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黄昆《固体物理学》习题解析.pdf

黄昆《固体物理学》习题解析

amfong
2010-01-07 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《黄昆《固体物理学》习题解析pdf》,可适用于其他资料领域

《固体物理学》习题完全解析如果将等体积球分别排成下列结构证明钢球所占体积与总体积之比()简立方p()体心立方,p()面心立方p()六角密积p()金刚石结构p解:设想晶体是由刚性原子球堆积而成一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径V表示晶胞体积则致密度r=Vrnp()对简立方晶体任一个原子有个最近邻若原子以刚性球堆积如图所示中心在处的原子球将依次相切因为,,aVra==晶胞内包含个原子所以r=)(pp=aa图简立方晶胞图体心立方晶胞()对体心立方晶体任一个原子有个最近邻若原子刚性球堆积如图所示体心位置O的原子个角顶位置的原子球相切因为晶胞空间对角线的长度为,,aVra==晶胞内包含个原子所以r=pp)(*=aa()对面心立方晶体任一个原子有个最近邻若原子以刚性球堆积如图所示中心位于角顶的原子与相邻的个面心原子球相切因为,aVra==个晶胞内包含个原子所以r=)(*pp=aa图面心立方晶胞图六角晶胞图正四面体()对六角密积结构任一个原子有个最近邻若原子以刚性球堆积如图。所示中心在的原子与中心在的原子相切中心在的原子与中心在的原子相切晶胞内的原子O与中心在处的原子相切即O点与中心在处的原子分布在正四面体的四个顶上因为四面体的高h=cra==晶胞体积V=sincaca=o一个晶胞内包含两个原子所以ρ=pp)(*=caa()对金刚石结构任一个原子有个最近邻若原子以刚性球堆积如图所示中心在空间对角线四分之一处的O原子与中心在处的原子相切因为,ra=晶胞体积aV=一个晶胞内包含个原子所以ρ=)(*pp=aa图金刚石结构试证明六角密堆积结构中)(»=ac证明:由题六角密排中crah==故)(»=ac证明:体心立方晶格的倒格子是面心立方面心立方晶格的倒格子是体心立方。解:由倒格子定义aabaaap´=×´vvvvvvaabaaap´=×´vvvvvvaabaaap´=×´vvvvvv体心立方格子原胞基矢(),(),()aaaaijkaijkaijk===vvvvvvvvvvvv倒格子基矢()()aaaabijkijkaaavpp´==×´×´vvvvvvvvvvvv()()aijkijkvp=×´vvvvvv()jkap=vv同理()aabikaaaapp´==×´vvvvvrrr()bijap=vvv可见由,,bbbvvv为基矢构成的格子为面心立方格子JonesHoo整理面心立方格子原胞基矢()()()aajkaakiaaij===vvvvvvvvv倒格子基矢aabaaap´=×´vvvvvv()bijkap=vvvv同理()bijkap=vvvv()bijkap=vvvv可见由,,bbbvvv为基矢构成的格子为体心立方格子证明倒格子原胞的体积为()vp其中v为正格子原胞体积证:倒格子基矢aabaaap´=×´vvvvvvaabaaap´=×´vvvvvvaabaaap´=×´vvvvvv倒格子体积*()vbbb=×´vvv*()()()()vaaaaaavp=´×´´´vvvvvv*()vvp=证明:倒格子矢量Ghbhbhb=vvvv垂直于密勒指数为()hhh的晶面系。证:,aaaaCACBhhhh==vvvvuuuruuur容易证明hhhhhhGCAGCB×=×=uuurvuuurvGhbhbhb=vvvv与晶面系()hhh正交。如果基矢,,abcvvv构成简单正交系证明晶面族()hkl的面间距为()()()hkldabc=说明面指数低的晶面其面密度较大容易解理证:简单正交系abc^^vvv,,aaiabjack===vvvvvv倒格子基矢aabaaap´=×´vvvvvvaabaaap´=×´vvvvvvaabaaap´=×´vvvvvv,,bibjbkabcppp===vvvvvvJonesHoo整理倒格子矢量Ghbkblb=vvvvhikjlkabcppp=vvv晶面族()hkl的面间距dGp=v()()()hklabc=面指数越简单的晶面其晶面的间距越大晶面上格点的密度越大这样的晶面越容易解理。