和一个填空．热点是函数概念及函数的工具作用以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点。三．要点精讲．函数的概念：设A、B是非空的数集如果按照某个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)x∈A。其中x叫做自变量x的取值范围A叫做函数的定义域与x的值相对应的y值叫做函数值函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。注意：（）“y=f(x)”是函数符号可以用任意的字母表示如“y=g(x)”（）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值一个数而不是f乘x。第页共页．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零偶次根式函数的被开方数为非负数对数函数的真数为正数等等）②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制这是函数学习中重点往往也是难点因为有时这种限制比较隐蔽容易犯错误③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时应认真考察自变量x的实际意义。（）求函数的值域是比较困难的数学问题中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。①配方法（将函数转化为二次函数）②判别式法（将函数转化为二次方程）③不等式法（运用不等式的各种性质）④函数法（运用基本函数性质或抓住函数的单调性、函数图象等）。．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素即定义域A、值域C和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后函数的值域也就随之确定。因此定义域和对应法则为函数的两个基本条件当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时这两个函数才是同一个函数。．区间（）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（）无穷区间（）区间的数轴表示。．映射的概念一般地设A、B是两个非空的集合如果按某一个确定的对应法则f使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”。函数是建立在两个非空数集间的一种对应若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系这种的对应就叫映射。注意：（）这两个集合有先后顺序A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则可以用汉字叙述。（）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个二是只有一个也就是说有且只有一个的意思。．常用的函数表示法（）解析法：就是把两个变量的函数关系用一个等式来表示这个等式叫做函数的解析表达式简称解析式（）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系（）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。．分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间而每个子区间的解析式不同这种函数第页共页又称分段函数．复合函数若y=f(u)u=g(x),x(ab)u(m,n)那么y=fg(x)称为复合函数u称为中间变量它的取值范围是g(x)的值域。四．典例解析题型：函数概念例．（）设函数)(,)()()()(fxxffxxxf求（）（上海理）设函数f（x）＝),(,log,(,xxx则满足f（x）=的x值为。解：（）这是分段函数与复合函数式的变换问题需要反复进行数值代换)))((())))(((()))((())(()(fffffffffffff=)())(()())(()))((())((fffffffffff=)())((fff（）当x∈（－∞值域应为［＋∞］当x∈（＋∞）时值域应为（＋∞）∴y＝y∈（＋∞）∴此时x∈（＋∞）∴logx＝x＝＝。点评：讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧（赋值、变量代换、换元等等）这都是函数学习的常用基本功。变式题：（山东文）设,()(())log()xexfxffxx＜则的值为（）A．B．C．D．解：选项为C。第页共页例．（安徽文理）（）函数fx对于任意实数x满足条件fxfx若,f则ff（）函数fx对于任意实数x满足条件fxfx若,f则ff。解：（）由fxfx得()fxfxfx所以()()ff则()()()fffff。（）由fxfx得()fxfxfx所以()()ff则()()()fffff。点评：通过对抽象函数的限制条件变量换元得到函数解析式考察学生的逻辑思维能力。