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一个最大值问题的教学分析

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一个最大值问题的教学分析 攀 键 . . ⋯ 。 g 2013年第1-2期 (1-旬 ) 一 个鼠 魍向题的 鬻 罗增儒(陕西师范大学数学与信息科学学院) 引言:数学解题教学的认识 在文献[1]、[2]中,我们分别对一道高考题和一 道中考题进行过数学解题的教学分析 ,从这些案例中 可以感悟并认识三个相关的问题:什么是数学解题教 学?什么是数学解题 的教学分析?怎样进行数学解 题的教学分析? (1)什么是“数学解题教学”?我们认为,解题教 学是解题活动的教学.这至少有j方面的含义 : ①解题活动是一种...

一个最大值问题的教学分析
攀 键 . . ⋯ 。 g 2013年第1-2期 (1-旬 ) 一 个鼠 魍向 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的 鬻 罗增儒(陕西师范大学数学与信息科学学院) 引言:数学解题教学的认识 在文献[1]、[2]中,我们分别对一道高考题和一 道中考题进行过数学解题的教学分析 ,从这些案例中 可以感悟并认识三个相关的问题:什么是数学解题教 学?什么是数学解题 的教学分析?怎样进行数学解 题的教学分析? (1)什么是“数学解题教学”?我们认为,解题教 学是解题活动的教学.这至少有j方面的含义 : ①解题活动是一种思维活动.思维活动既有过程 又有结果 ,解题答案主要反映思维活动 的结果 ,而获 得答案的实质是探索与发现的过程. ②解题教学不仅要教解题活动的结果(答案),而 且要呈现解题活动的必要过程一 暴露数学解题 的 思维活动.没有过程的结果是现成事实的外在灌输, 没有结果的过程是学习时问的奢侈消费 ,解题教学不 仅要获得答案 ,而且要从获得答案的过程 中学会怎样 解题,学会数学地思维,把过程与结果结合起来. ③暴露数学解题的思维活动有两个关键过程.其 一 是“从没有思路到获得初步思路”的认知过程 (我们 叫做第一过程 的暴露),其二是对初步思路反思的元 认知过程(我们叫做第二过程的暴露),解题教学不仅 要有第一过程的暴露,而且还要有第二过程的暴露. (本文同时兼有第一 、第二过程的暴露) (2)什么是数学解 题的教学分析?我们认 为,就 是从教学的角度分析数学解题,既帮助学生学会解 题 ,又增强教师的解题教学能力.它 的表层 目标是通 过解题学会“数学地思维”,深层 目标是通过数学学会 思维. (3)怎样进行数学解题的教学分析?我们认为 , 主要是分析解题 、编题、答题.首先是 怎样解题 的分 析 ,同时,对于教师和考试 ,还可以有怎样编题和怎样 答题的分析. ①怎样解题的分析.这是数学解题教学分析的基 本T作 ,每道题都 可以做 ,基于“解题教学是解题活动 的教学”的认识 ,重点在暴露数学解题的思维过程(理 解题意 、思路探求 、书写表达 、回顾反思 ).这 当中.难 免会有弯路与曲折 ,因此 ,还应有解题困难 的分析(知 识 凶素 、逻辑因素 、策略因素、心理因素等方面),解题 错 误的分析(错误的内容、错误 的性质和纠正错误 的 办法等).(本文呈现了曲折、成功和失败) ②怎样编题的分析.对于教lJ币而 青,不应只会等 着做别人出的题 ,还应懂得 编题 的科学性要求 、逻辑 性要求 ,熟悉编拟各类题型的基本 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 、能够根据教 材和学生编拟出各个层次的题 目.(推广也是一个编 题途径 ) ③怎样答题 的分析.对于考试题 ,教师应该洞察 考查 目标(考查什么知识 、什 么能力、什么思想、什么 方法等),熟悉考试技术 ,对学生作 出有力而高效的指 导(不是一味的题海战术 ). 下面 ,我们通过一道最新 数学联 赛题的学习 程 ,来体会解题思路的探求分析与解题过程的反思分 析.请先看题 目并进行 自己的独立思考 ,然后批判性 阅读下面的讲解. 例 1 (2012年数 学联赛 A卷第 3题 )设 n ,2 ∈ro,1],则M一~/J — j+~/l — 卜卜~/ j’l 的最大值是 . 