写出体心立方和面心立方晶格结构中最近邻和次近邻的原子数若立方边长为a写出最近邻和次近邻原子间距解:简立方面心立方体心立方最近邻数最近邻间距aaa次近邻数次近邻间距aaa8画体心立方和面心立方晶格结构的金属在)()()(面上原子排列.解:体心立方面心立方JonesHoo整理指出立方晶格()面与()面()面与()面的交线的晶向解:()面与()面的交线的AB-AB平移A与O重合。B点位矢BRajak=vvv()与()面的交线的晶向ABajak=uuurvv晶向指数éùëû()面与()面的交线的AB将AB平移A与原点O重合B点位矢BRaiaj=vvv()面与()面的交线的晶向ABaiaj=uuurvv――晶向指数éùëû找出立方体中保持x轴不变的所有对称操作并指出他们中任意两个操作乘积的结果解:立方体中保持x轴不变可有绕x轴转p、p、p加上不动C所有对称操作构成群CC=(CCCC)群中任意两元素乘积仍是群中元素。利用转动对称操作证明六角晶系介电常数矩阵为úúúûùêêêëé=eeee解:若A是一旋转对称操作则晶体的介电常数e满足'AAee=对六角晶系绕x(即a)轴旋转o和绕z(即c)轴旋转o都是对称操作坐标变换矩阵分别为úúúûùêêêëé=xAúúúúúúúûùêêêêêêêëé=zA假设六角晶系的介电常数为úúúûùêêêëé=eeeeeeeeee则由'xxAAee=得úúúûùêêêëé=úúúûùêêêëéeeeeeeeeeeeeeeeeee可见,,===eeeJonesHoo整理即úúúûùêêêëé=eeeeee。将上式代入'xxAAee=得úúúûùêêêëéeeeeeúúúúúúúûùêêêêêêêëé=eeeeeeeeeeeee由上式可得,,eeee===于是得到六角晶系的介电常数úúúûùêêêëé=eeee附:证明不存在度旋转对称轴。证:如下面所示A,B是同一晶列上O格点的两个最近邻格点如果绕通过O点并垂直于纸面的转轴顺时针旋转q角则A格点转到'A点若此时晶格自身重合点处原来必定有一格点如果再绕通过O点的转轴逆时针旋转q角则晶格又恢复到未转动时的状态但逆时针旋转q角B格点转到'B处说明'B处原来必定有一格点可以把格点看成分布在一族相互平行的晶列上由下图可知''BA晶列与AB晶列平行.平行的晶列具有相同的周期若设该周期为a则有图晶格的旋转对称性,cos''maaBA==q其中m为整数由余弦的取值范围可得cos£=mq于是可得,:,,,:,:ppqppppqppq======mmm因为逆时针旋转p,pp分别等于顺时针旋转pp,p所以晶格对称转动所允许的独立转角为,,,,pppppJonesHoo整理上面的转角可统一写成,,,,,=nnp称n为转轴的度数由此可知晶格的周期性不允许有5度旋转对称轴.证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为lna=证:设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键取任一负离子作参考离子(这样马德隆常数中的正负号可以这样取即遇正离子取正号遇负离子取负号)用r表示相邻离子间的距离于是有()jijrrrrrra±¢==å前边的因子是因为存在着两个相等距离ir的离子一个在参考离子左面一个在其右面故对一边求和后要乘马德隆常数为()nxxxxxx=Ql当X=时有n=l讨论离子电荷加倍时所引起的对NaCl晶格常数及结合能的影响解:考虑到库伦吸引能和重叠排斥势为简便起见可将一个NaCl晶体原胞内能写作nnrcraqrbrqrU==)(pea由平衡条件)(===nrrrncraqdrrdU得=nrncraq)()(=naqncqr结合能)()(nraqrU=当电荷加倍时)()()(qraqncqrnn==结合能)()()()(rUnqrqarUnn==若一晶体的相互作用能可以表示为()mnurrrab=求()平衡间距r()结合能W(单个原子的)()体弹性模量()若取,,,mnrnmWeV====计算,ab值。