第三章 数字特征与特征函数

计算公式 六西格玛计算公式下载结构力学静力计算公式下载重复性计算公式下载六西格玛计算公式下载年假计算公式 Var = 2( ) d ( )x E F x    = 2 2 ( ) ( ), , ( ) ( )d . i i i x E P x x E p x x               离散型 ，连续型 (2) 进一步，注意到   2 E E  =  22 2E E E       =   22E E  即有 Var =   22E E  . (3) 许多情况，用(3)式计算方差较方便些. 例 1(续) 计算例 1中的方差 Var与 Var . 解 利用(3)式 2E =   i ii xPx )( 2  = 72 ×0.1+82 ×0.8+ 92 ×0.1=64.2, Var =   22E E  =64.2--82 =0.2. 同理, Var =   22E E  = 65.2-64 = 1.2 > Var , 所以取值较分散. 这说 明甲的射击技术较好. 例 2 试计算泊松分布 P(λ)的方差. 解 2 2 0 1! ( 1)! k k k k E k e k e k k              1 1 ( 1) ( 1)! ( 1)! k k k k k e e k k              2 0 0! ! j j j j j e e j j              2   所以 Var  2 2      . 例 3 设服从[ a, b ]上的均匀分布 U [a, b]，求 Var . 解  2 2 2 21 1d 3 b a E x x a ab b b a       , Var     2 2 21 1 3 2 a ab b a b         21 12 b a  . 例 4 设服从正态分布   2,N a  ，求 Var . 解 此时用公式(2)，由于E a  , Var 2( )E a  2 22 ( ) / 21( ) d 2 x ax a e x         2 2 2 / 2d 2 zz e z        2 2 2 / 2 / 2 2 z zze e dz              2 22 2      � . 可见正态分布中参数 2 就是它的方差,  就是标准差. 方差也有若干简单而重要的性质. 先介绍一个不等式. 切贝雪夫(Chebyshev)不等式 若随机变量的方差存在，则对任意给定的正数 ε，恒有   2VarP E       . (4) 证 设的分布函数为  F x ，则  P E    =    || )(Ex xdF 2 2| | ( ) d ( ) x E x E F x         2 2 1 ( ) d ( )x E F x      =Var / 2 . 这就得(4)式. 切贝雪夫不等式无论从证明方法上还是从结论上都有一定意义. 事实上，该 式断言落在  ,E   与  ,E   内的概率小于等于Var / 2 ，或者说， 落在区间  ,E E     内的概率大于 1-Var /  2 ，从而只用数学期望和方差 就可对上述概率进行估计. 例如，取 ε=3 Var ，则    2Var 1 Var 3 VarP E        ≈0.89. 当然这个估计还是比较粗糙的（当～   2,N a  时，在第二章曾经指出, P(|ξ-E |3 Var )=P(|ξ- a |3σ)≈0.997 ). 性质 1 Var =0 的充要条件是 P(ξ=c) =1，其中 c是常数. 证 显然条件充分. 反之，如果Var = 0，记E = c, 由切贝雪夫不等式, P(|ξ- E | ε)=0 对一切正数ε成立. 从而  P c   1 0P c     1 lim 1 1 n P c n       . 性质 2 设 c,b都是常数，则 Var( c +b)= 2c Var . (5) 证 Var( c +b)=E( c +b-E( c +b) ) 2 =E( c +b-cE -b ) 2 = 2c 2( )E E  = c2 Var . 性质 3 若 c E , 则   2 Var E c   . 证 因 Var =E 2 - 2)( E , 而 E(ξ-c ) 2 =E  2 -2cE + 2c , 两边相减得   2 Var E c    2 0E c    .这说明随机变量 ξ 对数学期望 E 的离散度最小. 