1 解题思路的探求 1.1 题意的初步理解 (1)题 目的条件是什么,一共有几个 ,其数学含义 如何. 字面上,题 目有两个条件 : 条件 l: , , ∈[0,1],即给出三个变量 , , 它们都在闭区间[O,1]上取值. 条件2:M一~/厂 +v厂 二 + , 即给出一个数学表达式,它是 个变量、i项之和的 结构 ,含有三个显性特征 :其一 ,每一项都含有根号 ; 其二,每一项都含有绝对值;其三,三项中的字母满足 ( — v)+ (y )+ ( — )=0. 解题教字分析≯ ⋯~~ ⋯ z t。 t一 一⋯⋯⋯ ⋯ ⋯ H⋯⋯⋯ 攀 ⋯ @ (2)题 目的结论是什么,一共有几个,其数学含义 如何. 字面上 ,结论是一个 :求多字母 (三变量)表达式 M 的最大值.“最大值”有两层含义,首先它是 M 的一 个取值,同时它是 M 的所有取值中最大的. (3)题 目的条件与结论有哪些数学联 系,是一种 什么样的结构. 面对三变量表达式 M 的最大值 问题 ,中学的基 本思路是 :将 M 放大为常数 A(用不等式或函数 的单 调性),再验证该常数 A可以取到.具体要做两件 工作 : 其一,证明一个不等式:对一切 ,Y,tzE Eo,1], 都有 =丌+ +、/1i二 ≤A(常数), 这是一个逐次放大并不断消元的过程. 其 二,构 造 一 个 恒 等 式 :存 在 。,Y。, 。 ∈EO,1],使 、/,]_= 二 +、// 二 T+~/ 二 一A. 1.2 思路的初步探求 按照基本思路试做 ,M 的表达式对 z,Y, 的每 一 个都没有单调性 ,而由不等式 n+6≤√2·~/口 +b , ① 可以产生解题的一步进展 M—v厂 丌+~/] +~/]—习 ≤ 二 干 +~/] i 这时,用不等式 l z— l—I(z—Y)+(Y—z)l ≤ I —Yl+ I —zl 虽然还可以再作一步运算, M≤ = +、/厂 可 ≤( +1)、 干同 , 但 没 能 放 大 为 常 数.而 且,形 如 Y— l z— n I +l JC—n。l+⋯+1 —a l的函数,通常是求最小值. 这里的主要障碍是“绝对值”不便于消元运算 ,也 没有发挥出条件 1的作用. 1.3 解 法的初步得出 为了消除“绝对值”的障碍并发挥出条件 1的作 用,可以考虑讨 论法、平方 法等.首选讨论 法,z,Y,z 的大小关系有 6种情况: 0≤z≤ ≤ ≤1,0≤z≤z≤ ≤1, 0≤ ≤ ≤ ≤1,0≤ ≤ ≤ ≤1, 0≤z≤Lz≤ ≤1,0≤ ≤ ≤ ≤1. (1)当 0≤.z≤ ≤ ≤1时,有 (还是上面的“基本 思路试做”) M 一 + + ≤~/2[(y--x)+(z--y)]+~/ —z 一 ( +1)~/ —z ≤ +1. 当且仅 当 Y一-z—z—Y且 一0, 一1,即当 1 —0, 一寺,z一1时,上式等号同时成立,故 M m 一 + 1. 可见 ,思路是通的. (2)当 0≤z≤z≤ ≤1时,有 M — 一 互 一 z z一 芏 ≤~/ — +~/2[(y-z)+(z一.z)] 一 ( +1)~/ —z ≤√2+1. 当且仅 当 Y— —z— 且 z一0,Y一1,即当 lz 1 :0, 一1,z一寺时,上式等号同时成立,故 M m 一 + 1. 可见 ,思路也是通的. 同理,其余 4种情况都是通的,并且极大值相同, “绝对值”的障碍可以解决. 我们把以上分 6种情况讨论 的思路记为解法 1. 由这个解法立即可以得出两个认识 : 第 一,条 件 M 一 、/厂 二丌 + 、/厂 + 除了上述三个显性特征外,还有第四个 特征 :任意交换 z,Y,z时,M 的表达式不变.这可以 做有效增设 ,并使解题产生重大进展. 第二 ,6种情况的讨论是类似的,书写可以节省. 于是 ,思路 的初步打通 ,使我们认识到,题 目还可 以有一个条件(有效增设): 条件 3:由于任意交换 z,Y, 时,M 的表达式不 变 ,所以,不妨作有序化假设 0≤ ≤ ≤ ≤1. 也许 ,高手一拿 到题 目就能抓住 条件 3,而上述 分析表明,普通学生也可以通过解题分析逐步达到高 手的水平. 