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2013年第3期 (上旬 ) \ /
数学
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活动教学的密躜@昆
偶伟 国(江苏省太仓高级 中学)
《义务教育数学课程标准(第二版)》l_1 提出:中国
传统的数学“双基”教学 ,应该发展为“四基”教学 ,即
增加“基本思想”和“基本活动经验”.这一提法对高中
数学教学来说 ,应该也是 同样适用的.如果说 ,基本思
想的教学 已经有了多年的实践 ,那么基本活动经验如
何开展还没有太多的报道.笔者根据 自己的教学实践
和思考 ,提 出以下教学建议.
广义地说,一切的数学观察、数学抽象、数学演
算 、数学证 明、数学解题都是数学思维活动.在这一意
义上 ,数学教学就是数学活动,没有特别提出的必要.
因此 ,这里要讨论的是单独设计 的数学活动.
所谓数学 的基本活动经验 ,史宁中认为 :“基本活
动经验是指学生亲 自或间接经历了活动过程而获得
的经验_2 ’.张奠宙等指 出:“所谓基本数学经验 ,是指
在数学 目标 的指 引下 ,通过对 具体事物 进行实 际操
作 、考察 和思 考,从感 性 向理性 飞跃 时 所形 成 的认
识口],’.也就是说 ,基础教育的数学活动是要通过纯思
维活动 以外 的动作 ,用 数学 的角 度 去解 读 人 们 的
行为.
数学活动课是“研究性学习”或者“探索性”教学
的一种形式.就笔者的实践来看 ,数学 活动教学设计
要关注以下五个要点 :(1)目标要结合教学需要 ,不要
离题太远 ;(2)活动 内容要切实可行 ,节约时 间成本 ;
(3)要有创新思考空间,引起学生的兴趣 ;(4)学生要
有集体活动,不能仅仅是个人独立思考;(5)将数学活
动经验提升为理性认识,具有切实的数学收获.这样
的活动需要精心设计 ,一个大单元一般只能进行一两
次.近年来 ,笔者有意识地设计了几节数学活动课 ,进
行 了教学实践.下面结合案例谈一些具体 的做法.
1 基于加深内容理解的数学活动
传统的数学活动,多半和数学技能联系在_起.
例如,在“解三角形”的教学时用仪器进行测量校园建
筑的活动等.笔者觉得 ,应该更多地设 计一些能对数
学内容加深理解的数学活动.
案例 1 二分法.
用二分法求方程的根,如果就事论事地讲解也未
尝不可.但是要真正理解它的意义和价值 ,设计一些
数学活动 ,并进行抽象概括 ,就显得十分必要.
活动 目标 :通过设计猜价格活动 ,让学生理解“二
分法”的本质.
活动过程 :教师手拿一支钢笔,问哪位学生可 以
在一分钟内猜 出它的价格.教师话音刚落 ,学生都跃
跃欲试.一名学生猜 3O元,教师说高了.“20”“低了”,
学生又接着猜“25”,随即在高了、低 了的一片喊声 中,
慢慢接近了真实价格.一分钟 的计时结束时 ,还没有
猜 中.
这是一个社会行为,我们如何从数学的观点进行
分析呢?教师顺势引导大家分析刚才猜 的过程 中的
得失并探讨改进的措施.热烈的讨论 中注意到 :
(1)钢笔的价格是存在的 ,而且是确定 的,所 以一
定可 以猜 出结果 ;
(2)乱猜 ,是凭经验 的,也许一猜就 中,也许多次
还猜不中.实验过程猜了 5次 ,仍 旧没有猜 中.
(3)能不能避免盲 目性 ,寻找规律 呢?用数学的
眼光分析,就是要设计一种算法,按部就班地将这个
确定的价格找出来.二分法就是其中最简单的一种.
接下来的活动是教师拿出一本笔记本,请学生按
照二分法猜其价格.三次就非常接近
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
了.
趁热 打铁,教 师建议学生 回顾这样猜 价格的方
法,思考其有效的原因何在?大家一致的观点是:
(‘1)应用二分法的前提是价格必须存在某一区间
内,且唯一确定.