性质 4 1 Var( ) n i i    = 1 Var n i i    +2    nji jjii EEE 1 ))((  (6) 特别若 1, , n  两两独立，则 1 Var( ) n i i    = 1 Var n i i    . (7) 证 Var( ) 1   n i i =E(   n i i 1  -E( ) 1   n i i ) 2 =E    n i ii E 1 2))((  = E      n i nji jjiiii EEE 1 1 2 )))((2)((  = 1 Var n i i    +2    nji jjii EEE 1 ))((  , 得证(6)式成立. 当 1, , n  两两独立时，对任何1 ,i j n  有 i j i jE E E    ， 故 E ))(( jjii EE   =E( )jiijjiji EEEE   =E jiji EE   =0, 这就得证(7)式成立. 利用这些性质，可简化某些随机变量方差的计算. 例 5 设 ξ 服从二项分布 B(n, p), 求Var . 解 如§1 例 12 构造 i , 1, ,i n  , 它们相互独立同分布，此时 Var 22222 01)( pqpEE iii   =pq. 由于相互独立必是两两独立的，由性质 4 Var 1 Var( ) n i i     1 n i i Var   npq . 例6 例 6 设随机变量 1, , n  相互独立同分布, iE a  , Var i = 2 , ( 1, ,i n  ). 记 =   n i in 1 1  , 求E ,Var . 解 由§1 性质 2和本节性质 2 和 4有 E 1 1 n i i E n     a , Var 2 1 1 Var n i in     22 1 n n  2 n   . 这说明在独立同分布时， 作为各 i 的算术平均，它的数学期望与各 i 的数学期 望相同，但方差只有 i 的 1/ n 倍. 这一事实在数理统计中有重要意义. 例 7 设随机变量 ξ 的期望与方差都存在,Var 0  . 令 * Var E      , 称它为随机变量ξ的标准化. 求 *E 与 Var * . 解 由均值与方差的性质可知 * ( ) 0 Var E E E        , * Var( )Var Var E      1 Var Var     . 二、协方差 数学期望和方差反映了随机变量的分布特征. 对于随机向量 1( , , )n   , 除 去各分量的期望和方差外，还有表示各分量间相互关系的数字特征——协方差. 定义 2 记 i 和 j 的联合分布函数为 ),( yxFij . 若 ( )( )i i j jE E E      ，就称 ( )( )i i j jE E E     ( )( )d ( , )i j ijx E y E F x y          (8) 为 ,i j  的协方差( covariance)，记作 Cov( ,i j  ). 显然，  Cov ,i j  Var i .公式(6)可改写为 Var(   n i i 1  )   n i iVar 1  +2   nji jiCov 1 ),(  . ')6( 容易验证，协方差有如下性质： 性质 1 Cov( ,  ) = Cov( ,  ) E E E    . 性质 2 设 ,a b是常数，则 Cov( , )a b  Cov( , )ab   . 性质 3 1 1 Cov( , ) Cov( , ) n n i i i i         . 对于 n维随机向量ξ= 1( , , )n   ，可写出它的协方差阵    B E E E                     nnnn n n bbb bbb bbb     21 22221 11211 , (9) 其中 Cov( , )ij i jb   . 由性质 1可知 B是一个对称阵，且对任何实数 jt , 1, ,j n  , 二次型   n kj kjjk ttb 1, , 1 ( )( ) n j k j j k k j k t t E E E        2 1 ( ( )) 0 n j j j j E t E      , 即随机向量ξ的协方差阵 B是非负定的. 性质 4 设 ξ= 1( , , )n   , C = c c c c n m mn 11 1 1              , 则C 的协方差阵为CBC，其中 B是 ξ 的协方差阵. 因为 ''''')( CCECECCEC   ，所以CBC的第  ,i j 元素就是C 的第 i元素与第 j元素的协方差. 三、相关系数 协方差虽在某种意义上表示了两个随机变量间的关系，但  Cov ,  的取值大 小与 ξ,的量纲有关. 为避免这一点，用 ξ,的标准化随机变量（见例 7）来讨 论. 