有了条件 1、条件 2、条件 3,立即可以得 出“ 评分 售楼处物业服务评分营养不良炎症评分法中国大学排行榜100强国家临床重点专科供应商现场质量稽核 标准”的解答.(参见文献I-3-]) 解法 2(评分标准):不妨设 O≤-z≤ ≤ ≤1,则 M 一 + + 为√ —z+√z— ≤~/2[( —z)+(z—Y)]一~/2( 一z), 所以M≤~/2(z—lz)+~/z—z z I!旗8融 嘲 一 ⋯ ~ 解 题教学 分析 一 ( +1) 二 +1. 当且仅 当 —z—z—Y且 一0,z一1,即当 ,/7 1 o,Y一专,z一1时,上式等号同时成立,故 M m 一 + 1. 2 解题过程的反思 对解法 2(评分标准)作反思分析分为两步,首先 是整体分解 ,然后是信息交合. 2.1 整体分解 (1)解题过程的分解. 解法 2的解题过程可以分解为 4步. 第 1步 :作有序化假设 0≤.z≤ ≤ ≤1,将题 目 变为求 M一、, 一z一广 z—Yj_ z—z ② 的最大值.这里,②式与原式是等价的. 第 2步:对②式作第一次部分放大(也是消元 ), ≤~/2[(ymz)+( —Y)]一、//2( —z). ③ 第 3步 :对②式继续作第二次部分放大,使 M 不 大于一个常数√2+1(也是消元 z,z), M≤ ~/2(z一35)+ ~/ 一 一 ( +1)~/z—z≤√2+1. ④ 第 4步:验证两次放大的等号能同时成立 ,即当 1 z一0, 一寺, 一1时,M可以取到最大值√2十1. (2)本质步骤的领悟. 第 1步作有序化假设后 ,去掉了绝对值,有利于 后面的运算.但①式的功能不只是“题 目变形”,新形 式还 提 供 了 更 多 的 信 息.比 如,由 M 一 ~/—s-—x +~/z— +、//z—z可以看出:M是 z的增函数(固定 .z, 时),也可 以认为 M 是 z的减 函数 (固定 Y, 时),利用这一功能 ,立 即可以改写 出新解法 (见解法 3). 第 2步的“部分放大”开始了解题 的实质性进展 (放大并消元 ),还对问题的深层结构有所揭示.为 了 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 的方便,我们记 a一 一 3c,b一 z一 ,c— z— z, 则第 2步(③式)的等式和不等式分别提供了两条新 信息: n。+ 6 一C ∞ ( —z)+ ( — )一 — , &+6≤√2c㈢、// — +~/ —Y≤√2(z— ). 从几何的角度看来 ,这里有一个熟知命题的背景 (参见文献[4]): 例 2 设 f为 Rt△ABC斜边的长 ,&、6为两直角 边的长,则n+6≤√2c. 此例的直观含义可分别见下列各图,图 1中直径 是最大的弦 AD≤AE,图 2中两点间直线 距离 最短 EF≤CE+CF,图 3中平 行线 间垂直距 离最短 AB ≤ CD. F b D n 图 1 图 2 图3 这时,对于例 1中的第 3步只不过是在例 2的基 础上 ,继续求三角形周长 “+b+C的最 大值 (也是继 续消元 z, ,见④式), a+b十c≤( +1)c≤√2+1. 1 第4步的 一0, =÷, 一1告诉我们,例2中当 厶 n=6一 ,c一1即等腰直角三角形时,周长 n+b+c 厶 取最大值√2+1. 因此 ,例 1也就有了一个几何背景: 例 3 设 c∈(0,1]为 Rt△ABC斜边 的长 ,&、b为 两直角边的长 ,则当 日一b时,周长 &+b-+c有最大值 + 1. 由上面 的分析可 以看到 ,只要例 2能够完成,继 续完成例 3就不会有实质性 的困难 ,所 以,第 2步是 本质步骤,它具有本质步骤的两个基本特征: 第一,使解题取得实质性的进展; 第二,更接近问题的深层结构. 2.2 信息交合 (1)解题思路的开拓. 根据上面的分析,抓住新信息和本质步骤 ,可 以 开拓例 1的更多解法. 解法 3:由于任意交换 ,Y, 时 ,M 的表达式不 变 ,所以可作有序化假设 O≤.z≤ ≤z≤1,得 M === — z z— Y _z— z ≤~/ —z+、,/1一 +~/1--x(z放大为1,消元 ) ≤ + F +~/『二 (z缩小为0,消元.z) ≤~/2[ +(1一Y)]+1(放大并消元 ) 一 + 1, 考~ 参一 i=加 ^ 鼹魅教等 糠 ? “ f 一 1, 当j —o, 时,上式等号同时成立,故 l = 1--y~ 一 M m 一 + 1. 