数学分析中一致收敛概念的推广及其应用

1 数学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 中“一致收敛”概念的推广及其应用 汪文珑（绍兴文理学院数学系，浙江绍兴，312000） 摘 要: 本文将数学分析中一致收敛性的概念加以推广，分别对函数项级数和含参量积分引入了次一致收敛的概 念, 证明了函数项级数、含参量非正常积分连续性的充要条件和可微性的充分条件，推广了数学分析中的相应结 论。 关键词: 一致收敛; 次一致收敛；连续；可微； 中图分类号：O177. 熟知，函数项级数∑ )(xun 的一致收敛性是保证其和函数具有连续性，可微性，可积性的重要 条件，但又只是充分条件，对含参量无穷积分 ( , ) c f x y dy +∞∫ 同样如此（[1]）。由于一致收敛条件较 苛刻，因此考虑各种形式的推广是数学分析中一个饶有兴趣的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。本文引入函数项级数和含参量 无穷积分次一致收敛的概念, 并以此概念为基础，推广了数学分析中的有关结论。 设函数项级数与含参量非正常积分分别为： LL ++++=∑∞ = )()()()( 21 1 xuxuxuxu n n n (1) ( ) ( , ) , [ , ] c I x f x y dy x a b +∞= ∈∫ (2) 函数项级数（1）的部分和记为 1 ( ) ( ) n n k k S x u x = =∑ ， 1,2,3,n = L 定义 1. 设 )(xun 定义于区间 I , 若对任意 0>ε 及自然数m , 存在有限个开区间 1I , jII ,,2L 覆 盖了 I , 存在一组大于m的自然数 iN , 使得 iNn ≥ , ix I I∈ ∩ , ,,2,1 ji L= 有 ε<= ∑∞ += 1 )()( nk nn xuxr 则称级数(1)在 I 上次一致收敛。 定义 2 . 设含参量非正常积分(2) 定义于 I , 若对任意 0>ε 及m c≥ ，存在有限个开区间 1I , jII ,,2L 覆盖了 I , 存在一组大于m的数 iN , 使 iNn ≥ , ix I I∈ ∩ , ,,2,1 ji L= 有 ( , ) ( , ) n c c f x y dy f x y dy ε+∞ − <∫ ∫ 则称含参量非正常积分(2)在 I 上次一致收敛。 注：由定义可知：一致收敛⇒次一致收敛⇒逐点收敛。 例如，级数 nx∑ 在 (0,1)非一致收敛，但由定理 1可知级数是次一致收敛的，因为其和函数在 2 (0,1)连续。 定理 1 ([2]) 设 )(xun 在 I 上连续, 且(1)的和函数是 )(xf , 则 )(xf 在 I 上连续的充要条件是:级数(1) 在 I 上次一致收敛。 定理 2. 设 ),( yxf 为 [ ] [ )+∞× ,, cba 上的连续函数，则含参量非正常积分(2)定义的函数 )(xI 在 [ ]ba, 上连续的充要条件是含参量非正常积分(2)在 [ ]ba, 上次一致收敛。 证明：必要性：设 )(xI 在 [ ]ba, 上连续， 0x ∈ [ ]ba, ，对任意的 0>ε , 存在 01 >δ , 当 10 δ<− xx 时,有 0 0 ( ) ( ) ( , ) ( , ) 3c cI x I x f x y dy f x y dy ε+∞ +∞− = − <∫ ∫ ，又因 ( , )c f x y dy+∞∫ 在 [ ]ba, 上 收敛，所以对任意的m c≥ ，存在 0N m> , 当 0Nn > 时 0 0 ( , ) ( , ) 3 n c c f x y dy f x y dy ε+∞ − <∫ ∫ 由于 ),( yxf 为 [ ] [ )+∞× ,, cba 上连续，所以 ( , ) n c f x y dy∫ 在 [ ]ba, 上也连续，故存在 10 δδ << ， 当 δ<− 0xx 时，有 0 ( , ) ( , ) 3 n n c c f x y dy f x y dy ε− <∫ ∫ ，于是 ( , ) ( , ) n c c f x y dy f x y dy +∞ −∫ ∫ 0 ( , ) ( , )c cf x y dy f x y dy +∞ +∞≤ −∫ ∫ + 0 ( , ) ( , )n nc cf x y dy f x y dy−∫ ∫ 0 0 ( , ) ( , ) n c c f x y dy f x y dy +∞+ −∫ ∫ ε< 这 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明对任意 0x ∈ [ ]ba, , 存在 0x 的邻域 0xI ，当 0xIx∈ 时, 有 ( , ) ( , ) n c c f x y dy f x y dy +∞ −∫ ∫ ε< 当 0x 取遍 [ ]ba, , 所得开区间族{ xI }覆盖了 [ ]ba, , 据有限覆盖定理, 便得到必要性的证明。 充分性: 对任意 0x ∈ [ ]ba, , 0>ε , 取 cm = , 根据含参量非正常积分(2)的次一致收敛性, 存 在开区间 kI 以及相应的 mNk > ，使 ∈0x kI , 当 kNn > 时，有 ( , ) ( , ) n c c f x y dy f x y dy +∞ −∫ ∫ 3ε< 对 kIx∈ 都成立，而 )()( 0xIxI − = 0 ( , ) ( , )c cf x y dy f x y dy +∞ +∞−∫ ∫ 3 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n c c c c f x y dy f x y dy f x y dy f x y dy +∞≤ − + −∫ ∫ ∫ ∫ + 0 0 ( , ) ( , ) n c c f x y dy f x y dy +∞ −∫ ∫ 利用 ( , ) n c f x y dy∫ 的连续性，存在 0>δ , 使( δδ +− 00 , xx ) kI⊂ , 且当 ),( 00 δδ +−∈ xxx 时，有 0 ( , ) ( , ) 3 n n c c f x y dy f x y dy ε− <∫ ∫ ，因此当 δ<− 0xx 时, 有 )()( 0xIxI − = 0 ( , ) ( , )c cf x y dy f x y dy +∞ +∞−∫ ∫ ε< 即 )(xI 在 0x 处连续。