Matlab解线性方程组

MatLab 解线性方程组一文通！ -------------------作者：liguoy（2005-2-3） 写在阅读本文前的引子。 一：读者对线性代数与 Matlab 要有基本的了解； 二：文中的通用 exp.m 文件，你须把具体的 A和 b 代进去。 一：基本概念 1． N 级行列式 A：|A|等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的积的代数和。 2． 矩阵 B：矩阵的概念是很直观的，可以说是一张 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 。 3． 线性无关：一向量组(a 1,a 2 ,…. an )不线性相关，即没有不全为零的数 k1,k2 ,……kn 使得：k1* a 1+k2* a 2 +…..+kn*an=0 4. 秩：向量组的极在线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。 5．矩阵 B 的秩：行秩，指矩阵的行向量组的秩；列秩类似。记：R(B) 6．一般线性方程组是指形式： ……（1）       snsnss nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa *.......** .................................................... *......** *.......** 2211 22222121 11212111 其中 x1,x2,…….xn 为 n 个未知数，s为方程个数。记：A*X=b 7． 性方程组的增广矩阵： A =            ssnss n n baaa baaa baaa ,,......, ............................ ,,....., ,...., 21 222221 111211 8. A*X=0 …. （2） 二：基本理论 三种基本变换：1，用一非零的数乘某一方程；2，把一个方程的倍数加到另一个方程； 3 互换两个方程的位置。以上称初等变换。 消元法（理论上分析解的情况，一切矩阵计算的基础） 首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式”0=0”（如果出现的 话）去掉，1：如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零数，那么方程组无解； 否则有解，在有解的情况下，2：如果阶梯形方程组中方程的个数 r 等于未知量的个数，那 么方程组有唯一的解，3：如果阶梯形方程组中方程的个数 r 小于是未知量的个数，那么方 程组就有无穷个解。 用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形 矩阵。化成阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形下，回到阶梯形方程 组去解。 定理 1：线性方程组有解的充要条件为：R（A）=R（ ）  A 线性方程组解的结构： 1：对齐次线性方程组，a: 两个解的和还是方程组的解；b: 一个解的倍数还是方程组 的解。定义：齐次线性方程组的一组解 u1,u2,….ui 称为齐次线性方程组的一个基础解系， 如果：齐次线性方程组的任一解都能表成 u1,u2,….ui 的线性组合，且 u1,u2,….ui 线性无 关。 2：对非齐次线性方程组 （I） 方程组（1） 的两个解的差是（2）的解。 （II） 方程组（1） 的一个解与（2）的一个解之和还是（1）的解。 定理 2 如果 r0 是方程组（1）的一个特解，那么方程组（1）的任一个解 r 都可以表成： r=ro+v…….(3) 其中 v 是（2）的一个解，因此，对方程（1）的任一特解 ro,当 v 取遍它的全部解时，(3) 就 给出了（1）的全部解。 三：基本思路 线性方程的求解分为两类：一类是方程组求唯一解或求特解;一类是方程组求无穷解即 通解。 I） 判断方程组解的情况。1：当 R（A）=R（ ）时 有解（R（A）=R（ ）>=n 唯一解， R（A）=R（ ）〈n,有无穷解〉；2：当 R（A）+1=R（ ）时无解。  A  A  A  A II） 求特解； III） 求通解(无穷解), 线性方程组的无穷解 = 对应齐次方程组的通解+非齐次方程组的 一个特解； 注：以上针对非齐次线性方程组，对齐次线性方程组，主要是用到 I)、III)步！ 四：基本方法 基本思路将在解题的过程中得到体现。 1．