以上解法都直接用了不等式 n+6≤√2~/口 +6 , 当然,证明这个不等式的方法也可以用来证 明例 1 (文[5]有这个不等式的 9个视角和一道高考题的 20 种解法).1:ls~n, 解法 4:由于任意交换 z,Y,z时,M 的表达式不 变 ,所以可作有序化假设 O≤z≤ ≤ ≤1,得 M—v~-x+ + 一 √2(z—z)一(~/ 一、// )。+~/ ≤ i + (_y—z— —y时取等号) ≤ +1.(x--0, 一1时取等号) 所以,当z—o, 一寺, 一1时,有M⋯一√2+1. 解法 5:由于任意交换 z,y,z时 ,M 的表达式不 变 ,所以可作有序化假设 0≤z≤ ≤ ≤1,得 M一 +而 +、/ =i. 由(~/ ) +(~/ ) 一(~/ ) ,可设 ~/ — :=:~/z—zcos 0, 而 一,、 sin , 得 M一 (COS +sin +1) ≤COS臼+sin +1(z一0,z一1时取等号) 一#~sin(45。+ )+1 ≤√2+1.( =45。时取等号) 所以,当.z一0, =-5 -,z一1时,有 M⋯ 一√2+1. 解法 6:由于任意交换 ,Y,z时 ,M 的表达式不 变 ,所 以可作有序化假设 0≤ ≤ ≤ ≤1,则 M一 + + 再 . 记a一(1,1), 一( , ),则 l f=:: , l l一 _<1.(当x=O, 一1时取等号) 有 M= + + . 一口· +l f—f f·f f costa, >+f f ≤ 十 ≤ +1, 当{ : >=1’即{ 二 一 亦即 :0,Y一÷, ===1时,有Mlm 一√2+1. ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ~ 掌攀 !量 毒⋯⋯⋯⋯ 2013年第1-2期 (上甸 ) ~ 3 一个合情推理的推广 由上面的讨论可见,例 1的求解有两个关键步 骤:其一是作有序化假设 z≤ ≤ ;其二是用不等式n +6 .因不等式 n+6 可推广 n +口 +⋯+n ≤ 、 F , ⑤ 故例 1也可以个数推广.这应该是一个合乎情理的 想法. (1)推广. 侈0 4 设 z1,z2,⋯,,72 ∈ a,6],n≥ 3,贝0 M 一 、/, 二 +⋯+、// = +、// 二 的最 大值为(~/ 一1+1)~/6~n. 证明:不妨设 口≤z ≤z ≤⋯≤z 一 ≤ ≤6,⑥ 一 方面 M=~/-z2一 l+⋯4-Jx.一z 一1+ /^/z 一z1 ⑦ ≤ ~/ =r 、. (z2一 1)4-(如 一 2)+⋯ + (z 一 _I1) (由⑤) 一(~/ 一14-1) z 一z1 ≤(~/ 一1+1)~/6一a.(当 一n, 一b时取等 号) 另一方面,当 z 等距分布 ,即 z 一 二三 二 ( 1,2,⋯ , ) 时M= 暑 +...+ + t — lj r. 一( _『+1) , 所以当 一 I二 ( 1 ,2,⋯ , ) 上 时 ,M 取最大值( _『+1) F . (2)反思. 回顾上面的推广过程,只要⑥成立,下来将⑦式 放大为 ( _『+1) F ,以及 验证取 到 ( 可 +1)(6一口)都推理有据、计算准确;而取 一3时也能 回到例 1.但这求出的仅仅是⑦式的最大值,还不能 说是原式的最大值.因为⑥式是否真的“不妨设”缺少 依据 ,⑥式与⑦式的等价性没有证明.比如(反例 ),当 为偶数,且 z1一 3一⋯一lz 1一a,z2:x4一⋯一x 一 b时,M ==:~/1 + ⋯ + = +~/I z +。一z l— Ea),这 比 (~/n一1+ 1) ~/6一n大,所以例 4是假命题.(n为偶数不成立) 原因在于,n=3时例 1的表达式是全对称的,6种 (下转第77页) 。i解题教亨 析l — i ll 一 一 1+47). 接下来不难完成. j瑚 理 { 砌 ; ⋯~⋯。⋯ ⋯⋯l中孝攀 熬 煮⋯⋯⋯ 2013年第1-2期 (上甸 ) 令 f (m)>0,则一4(m一4)( 一1一√7)(m一1 +47)>o, 因为一2√3< <2√3且 m≠0,故得~2√3< < 1一 . 