(2)二 分 法 是 一种 算 法 ,逐 次 逼 近,误 差越 来
越小.
最后是让学生提问题,教师归纳:
(1)为什么现在专门学习近似求根的二分法?因
为我们处于计算机时代,二分法可 以交给计算机
去做.
(2)有没有比二分法更好的算法?有.例如,华罗
一 I
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庚提倡的 0.618优选法. 到第一次还 款时本息 和为 n(1+r)元 ;还款
(3)答案不是 唯一 的情形 怎么办?这就是运筹
学、优化理论等研究的课题了.
由于时间关系,建议学 生课后探索研究 ,也可通
过上 网搜索了解.
应该说,通过这样的数学活动,使学生对“二分
法”的本质有了更深刻 的认识 ,也为掌握求方程近似
解的内容扫清了思维障碍,而且用时不多.
类似的数 学活动案例 还有“指数爆 炸和对数 缓
增”.指数爆炸在初中可能 已经有所理解 (例如,国王
在棋盘格上赏米的故事 ,一张纸的对折次数与珠穆朗
玛峰高度的比较 ,等等 ).高 中则可 以进行指数爆 炸、
多项式增长、对数 函数缓慢增长 的比较,理解三者与
“事物复杂程度”的关联.学生用计算器进行这样 的活
动,亲身体验函数增长速度的差异,可 以使得印象
深刻.
2 基于数学建模的数学活动
问题解决是由一定 的情境展现引起 的,按照一定
的目标 ,应用各种认知活动 、技能等 ,经过一 系列的思
维操作 ,使问题得 以解决的活动过程.具体来说 ,可 以
是一次数学建模活动.
案例 2 分期付款.
活动 目标 :通过活动 ,理 清分期付款中的一些关
系,得出计算每期付款额的一般方法.
活动过程:提出问题,实例:(苏教版《数学 5》第
52页)某人 2004年初向银行 申请个人住房公积金贷
款 20万元购买住房 ,月利率 3.375‰ ,按复利计算 ,每
月等额还贷一次,并从贷款后的次月初开始还贷.如
果 1O年还清 ,那么每月应还贷多少元?
一 些学生经过研究后 ,提出了如下的解决
方案
气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载
:
设每月应还贷 元,共付款 12×10—120次,则
有 120x=200 000(1+0.003 375) 。.
此方案一出,立即引起了争议 ,一部分学生附和 ,
一 部分提出了质疑.提出质疑的学生认为在这个方案
中,等式右边表示 20万元存 了 1O年后的本利和 ,而
事实上 ,由于每个月都在还 ,因此 只有最后那一期应
付的一笔钱才真正满了 10年.按照上述方案 ,还款人
肯定多还了,那么显然他要吃亏了.
如何去探 寻准确的
实施方案
关于机房搬迁实施方案高中班级自主管理实施方案公交公司安全生产实施方案成立校园管乐队的实施方案中层管理人员竞聘上岗实施方案
呢?
经过探讨 ,有学生建议不妨从一次次的还款情况
人手分析.
为便于研究 ,设贷款金额为 n元 ,月利率为 r,每
月还款数为 3L"元.
元,则剩下的欠款数为 n(1+r)一 元;
到第二次还款时剩余本金及利息为[n(1+r)
一z](1+r)一Ct(1+r) --x(1+r)元 ,再还款 元 ,剩
下欠款数为 n(1+r) --x(1+,-)一 元 ;
到第三次还款时剩余本金及利息为[n(1+r)
一 (1+r)一 ](1+r)一口(1+r)。一 (1+ r)。一z(1
+r)元 ,再次还款 ./7元 ,剩下 的欠 款数为 a(1+r)。
一z(1+r) 一z(1+r)一 元 .
“那么 ,是否要把每一次还款都要列 出呢?”教师
顺势 问道.
学生在研究了三次还款列式后发现 ,每次还款时
总金额的代数式有规律可循 ,由此可直接列出最后一
次还款(即第 120次)时的总金额为 口(1+r) 。一 (1
+r)“。-⋯--37(1+r)元,还 z元之后 ,剩下的欠款数
为 0.于 是有等 式 Ⅱ(1+r) 。一 (1+ r)“。一 (1
+ r) 一 ⋯ 一 z(1+ ,-)一 : 0.