（求线性方程组的唯一解或特解），这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶 稠密矩阵 —— 直接法；一类是解大型稀疏矩阵 —— 迭代法。 1．1 利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解） 方程：AX=b，解法：X=A\b，(注意此处’\’不是’/’) 例 1-1 求方程组 的解。         1x5x 0x6x5x 0x6x5x 0x6x5x 1x6x5 54 543 432 321 21 解: A = ; = ；b=(1,0,0,0,1)’           5,1,0,0,0 6,5,1,0,0 0,6,5,1,0 0,0,6,5,1 0,0,0,6,5  A           1,5,1,0,0,0 0,6,5,1,0,0 0,0,6,5,1,0 0,0,0,6,5,1 1,0,0,0,6,5 由于>>rank(A)=5,rank( )=5 %求秩，此为 R（A）=R（ ）>=n 的情形，  A  A 有唯一解。 >>X= A\b %求解 X =(2.2662, -1.7218, 1.0571,-0.5940, 0.3188)’ 或用函数 rref 求解，>>sv=rref(A:b);所得 sv 的最后一列即为所要求的解。 1．2 利用矩阵的 LU、QR 和 cholesky 分解求方程组的解 ，这三种分解，在求解大型方 程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。 I) LU 分解又称 Gauss 消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行 交换）和上三角矩阵的乘积。即 A=LU，L 为下三角阵，U 为上三角阵。 则：A*X=b 变成 L*U*X=b 所以 X=U\(L\b) 这样可以大大提高运算速度。命令 [L，U]=lu (A) 在 matlab 中可以编如下通用 m 文件： 在 Matlab 中建立 M 文件如下 % exp1.m A;b; [L，U]=lu (A); X=U\(L\b) II）Cholesky 分解 若 A 为对称正定矩阵，则 Cholesky 分解可将矩阵 A 分解成上三角矩阵和其转置的乘积， 即： 其中 R 为上三角阵。 RRA  方程 A*X=b 变成 bX*RR  所以 )b\R(\RX  在 Matlab 中建立 M 文件如下 % exp2.m A;b; [R’，R]=chol(A); X=R\(R’\b) III）QR 分解 对于任何长方矩阵 A，都可以进行 QR 分解，其中 Q 为正交矩阵，R 为上三角矩阵的初等 变换形式，即：A=QR 方程 A*X=b 变形成 QRX=b 所以 X=R\(Q\b) 上例中 [Q, R]=qr(A) X=R\(Q\B) 在 Matlab 中建立 M 文件如下 % exp3.m A;b; [Q，R]=qr(A); X=R\(Q\b) 2．求线性齐次方程组的通解(A*X=0) 在 Matlab 中，函数 null 用来求解零空间，即满足 A·X=0 的解空间，实际上是求出解 空间的一组基（基础解系）。 在 Matlab 中建立 M 文件如下 % exp4.m format rat %指定有理式格式输出 A;b=0; r=rank(A); bs=null(A，‘r’); %一组基含(n-r)个列向量 % k 1,k ,……,k 2 )( rn  % X= k 1*bs(:,1)+ k *bs(:,2)+……+ k2 )( rn  *bs(:,n-r) 方程组的通解 pretty(X) %让通解表达式更加精美 3 求非齐次线性方程组的通解（A*X=b） 非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。 因此，步骤为： 第一步：判断 AX=b 是否有解，(利用基本思路的第一条) 若有解则进行第二步 第二步：求 AX=b 的一个特解 第三步：求 AX=0 的通解 第四步：AX=b 的通解为： AX=0 的通解加上 AX=b 的一个特解。 在 Matlab 中建立 M 文件如下 % exp4.m clear all A;b; %输入矩阵 A,b [m,n]=size(A); R=rank(A); B=[A b]; Rr=rank(B); format rat if R==Rr&R==n % n 为未知数的个数，判断是否有唯一解 x=A\b; elseif R==Rr&R>,北京大学数学系编，1978 2．〈〈Matlab6.0 数学 手册 华为质量管理手册 下载焊接手册下载团建手册下载团建手册下载ld手册下载 〉〉, 蒲俊、吉家锋、伊良忠编著，2002