由 0x 的任意性可知 )(xI 在 [ ]ba, 上连续。 定理 3 若（1）在 ],[0 bax ∈ 收敛，每个 )(xun 在[ ],a b 内可导，且∑+∞ =1 ' )( n n xu 在[ ],a b 内次一致 收敛，则（1）在[ ],a b 内次一致收敛，且 ∑∑ +∞ = +∞ = = 1 ' 1 )(])([ n n n n xuxudx d 证明：设 ∑+∞ = = 1 ' )()( n n xuxg ，由题设，任意 0ε > 及m N∈ ，存在有限个开区间 1 2, , , jI I IL 覆 盖了[ ],a b ，存在一组大于m的自然数 , 1, 2, ,kN k j= L ，对任意 [ ],x a b∈ ，设 , 1kx I k j∈ ≤ ≤ ， 当 kNn > 时，有 0 1 | ( ) | 2ii n u x ε+∞ = + <∑ ， ' 1 | ( ) | 2( )ii n u x b a ε+∞ = + < −∑ 于是 0 0 1 1 1 1 | ( ) | | ( ) ( ) | ( )k k k k k n k n k n k n u x u x u x u x ∞ ∞ ∞ ∞ = + = + = + = + ≤ − +∑ ∑ ∑ ∑ ' 0 0 1 1 | ( ) || | | ( ) |k k k n k n u x x u xξ ε∞ ∞ = + = + = − + <∑ ∑ 其中ξ介于 x与 0x 之间，这表明级数（1）在[ ],a b 次一致收敛，设极限函数为 ( )f x 下面证明 ( )f x 在[ ],a b 可微，且 )()(' xgxf = 。任意 [ ],x a b∈ ，存在 kI ，使得 kIx∈ ，若 x 为[ ],a b 的内点，令 min{ :h x t t= − 为 kI 的端点}，定义： ' ( ) ( ) , 0; ( ) ( ), 0; n n n n S x t S x t d t t S x t + − ≠=  = （注：当 x h+ （或 x h− ）为 kI 的端点时，存在 1kI ，使得 x h+ （或 x h− ）为 1kI 的内点，所以 )(tdn 在点 h（或 h− ）有定义），易知 )(tdn 为[ ],h h− 上的连续函数，且 ( ) ( ) ( ) ( )| ( ) ( ) | | |n p n p n nn p n S x t S x S x t S xd t d t t t + + + + − + −− = − ' '1 2| ( ) ( ) |n p nS x t S x tθ θ+= + − + b a ε< − 1 2(0 , 1)θ θ< < 对所有 , 1, [ , ]kn N p t h h> ≥ ∈ − 成立，故{ })(tdn 在[ ],h h− 上一致收敛于 4 ( ) ( ) , 0; ( ) ( ), 0; f x t f x t d t t g t t + − ≠=  = 注意到 ( )d t 在[ ],h h− 上连续，故有： ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim t t f x t f x d t g x t→ → + −= = 即 ( )f x 可导且 )()(' xgxf = 对于 x a= 或 x b= 的情形，只需将 [ ],t h h∈ − 相应地改为[ ]0,h 或[ ],0h− ，便可以证明 ( )f x 在 x a= 或 x b= 分别具有单侧导数。 定理 4 若（2）在 ].[0 bax ∈ 收敛， ( ),f x y 在 [ ] [ )+∞× ,, cba 对 x的偏导存在，又 ∫ ∞+ ),(c x dyyxf 在[ ],a b 次一致收敛，则（2）在[ ],a b 次一致收敛，且 ( ( , ) ) ( , )xc c d f x y dy f x y dy dx +∞ +∞=∫ ∫ 证明：与定理 3的证明类似。 参 考 文 献 [1] 华东师范大学数学系编，数学分析[M]，北京：高等教育出版社，2000，第三版 [2] 胡雁军，李育生，邓聚成编，数学分析中的证题方法与难题选解[M]，郑州：河南大学出版社， 1987 Generalization and applications of the uniformly convergence in mathematical analysis Wang Wenlong (Dept of Math . Shaoxing College of Art and Science，Shaoxing Zhejiang，312000) Abstract: In this paper we study the generalization of the uniformly convergence in mathematical analysis, quote the concept of second uniformly convergence to functional series and integral with parameter. Furthermore, we obtain a sufficient and necessary condition about continuity of functional series and integral with parameter，show the sufficient condition about differential. Key words: uniformly convergence；second uniformly convergence；continuity；differential；