高中数学试题的命题方法

| 攀 l 。 I ^|| $ 瓣 l 褥I * ～ 中 数 学 试 题 的 命 题 方 法 刘 明(南京师范大学附属中学) 命题是教师的一项重要的、经常性 的工作．命 制 一 份高质量的数学试题 ，不仅能让教师准确地 了解教 学效果 ，而且还有利于提高学生的数学能力．下 面结 合 自己的实践 ，就“不同题型数学试题 的命题方法”和 “数学新题的编制方法”这两个方面，谈一些想法． 1 不同题型数学试题的命题方法 高中数学 高中数学选修全套教案浅谈高中数学教学策略高中数学解析几何题型高中数学10种解题方法高中数学必修4知识点 试题的基本题型主要有选择题、填空题 和解答题．在命 题时 ，要依据 题型特 点，发 挥其考 查 功能． 1．1 选择题 选择题通常由 1个“题干”和 4个“选项”构成．题 干通常用一个不完整的陈述句或疑问句 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 ，选项则 是 由 1个正确选项和 3个干扰选项组成．选择题 由于 具有答案客观 、内容灵 活、解 法多样 、评卷 快捷等 优 点 ，从 20世纪 8O年代末起 ，在我国得到广泛地应用． 1998年~2001年 ，我国一些数学教育工作者曾就“数 学选择题的利与弊”展开讨论(详见文献[1]～[5])， 这场讨论导致了近年来各省 、市高考试题 中选择题数 量的逐步减少．在编制选择题 时，应注意以下几点ll6]： (1)适 当控制数学选择题 的难度． 选择题一般以考查“课 程标准 ”或 “考试大纲”中 能级要求为“了解”层次的知识点(A级点)为主 ，适当 兼顾“理解”层次的知识点(B级点)的考查．为了使选 择题具有较好的区分度 ，选择题 的难度一般应控制在 0．45～0．90之间 ，以 0．65左右为佳 ，不要 出现过难 (难度在 0．20以下)或过易(难度在 0．95以上 )的选 择题． 、 (2)题 干叙述 简练，不 宜在文字叙 述上设 置“陷 阱”． 有些选 择 题 尽 管 难 度 较 为 适 中，但 区分 度 却 很低． ‘例 1 若把英语单词“error”中字母 的拼写顺序 写错 了，则可能出现的错误种数为( )． A．20 B．19 C．10 D．9 本题在某班测试后统计分析发现 ：难度为 0．65， 区分度为 0．究其原因，部分成绩较好的学生由于解 题速度太快忽略了题 目中“可能出现的错误种数为” 这一句话 中的“错误”两字 ，导致结果错误 ；数学基础 较弱的学生 ，由于解题速度较慢 ，发生审题错误 的几 率较低 ，反而正确率高，从而使得本题的区分度较低． 像这类选择题 ，应该在“错误”两个字 的下方加注着重 号，以引起学生的注意，避免不必要的审题错误． (3)合理编制选项． 一 是在编制选项 时，要注意选项 的合理性 ，预见 学生可能会发生的错误 ，编制 出相应的干扰选项 ，防 止人为地臆造不合 理的选项 ；二是在编制选项时 ，要 注意正确选项和干扰选项之间的相似性 ，以考查学生 对知识掌握的熟练程度；三是随机编排各题的正确 选项． 1．2 填空题 填空题的题干通常是一个较为完整 的陈述句 ，要 求在题 目的空 白处(多置于句尾)填上正确 的答案．填 空题具有易于命题、便于阅卷和区分度较好等优点， 所 以，近年来各省、市高 考试题中填空题 的数量在 逐 步增加．填空题是考查数学知识 、数 学 思想 教师资格思想品德鉴定表下载浅论红楼梦的主题思想员工思想动态调查问卷论语教育思想学生思想教育讲话稿 方法和数 学能力的重要题型，在命题时，应注意以下几点： (1)所填内容是题 目这个 陈述句 的关键词 ，所要 填写的内容应 当清晰、突出，且所填 内容不宜过长．除 个别开放性问题外 ，所填的内容大多是唯一的． (2)文字叙述应当准确 、简练，题干不宜过长． (3)空格不宜过 多，确保题 目表述的完整性与科 学性．一般不超过两个空格 ，最好只留一个空格． (4)每个空格的长度相等，以免产生某种暗示． (5)填空题以中等难度 (0．4～0．7)为主，以考查 B级点为主 ，适 当考查一些“掌握”层次 的知识 点 (C 级点)． 1．