解:()晶体内能()()mnNUrrrab=a=na=lJonesHoo整理平衡条件rrdUdr==mnmnrrab=()nmnrmba=()单个原子的结合能()Wur=()()mnrrurrrab==()()mnmmnWnmbaa=()晶体的体积VNAr=A为常数N为原胞数目晶体内能()()mnNUrrrab=()mnNmnrrNArab=()mnUNrmnVVrrrNArab¶¶¶=¶¶¶)(nmnmrnrmrnrmVNVUbaba=¶¶由平衡条件()mnVVUNmnVrrNArab=¶==¶mnmnrrab=mnVVUNmnVVrrab=¶=¶mnVVUNmnmnVVrrab=¶=¶mnNnmVrrab=()VVUmnUVV=¶=¶体弹性模量()VUKVV¶=׶mnKUV=()mnmnrrab=()nmnrmba=()()mnmmnWnmbaa=Wrb=eVmb=´×rWrba=eVma=´×经sp杂化后形成的共价键其方向沿立方体的四对角线求共价键之间的夹角解:共价键沿立方体四对角线方向与中心可构成正四面体易得键角为°′JonesHoo整理假设IIIV族化合物中III族、V族原子都是电中性的(*=q)求其电离度if解:对III族原子有效电荷)(*ll=q电中性时有*=q故=l由Coulson定义电离度得IIIV族化合物(*=q)的电离度为===llBABAippppf用林纳德琼斯(LennardJones)势计算Ne在bcc(球心立方)和fcc(面心立方)结构中的结合能之比值.解:()()(),()()()()nlururNAArrrrsssseeéùéù==êúêúëûëû()rAAdurruNrAAseæö=Þ=Þ=ç÷èø()()()()bccbccfccfccurAAurAAww¢====¢对于H从气体的测量得到LennardJones势参数为,JAes=´=o计算H结合成面心立方固体分子氢时的结合能(以KJmol单位)每个氢分子可当做球形来处理.结合能的实验值为kJ/mo试与计算值比较.解:以H为基团组成fcc结构的晶体如略去动能分子间按LennardJones势相互作用则晶体的总相互作用能为:ijijijUNPPRRsseéùæöæö¢¢=êúç÷ç÷èøèøêúëûåå,ijijjiPP¢¢==åå,,ergANmoles=´==´o()()UUmolergKJmoléùæöæö=´´´´´»êúç÷ç÷èøèøêúëû将R代入得到平衡时的晶体总能量为。因此计算得到的H晶体的结合能为KJ/mol远大于实验观察值lKJ/mo.对于H的晶体量子修正是很重要的我们计算中没有考虑零点能的量子修正这正是造成理论和实验JonesHoo整理值之间巨大差别的原因.已知一维单原子链其中第j个格波在第n个格点引起的位移为sin()njjjjjatnaqmwd=jd为任意个相位因子并已知在较高温度下每个格波的平均能量为kT具体计算每个原子的平方平均位移。解:任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加即sin()nnjjjjjjjatnaqmmwd==åå()**nnjnjnjnjnjjjjjjmmmmmm¢¢¹æöæö==ç÷ç÷èøèøååååg由于njnjmm×数目非常大为数量级而且取正或取负几率相等因此上式得第项与第一项相比是一小量可以忽略不计。所以nnjjmm=å由于njm是时间t的周期性函数其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为sin()TjjjjjjatnaqdtaTmwd==ò()已知较高温度下的每个格波的能量为kTnjm的动能时间平均值为sin()LTTnjjjnjjjjjjjdwaTdxdtLatnaqdtwLaTdtTmrrwdréùæö===êúç÷êúèøëûòòò其中L是原子链的长度r使质量密度T为周期。所以njjjTwLaKTr==()因此将此式代入()式有njjKTPLmw=所以每个原子的平均位移为nnjjjjjjKTKTPLPLmmww====ååå讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a)其N个格波解当M=m时与一维单原子链结果一一对应解:质量为M的原子位于nnn……。质量为m的原子位于nnn……。