定义 3 称 r =Cov( , )    ( )( ) Var Var E E E          (10) 为ξ, 的相关系数(correlation coefficient). 为了讨论相关系数的意义，先看一个重要的不等式. 柯西—许瓦茨(Cauchy—Schwarz)不等式 对任意随机变量 ξ, 有 2 2 2E E E   . (11) 等式成立当且仅当存在常数 0t 使  0 1P t   . (12) 证 对任意实数 t 2 2 2 2 ( ) ( ) 2u t E t t E tE E         是 t的二次非负多项式，所以它的判别式 2 2 2( ) 0E E E    , 证得(11)式成立. (11)式中等式成立当且仅当多项式 ( )u t 有重根 0t ，即   2 0 0( ) 0u t E t     . 又由(3)    20 0Var t E t      , 故得  0Var 0t    ,同时有  0 0E t    . 所以由方差的性质 1就证得  0 0 1P t     ，此即 (12)式. 由此即可得相关系数的一个重要性质. 性质 1 对相关系数 r 有 1r  . (13) r =1 当且仅当 1 Var Var E E P                ; r =-1 当且仅当 1 Var Var E E P                 . (14) 证 由(11)式得 2 2 Var Var 1r E E E                , 证得(13)式成立. 证明第二个结论. 由定义 ** **  Err  . 由柯西-许瓦兹 不等式的证明可知, 1|| r 等价于 )(tu = 2***2*2 2  EtEEt  有重根 )2/(2 2*** 0  eEt  = . **E 因此由(12)式得 1r 当且仅当 1)( **   ； 1r 当且仅当 * *( ) 1    . 注 性质 1表明相关系数 1r   时，ξ 与以概率 1存在着线性关系. 另一 个极端是 r = 0，此时我们称 ξ 与不相关(uncorrected). 性质 2 对随机变量 ξ 和 , 下列事实等价： (1) Cov(ξ, )=0; (2) ξ 与不相关; (3) E E E   ; (4)  Var Var Var      . 证 显然(1)与(2)等价. 又由协方差的性质1得(1)与(3)等价. 再由 ')6( 式， 得(1)与(4)等价. 性质 3 若 ξ 与独立，则 ξ 与不相关. 显然, 由 ξ 与 η 独立知(3)成立，从而 ξ 与不相关. 但其逆不真. 例 8 设随机变量 θ 服从均匀分布 U [0, 2 ]，ξ= cos , sin  ,显然 2 2 1   , 故 ξ 与不独立. 但 cos E E  2 0 1 cos d 0 2       , 2 0 1 sin = sin d 0 2 E E         , 2 0 1 cos sin = cos sin d 0 2 E E            , 故  Cov , = 0 E E E      ，即 ξ 与不相关. 注 性质 2不能推广到  3n  个随机变量情形. 事实上从  3n  个随机变量 两两不相关只能推得 1 1 Var( ) Var n n i i i i       ,不能推得 1 1n nE E E     . 反 之，从这两个等式也不能推得 1, , n  两两不相关. 具体例子不列出了. 对于性 质 3, 在正态分布情形，独立与不相关是一致的，这将在下面进行讨论. 例 9 设(ξ, )服从二元正态分布   2 2 1 2, ; , ,N a b r  , 试求  Cov ,  和 r . 解  Cov , ( )( ) ( , )d dx a y b p x y x y          2 2 2 22 1 2 21 2 1 1 ( ) = ( )( ) exp d d 2(1 ) 22 1 x a y b y b x a y b r x y rr                             , 令 1 2 x a y b z r       , 2 y b t    , 则 1 x a z rt     , 1 2 ( , ) ( , ) x y J z t       , 于是  Cov ,  2 2 2 / 2(1 ) 2 / 21 2 2 ( ) d d 2 1 z r tzt rt e e z t r                = 2 / 2 1 2 1 d 2 tt e t       · 2 2/ 2(1 ) 2 1 d 2 1 z rz e z r        + 2 2 22 / 2 / 2(1 )1 2 2 1 d d 2 2 1 t z rr t