3 解答题 解答题是考查学生的数学素养、区分学生数学能 力的最重要的题型 ，这 当中又包含证明题 、应用题、综 合题 (包含多个知识点或多个数学方法的试题)等．解 答题一般 以考查 C级点为主 ，兼顾对 B级点 的考查． 吉百 lS4 哮 ． ．t i 2013年 辣3强 i钮 、 ? 在命题时，应注意以下几点 ： (1)试题要有新意．由于解答题容易拉开得分差 距 ，所以解答题一定要有新意 ，不能将 师生熟悉 的题 原封不动地作为考题 ，否则 ，考试结果会失去信度． (2)叙述准确、简练．相对于选择题和填空题，解 答题所涵盖的知识和方法更加丰富，题 目中文字相对 要多一些．所 以，要认真地遣词造句 ，使得试题叙述准 确 ，不产生歧义 ；同时，还要对试题 的文字加 以锤炼 ， 使得试题在叙述上简练而不拖沓． (3)在解答题 中，通 常要命制 1～2道“压轴题”， 这样的压轴题 ，不仅重视 知识 之间的相互综合 ，而且 重视对学生数学思想方法和思维能力的考查 ，以正确 区分学生的数学能力． (4)重视数学应用．数学 ，究其本质 ，源于社会 实 践 ，又服务于社会实践活动．因此 ，数学应用是数学测 试 中不可或缺的内容．命 题时，要始终重视对学生数 学应用能力 的考查 ，提高其实践能力 ，为他们将来更 好地运用所学的数学知识服务社会打下坚实的基础． 2 新题的编制方法 新题 ，能够有效地 区分 学生的数学能力，发现与 培养学生的创新意识．因此 ，在数学命题时，要有一定 量的新题 ，不能全部照搬照抄现成 的试题 (尤其是考 试的压轴题)，要力争以新面孔 出现．新题主要包含改 编题和原创题两类． 2．1 改编 题 改编题就是以现有的题 目为基础 ，进行适当地改 造，变成一道新题．主要方法有以下几种 ： 2．1．1 变更 结论 法 这种方法就是保持试题的条件不变 ，变更试题的 结论．其方式又有以下几种 ： (】)将结论等价变换． 例 2 利用等比数列的前 项和证 明：n +。一 6 ，"+ l — L + 1 十“”。6。+⋯+b 一 —— 一，其 中 ∈N ，“、b是 不为 0的常数 ，且 n≠6．17] 这是苏教版高中《数学 5》教材上的一道复习题， 可以对结论进行等价变换 ： 变式 1 证 明 ：n 一b =二二(n— b)(n + 口 6 +n 6 +⋯+6 )，其中 ∈N ． (2)将结论特殊化． 例 3 已知两个等差数列 {口 }和{b }的前 ”项和 分别为 A 和 B ，且 一 ，则 一 — — ． 将结论进行特殊化 ，可以改编成 ： 变式 2 已知两个等差数列{＆ }和{b }的前 ”项 和分别为A 和 B ，且 一 ，lJa lo 。= — — ， — gZl — 0 一 bl3 — — 。 (3)将结论一般化． 例 4 设 S 是等 比数列{n }的前 项和 ，S。，S。， S 成等差数列 ，求证 ：n ，“ ，n 成等差数列． 在对结论进行变换时 ，还可以对结论 由特殊推广 到一般，如本例可以推广至一般情形 ： 变式 3 设 S 是等 比数列 ( }的前 n项 和，S。， S9，S。成 等 差 数 列 ，求 证 ：“ ，“ + ，n +。(其 中 ∈N )成等差数列． 2．1．2 变更 条件 法 这种方法就是保持试题的结论不变，变更试题 的 条件 ，其方式又有以下几种： (1)将条件等价转化． 例 5 已知点 P到两定点 F (一3，0)、F：(3，0) 的距离之和为 1O，则点 P的轨迹方程为 ． 将几何语言等价变换为数学符号语言，就有 变式 4 已知 点 P(．27， )的 坐 标 满 足 方 程 ~／( +3) + +~／(x-3)。+ 一10，则点 P的轨迹 方程为 ． (2)将条件特殊化． 把例 4的条件进行特殊化 ，可以得到 变式 5 设 S 是等 比数列 { }的前 项和 ，S ， s S 成等差数列，求证 ： ，“ ，“ 成等差数列． (3)将条件一般化． 把例 4的条件一般化，可以得到 变式 6 设 S 是等比数列{“ }的前 ”项和，S ， S +。，S +。(其 中 ∈N )成等差数列，求证 ：口2，“8，“ 成等差数列． 2．1．3 同时 变更 条件 和结论 法 这种方法就是同时变更试题的条件和结论 ，得到 新的试题． (1)通过类比关系编制新的试题． ～ 2 ． ． 