JonesHoo整理牛顿运动方程()()nnnnnnnnmMmbmmmmbmmm==体系有N个原胞有N个独立的方程方程()()nnnnnnnnmMmbmmmmbmmm==的解()()itnaqnitnaqnAeBewwmm==A,B有非零解coscosmaqaqMbwbbbw=(){sin}()mMmMaqmMmMwb=±两种不同的格波的色散关系(){sin}()mMmMaqmMmMwb=(){sin}()mMmMaqmMmMwb=对应一个q有两支格波:一支声学波和一支光学波总的格波数目为NM=mcosaqmbw=sinaqmbw=长波极限情况下q®sin()qaqa»()qmbw=与一维单原子晶格格波的色散关系一致考虑一双原子链的晶格振动链上最近邻原子间力常数交错的等于c和c.令两种原子质量相同且最近邻间距为a.求在k=和kap=处的()kw.大略地画出色散关系.本题模拟双原子分子晶体如H。解:()(cos)(cos)()mAaqBaqAMBbwbbbwì=ïí=ïîJonesHoo整理aCc·o·o·osusvsusvsusv()()sssssduMCVuCVudt=()(),sssssdVMCuVCuVdt=将,isKaitisKaitssuueeVVeeww=×=×代入上式有()(),,ikaikaMuCeVCuMVCeuCVww==是Uv的线性齐次方程组存在非零解的条件为,()(),iKaiKaMCCeCeMCww=解出()()MMCCconKaCconKaMwww±=éù=±ëû当K=时当K=ap时,,CMww==,,CMCMww==考虑一个全同粒子组成的平面格子用lmU记第l行m列的原子垂直于晶格平面的平移每个原子的质量为M最近邻原子的力常数为C()证明运动方程)()()(lmlmlmlmmlmllmUUUUUUCdtUdM=()设解得形式为)(exp)(tamkalkiUUyxlmw=这里a是最近邻原子间距证明远动方程是可以满足的如果)coscos(akakCMyx=w这就是问题的色散关系()证明独立解存在的k空间区域是一个边长为ap的正方形这就是平方格子的第一布里渊区给出xkk=而=yk时和yxkk=时的kw图()对于<<ka证明kMCakkMCayx)()()(==wJonesHoo整理解:()对于原子(lmU)考虑左右上下原子与其相对位移有)()()()(mllmlmmllmlmlmlmlmUUCUUCUUCUUCUM=)()(lmmlmllmlmlmlmUUUCUUUCUM=()由题知)(exp)(tamkalkiUUyxlmw=为平面格子运动方程的解故))((exp)(tamkakliUUyxmlw=))((exp)(tamkakliUUyxmlw=))((exp)(takmalkiUUyxlmw=))((exp)(takmalkiUUyxlmw=将各解代入平面运动方程的色散关系)coscos(akakCMyx=w()有色散关系记周期性边界条件知),(aakxppÎ),(aakyppÎ故在独立解存在的k空间区域为一边长为ap的正方形即二维正方格子的第一布里渊区。xkk=而=yk时)cos(kaMC=wyxkk=时)cos()cos(akMCakMCx==w()对于<<ka由)cos(akMCxsincosakkaka»=)()()(yxyxkkMCaakakMC=»w即kMCakkMCayx)(==w已知某离子晶体每对离子平均互作用能为nrrqruba=)(其中马德隆常数,==na平衡离子间距A=r。①试求离子在平衡位置附近的振动频率。②计算与该频率相当的电磁波的波长并与NaCl红外吸收频率的测量值u进行比较。JonesHoo整理解:①把一对NaCI离子看成一对谐振子其振动势能可表示为rub=⑴其中b为力常数。它与振动频率有如下关系mbw=⑵其中Mm=m⑶⑴式u左边为每对离子的平均作用能。因为==¶¶=nrrrncrerupea所以nrercn×=pea⑷JnreruEb)()(´===pea由⑴⑵⑶式得)(Mmurr==mmw把数值代入得´=w所以´==svpw②波长mmvcml=´=´´==与吸收频带的关察值mml=很接近。