通过这样 的过程性探究 ,学生理解了分期付款的
计算方法,同时对研究这类具有重复性操作的问题有
了很好的解决策略 ,即通过分析前几 次来探 寻一 般
规律.
再把上述 等式变形 为 n(1+r) 。一 (1+r)“。
+ (1+r)¨ +⋯+z(1+r)+32,引导学 生分析等式
两边代数式的实际意义 ,可发现等式左边是本金 &存
了 1O年后的本息和,右边则是把每次还款当作存款,
所谓还清,即是 到最后一次还钱 时两边的本息 和相
等.对于这个规则,教材只是在问题解决之前说 明它
是银行的一个
规定
关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定
,但学生并不理解 为什么要 这样
做.有 了上 述研究 过程 ,学生 就对此 “规定”清 晰明
了 了.
问题拓展 :(1)探讨 :顾客和银行为什么都愿意选
择分期付款?
“顾客可能是一下子拿不 出这么多钱 ,分期付款
解了燃眉之急”(学生甲);“银行肯定有利可图”(学生
乙 ).
银行如何赚钱呢?首先 ,顾客把 n万元存人银行
1O年,月息为 m,由于
O,6>0)之后,教师启发学生:既然~/口6叫做几何平
均数,那么请大家思考,基本不等式有没有几何意义?
于是 ,围绕这一问题 ,学生以学习小组为单位 ,积
极展开了研究.在交流环节 ,学生显得异常活跃 ,教师
要求各组在认真听的基础上,可以就此提问.
一 个小组提 出用“赵爽弦图法”
解释 :
由图 1可知大正方形 的面积为
S一口。+b。,而 四个直角三角形面积
和为 2ab,从而有 口 +b ≥2ab,即 n 图1
+6≥2 _.
其他小组学生提出,能否把图形 中的两条线段 n
和b直接改画成 和 ,这样就直截 了当地证明了基
中学数学教学参考
2013年第3期 (上甸 )
本不等式.但马上有学生提出异议,√ 和 不能随便
画,应该与线段EL和b有关.那么如何画出√ 和√ 呢?
随即学生围绕这一焦点又展开了研究.
通 过一番积极探 索之后 ,
一 个小组提 出 了他们 的构想 :
如图 2所 示 ,顺次 画出两条线
段 AB、BC,长度 分 别 为 n和
1,以线 段 AC 长 为直 径 画半 图2
圆,过点 B作线段 AC的垂线交半 圆于点 D.则根据
射影定理得 BD长度为 .
事实上,这个作图的过程,类似于教材给出的几
何解释(半径大于等于半弦长).
另外两组学生分别给出了构建“梯形上下两底 的
等比中项法”和“斜交切分正方形法”,如 图 3和图 4
所示.
D
F
C
图 3 图 4
由于时间关系,教师启发学生,基本不等式的几
何意义的解释应该不 止这些 ,希望学生课 后继续 探
究 ,从 中发现一些结论.
基于提高思维水平的数学活动,应该借助一个问
题为载体 ,把问题 尽量 开放 ,为学生探究提供更加广
阔的空间.
4 基于数学欣赏的数学活动
《普通高中数学课程标准(实验)》指 出:数学是人
类文化的重要组成部分,高中数学课程应提倡数学的
文化价值.带着欣赏 的眼光去研究数学 ,可 以让学生
体察数学的理性精神、揭示数学的本质、梳理数学思
想 、构作数学的人文意境.
案例 4 古诗词与数学模型.
活动 目的:通过引导学生从数学 的角度去欣赏古
诗词,体会数学的人文意境.
活动过程:诗词 1:王之涣的《登鹳雀楼》:“白日
依山尽 ,黄河人海流.欲穷千里 目,更上一层楼.”
数学角度设问:欲能看到千里远,到底需登几
层楼?
建模:把地球近似地看成球体,已知地球半径 R
一 0lA一6370 km.如图 5,PA 为视线 ,因为与圆相切 ,
故 OA上PA.PA一1000里一500 km.