2 例 6 已知点 P是椭 圆 + 一1上的一个动 点 ，点 A(一1，2)，F(2，0)，则当I PA{+2 l PF【取最小 值时点 P的坐标是 ． 可以将其类 比到双 曲线 中，就有 ： ～ 2 ． ． 2 变式 7 若点 P是 双曲线 一 一1右支上的 一 动点 ，点 A(4，3)，F(一4，0)，则 当 l PA I+ I PFj 取最小值时点 P的坐标是 ． (2)将原题的条件和结论 同时一般化或特殊化． 一 一 u| t 氆 | 。“ ％| l ％ - ． ∥ 这种方法是将原来试题 的条件 和结论 同时加以 改造 ，进行特殊化或一般化的变换 ，得到新 的试题．如 对上面的例 4的条件 和结论都推广至一般，就有 变式 8 设 S 是等 比数列 {n )的前 项和 ，S ， S ，S + (忌，z∈N )成 等差数列 ，求证 ：a ，a 3f，a2 成 等差数列． (3)交换原题 中的条件和结论． 这种方法就是交换原题中的条件和结论 ，变为求 解原题的逆命题．当然 ，由于一个命题 与它的逆命题 不一定具有等价关系，所以，在变换条件和结论时，要 考虑到新的命题是否正确，有时需要对条件进行必要 的修改．例如，交换例 4的条件 和结论 ，注意到公 比不 为 l，就可以得到 ： 变式 9 设 S 是公 比不为 1的等 比数列 {a }的 前 项 和，a ，a ，a + (m，z∈N )成等差数列 ，求 证 ：S ，S S。 成等差数列． 2．2 原创题 编制原 创题 ，不仅要求教 师有较 强的数学基本 功 ，而且还需要有一定积累或对某一个(一类)问题有 较深入的研究与思考 ，这样 ，才能够编制出新题．学会 分析已有的试题是编制新题的前提条件 ，首先要能够 从已有的试题中理解命题者的命题思路与方法，然后 再逐步尝试命制新题． 2．2．1 从 已有的问题 出发 ，推陈 出新 例 7 已知直线 Z过原点且与 曲线 f(32)一e 相 切 ，则直线 Z的方程是 ． 分析 ：如图 1，所求的切线 方程 为 —ex．结合图形容易发现 ：对任 意 的 z∈R，都有 f(z)≥ ez成立． 把点 丁(1，e)处曲线的切线方程当 作未知，设为 —e一是( 一1)，即 —kx一忌+e，于是 可以命制 出下面 这道探究性的试题 ： V ’ ，c 图 1 变式 1O 已知函数 厂(z)===e 一kx+愚一e，是否 存在实数 k，使得 厂( )≥0对任意 的 E R都成立? 若 有 ，求 出所 有满 足 条件 的 是的值 ；若 没 有 ，说 明 理 由． 例 8 长为 2日(0为正常数)的线段 AB的两个端 点 A、B分别在互相垂直 的两条 直线 上滑动 ，求线段 AB中点的轨迹．1_8 我们知道，线段 AB中点的轨迹是 以两条互相垂 直的直线的交点为圆心 、n为半径 的圆．由此 ，编制 出 下 面一道试题 ： 变式 11 如 图 2，线段 EF的长度为 1，端点 E、F 在边长不小于 1的正方形 ABCD 的四边上滑动．当 ⋯ 掌 掌 掌 ⋯⋯⋯⋯ ； 2013年第3期 【上甸 ) ⋯ E、F沿 着 正 方形 的 四边滑动一周时 ，EF 的中点 M 所形 成 的 轨迹为 G，若 G 的周 长为 Z，其 围 成 的 面 积 为 S，则 Z—S的 最大值为 ． A D A D 口 团 B F C B C 图 2 图 3 分析 ：如图 3，设正方形边长为 x(x≥1)，则有 Z—S 匕一 [ 一 一 一 (x--2) + ， ≥1，所以l--S的最大值为 ． ‘士 2．2．2 对某一问题做深入思考，编制新题 在编制新题时，有时可以根据所要命制试题 的方 向，对某个问题进行深入思考 ，并借助信息技术来研 究有 关 问题．例 如 ，在 研 究 数 列 问题 时 ，可 以借 助 Excel，把所要研究的数列计算出来 ，从 中提出相关问 题 ；又如 ，在命制函数问题时，可 以借助一些画图软件 画出函数 图形 ，直观地研 究 函数 图象 特征 ，进 而提 出新 的数学 问 题．例如 ，笔者为了命 制一道数列 题 ，以数列 {2 一(一1) )为对象． 