计算一维单原子链的频率分布函数()rw解:设单原子链长度LNa=波矢取值qhNap=´每个波矢的宽度Nap状态密度Napdq间隔内的状态数NadqpJonesHoo整理对应,qw±取值相同dw间隔内的状态数目()Naddqrwwp=´一维单原子链色散关系sin()aqmbw=令mbw=sin()aqww=两边微分得到cos()aaqddqww=cos()aqww=addqwww=addqwww=ddqawww=代入()Naddqrwwp=´Ndwpww=´一维单原子链的频率分布函数()Nrwpww=设三维晶格的光学振动在q=附近的长波极限有()qAqww=求证:频率分布函数为()(),VfAwwwwwp=<()fw=,ww>解:()(),AqfAqqAwwwwwwwwww>=>=<Þ=Þ=时依据()(),()()qqVdsqAqfqwwwpÑ==Ñòr并带入上边结果有()()()()()()()()qVdsVAVfAAqwpwwwwwppwwp=×=×=×Ñr(),BxyKKmmaamapppeéùéùæöæöæö===êúêúç÷ç÷ç÷èøèøèøêúêúëûëûhhhB点能量所以BAee=有N个相同原子组成的面积为S的二维晶格在德拜近似下计算比热并论述在低温极限比热正比于T。证明:在k到kdk间的独立振动模式对应于平面中半径n到ndn间圆环的面积ndnp且JonesHoo整理()Lsndnkdkkdkdvrwprwwppp===即则()()mDDBBxBBBBkTkTxDDdskTskTkTkTsdxdxEEvevevewwwwrrrwwwwpppæöæöç÷ç÷èøèø===òòòhhhhhhhh,()vsETETCTT¶®µ=µ¶时写出量子谐振子系统的自由能证明在经典极限下自由能为qBnqBFUkTkTwæöç÷èøåhl证明:量子谐振子的自由能为qBqkTBnqBFUkTekTwwéùæöêúç÷=ç÷êúèøëûåhhl经典极限意味着(温度较高)qBTkwh>>应用xexx=所以qBqqkTBBekTkTwwwæö=ç÷èøhhh因此qqqBnBnqqBBFUkTUkTkTkTwwwæöæöç÷ç÷èøèøååhhhll其中qqUUwåh设晶体中每个振子的零点振动能为wh使用德拜模型求晶体的零点振动能。证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的与温度无关故T=K时振动能E就是各振动模零点能之。()()()mEEgdEwwwwww==òh将和()sVgvwwp=代入积分有mmsVENvwwp==h由于mBDBDkENkwqq==h得一股晶体德拜温度为~K可见零点振动能是相当大的其量值可与温升数百度所需热能相比拟.一维复式格子,,MmgNmmb=´´==´(),dyncm´即求()光学波maxmin,ww声学波maxAw。()相应声子能量是多少电子伏。JonesHoo整理()在k时的平均声子数。()与maxw相对应的电磁波波长在什么波段。解:()max,AdyncmsMbw´´===´´´´()()maxoMmdyncmsMmbw´´´´´´===´´´´´´´maxAdyncmsmbw´´===´´´()maxmaxminAooseVseVseVwww=´´´=´=´´´=´=´´´=´hhh()maxmaxmaxmax,AOBBAOkTkTnneeww====hhminminOBOkTnew==h()cmplmw==根据kap=±状态简并微扰结果求出与E及E相应的波函数y及y。说明它们都代表驻波并比较两个电子云分布(即y)说明能隙的来源(假设nV=*nV)。解:令kap=kap¢=简并微扰波函数为()()kkAxBxyyy=*()nEkEAVBéù=ëû()nVAEkEB¢éù=ëû取EE=带入上式其中()nEEkV=V(x)<,nV<,从上式得到B=A,于是()()nnixixaakkAAxxeeLppyyy¢éùéù==êúëûëû=sinAnxaLp取EE=()nEEkV=,nnVAVBAB==得到()()nnixixaakkAAxxeeLppyyy¢éùéù==êúëûëû=cosAnxaLpJonesHoo整理由教材可知Y及Y均为驻波.在驻波状态下电子的平均速度()kn为零.产生驻波因为电子波矢nkap=时电子波的波长aknpl==恰好满足布拉格发射条件这时电子波发生全反射并与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同所以对应不同代入能量。写出一维近自由电子近似第n个能带(n=

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