所以 f( )在(一2 ,1一 )内单调递增,在 (1一 ,2 )内单调递减. 所以当m一1一√7时,-厂(m)取最大值,此时直线 z 0 的方程为 一一昔 +1一√7. 厶 解题的 目的是为 了理解概念 、熟悉知识 、掌握方 法 、领会思想、发展思维 、学会思考 ,并 提高分析 问题 和解决问题的能力.教师要教会学生面对一个新的问 题,该怎样一步一步地分析,该怎样去转化,等等.但 是,分析得好不等于就已经做出来了,要完成解题的 过程还有很长的路要走.在解题过程 中还可能 出现新 问题 ,教师再适时介入,帮助学生克服解题过程 中出 、 、 、 、 、 、 、 、 现的困难,与学生一道走 向终点.引导学生每次解题 时,第一步:先审题,而后向自己发问(反复读题,文字 多的问题可先读结论),让我求什么?条件是什么? 够用吗?把书合上,还能把它们口述出来吗?试着结 合条件画出一个示意图,此问题属于哪方面的数学知 识,是函数问题、解三角形问题、数列问题、立体几何 问题、解析几何问题?第二步:找到条件与结论的联 系(桥梁),找到关键词,如取值范围等,联想相关定 理、公式、概念;结合结论,联想相似的问题并利用之; 试着用不同的方法重新叙述它(找出此问题的等价命 题),能否把条件或结论特殊化?解题 时是否把所有 条件都用全?是否还有隐含条件 没用上?选择所用 知识(如求线段长可用三角函数,可用距离公式、余弦 定理);第三步:具体求解过程,检验每一步运算是否 合理、正确;解不下去时,问自己:我还能往下再算一 步吗?第四步,解题后反思,总结. “不愤不启 ,不悱不发 ,举一隅不以三隅反 ,则不 复也”.长此下去,随时训练,让学生的解题思 维习惯 成为一种 自觉行动. (上接第 73页) 排列下推出的极大值相同,可以“不妨设”出大小顺 序;而 n>3时例 4的表达式仅是轮转对称的,z ,z , ⋯ , 有 !种可能的排列 ,⑥式只是其中的一种 ,其 不同的排列下推出的最大值是不同的,因而不能“不 妨设”⑥式的大小顺序(不等价).比如,z ,.z。, 。,,27 , Lz ∈[0.1], M一 + ~/1 + 十~/1 习 +~/1 = T 若 l≤322≤ 3≤324≤ 5,有 M一、 = +、 i=五十、 i二 + 二 + 、 = 4~/( 一 )+ 一勘)+ 一面)+ 一五) 七 、 二 ≤3~/ s—zl≤3. 当 一0,z。一丢, 。一丢,z 一导,z。一 时,有 M m 一 3. 若 1≤z3≤z4≤z5≤ 2,有 M一~/ +、// +、// + i + 、 ≤ ~/ _== + + = + + ≤ 七 七 骊 七 + 七 + /-=拉 +3, 当丑一z。一0, 一面一1,X4一去时,有M ; +3. 显然√2+3比3大.( 为奇数也不成立) 总结上述推广的知识性错误和心理性错误,经过 一4,n一5的穷举探究,我们将例 1的个数推广叙 述为 例5 证明或否定:对 ,z ,⋯,z ∈[Ⅱ,6],n ≥3,M = ~/1_= 二 T + ⋯ + 、// 二 _广 +、/厂 =_二 的最大值为『n‘+ (2 一 ] — — 一 √2)l~/6一n. J 参考文献 : Eli 罗增儒.2012年高考数学陕西卷第 21题的教学分析 [J].中学数学教学参考 :上旬 ,2012(9):4-7,2012(10): 10—12. [2] 罗增儒.一道 2010年中考题的教学分析[J].中学教研 (数 学),2011(4):38—39. F3] 刘康宁.2012年 高中数学 高中数学选修全套教案浅谈高中数学教学策略高中数学解析几何题型高中数学10种解题方法高中数学必修4知识点 联赛第一试试题(A)卷解答集 锦[J].中学数学教学参考:上旬 ,2012(11):57—60. [4] 罗增儒.解题差异论FJ].中学数学教学参考:中旬,2009 (12):2-6. [5] 罗增儒.二维柯西不等式的多角度理解[J].中学数学研 究(广州 ),2009(5):9-14.
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分类:高中数学
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