首先 ，利用 Excel计算 出这一数列 的前若干项(图 4)，通过观察前若 干项 的特 点 ，猜想 该数 列 的一 般 规律 ，提 出了两个 问题 ；然 后 ，在 提出 问题 的基础 上 ，通过严格 的 逻辑推演 ，论 证所提 问题 的正 确 性与可行 性 ，这样也 就原创 出下 埘65 535 ： 面这道数列题 ： 图4 例 9 已 知 数 列 {a }的 通 项 公 式 为 n 一 2 一 (一 1)”。 EN ． (1)在数列{a )中，是否存在连续 3项成等差数 列?若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，说明 理由． (2)试证在数列 {a )中，一定存在满足条件 1O)， 上 讨论 厂( )的单调性． 4．已知 厂( )=xln z，g(x)一一32 十＆z一3． (I)求函数 ．厂(z)在[f， +2](f>0)上的最小值； (11)对一切 ∈(0，+oo)，2f(x)≥g(z)恒成立， 求实数 cz的取值范围； 1 (Ⅲ)证明：对一切 3L"∈(0，4-。。)，都有 In >÷ 题方法，不仅可以提高自己的数学命题能力，而且能够更 好地培养学生的思维能力，提高课堂教学效率． 以上是笔者在高 中数学试题命题 方面的实践与 思考，需要说明的是 ，其 中有不少方法是笔者多年来 在学习、借鉴他人研 究成果的基础上 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 提炼得 到 的．因时间稍久 ，恐难一一列出参考文献 ，在此 ，向这 些作者表示感谢 ! 参考文献： E1] 杨英，张蕴禄．数学选择题的利与弊EJ]．数学通报，1998 (8)：8-11． E2] 贺贤孝 ，陈君汉．数学选择题评析[J]．数学通报，l999 (10)：40 41． [3] 刘 广智．数学选择题的测试研究[J]．数学通报，1 999 (11)：33 34． [-43 刘明．也谈“数学选择题的利与弊”[J]．数学通报，2000 (5)：35-36． Es] 陈碧芳．数学选择题的利弊有 多大—— 选择题 的优点 与 缺点定量分析[J]．数学通报，2000(5)：17-18． [6] 刘 明．对数 学选 择题 难 度 与区分 度关 系 的研 究及 思考 [J]．中学数学月刊，2003(2)：6 7． [7] 单鳟．普通高中课程标准实验教科书：数学 5[M]．南京： 江苏教 育出版社 ，2007． [8] 单增．普通高 中课程标准实验教科 书：数学选 修 2—1 [M]．南京 ：江苏教育 出版社 ，2008． ‘， ～ 成 立． ex 5．(2012年高考数学湖北卷理科第 2题改编)设 A是单位圆 ．35 + 一1上的任意一点，z是过点 A与 ．27 轴垂直的直线 ，D是直线 Z与 37轴的交点 ，点 M 在直线 l上，且满足 lDMl—m1DAI( >0，且 m≠1)．当点 A 在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线 C．求曲线 C的方 程，判断曲线 C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标． 6．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六 个定义域为 R的函数 ：f ( )一 ，厂。( )一．17 ，／、。( ) 一 z 。 ， ( )一sin 37，f5(o27)=COS ，f6(37)一2． (工)现从盒子中任取两张卡片 ，将卡片上的函数 相加得一个新函数 ，求所得 函数是奇函数的概率 ； (Ⅱ)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出 后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽 取 ，否则继续进行，求抽取次数 的分布列和数学期望． (注 ：本设 计 的训 练题 分 为 A 组 和 B组 ，A 组 以 基础题为主 ，用 于对思想方法的理 解应 用；B组以 中 档题为主，用于对思想方法的综合应用．训练题答案 或解答提 示详 见 中学数 学教 学参 考 网站 http：／／ www．zhongshucan．corn)