题型二：判断两个函数是否相同例．试判断以下各组函数是否表示同一函数？（）f（x）=xg（x）=x（）f（x）=xx||g（x）=,xx（）f（x）=nnxg（x）=（nx）n－（n∈N*）（）f（x）=xxg（x）=xx（）f（x）=x－x－g（t）=t－t－。解：（）由于f（x）=x=|x|g（x）=x=x故它们的值域及对应法则都不相同所以它们不是同一函数第页共页（）由于函数f（x）=xx||的定义域为（－∞）∪（∞）而g（x）=,xx的定义域为R所以它们不是同一函数（）由于当n∈N*时n±为奇数∴f（x）=nnx=xg（x）=（nx）n－=x它们的定义域、值域及对应法则都相同所以它们是同一函数（）由于函数f（x）=xx的定义域为{x|x≥}而g（x）=xx的定义域为{x|x≤－或x≥}它们的定义域不同所以它们不是同一函数（）函数的定义域、值域和对应法则都相同所以它们是同一函数。点评：对于两个函数y=f（x）和y=g（x）当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:wwwxjktygcomwxcwxcktcomwxcktcomhttp:wwwxjktygcomwxc王新敞特级教师源头学子小屋新疆若两个函数表示同一函数则它们的图象完全相同反之亦然。（）第（）小题易错判断成它们是不同的函数原因是对函数的概念理解不透新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:wwwxjktygcomwxcwxcktcomwxcktcomhttp:wwwxjktygcomwxc王新敞特级教师源头学子小屋新疆要知道在函数的定义域及对应法则f不变的条件下自变量变换字母以至变换成其他字母的表达式这对于函数本身并无影响比如f（x）=xf（t）=tf（u）=（u）都可视为同一函数。（）对于两个函数来讲只要函数的三要素中有一要素不相同则这两个函数就不可能是同一函数。题型三：函数定义域问题例．求下述函数的定义域：（）)()lg()(xxxxxf（）)lg()lg()(axkaxxf解：（）xxxxx解得函数定义域为,(),(),(（）axkax（先对a进行分类讨论然后对k进行分类讨论）①当a=)(Rk时函数定义域为),(第页共页②当a时得axaxkax或）当ka时函数定义域为),(ka）当ka时函数定义域为),(a）当ka时函数定义域为),(),(aaka③当a时得axaxkax或）当ka时函数定义域为),(ka）当ka时函数定义域为),(a）当ka时函数定义域为),(),(aaka。点评：在这里只需要根据解析式有意义列出不等式但第（）小题的解析式中含有参数要对参数的取值进行讨论考察学生分类讨论的能力。例．已知函数fx定义域为()求下列函数的定义域：()()fx()()log()fxyx。解：（）由＜x＜得第页共页点评：本例不给出f(x)的解析式即由f(x)的定义域求函数fg(x)的定义域新疆源头学子小屋特级教师王新敞http:wwwxjktygcomwxcwxcktcomwxcktcomhttp:wwwxjktygcomwxc王新敞特级教师源头学子小屋新疆关键在于理解复合函数的意义用好换元法求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系求其定义域后面还会涉及到。变式题：已知函数f（x）=axaxx的定义域是R则实数a的取值范围是（）A．a＞B．－＜a≤C．－＜a＜D．a≤解：由a=或,)(,aaΔa可得－＜a≤答案B。题型四：函数值域问题例．求下列函数的值域：（）yxx（）yxx（）xyx（）yxx（）yxx（）||||yxx（）xxyxx（）()xxyxx（）sincosxyx。解：（）（配方法）()yxxx∴yxx的值域为,)。改题：求函数yxx,x的值域。解：（利用函数的单调性）函数yxx在,x上单调增∴当x时原函数有最小值为当x时原函数有最大值为。∴函数yxx,x的值域为,。（）求复合函数的值域：设xx（）则原函数可化为y。又∵()xxx∴故,第页共页∴yxx的值域为,。（）（法一）反函数法：xyx的反函数为xyx其定义域为{|}xRx∴原函数xyx的值域为{|}yRy。（法二）分离变量法：()xxyxxx∵x∴x∴函数xyx的值域为{|}yRy。（）换元法（代数换元法）：设tx则xt∴原函数可化为()()ytttt∴y∴原函数值域为(,。注：总结yaxbcxd型值域变形：yaxbcxd或yaxbcxd（）三角换元法：∵xx∴设cos,,x则cossinsin()y∵,∴,∴sin(),∴sin(),∴原函数的值域为,。（）数形结合法：()||||()()xxyxxxxx第页共页∴y∴函数值域为,)。（）判别式法：∵xx恒成立∴函数的定义域为R。由xxyxx得：()()yxyxy①①当y即y时①即x∴xR②当y即y时∵xR时方程()()yxyxy恒有实根∴△()()yy∴y且y∴原函数的值域为,。（）()xxxxyxxxxxx∵x∴x∴()()xxxx当且仅当xx时即x时等号成立。∴y∴原函数的值域为,)。（）（法一）方程法：原函数可化为：sincosxyxy第页共页∴sin()yxy（其中cos,sinyyy）∴sin(),yxy∴||yy∴yy