函数展开成傅里叶级数

null第七节 傅里叶级数第七节 傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数或余弦级数 一、三角级数,三角函数系的正交性一.三角级数 三角函数系的正交性一.三角级数 三角函数系的正交性在高等数学学习当中，接触两类基函数： 函数在一点的性质 周期函数(整体性质) Fourier级数 三角级数 表达周期函数null谐波分析称为三角级数.简单的周期运动 :复杂的周期运动 :得级数(一)三角级数 表达周期函数null1757年,法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时,大胆地采用了三角级数表示函数:1759年,拉格朗日在对声学的研究中使用了三角级数.1777年,欧拉在天文学的研究中,用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角函数时的系数.也就是现今教科书中傅立叶级数的系数.null 在历史上,三角级数的出现和发展与求解微分方程 1753年.丹贝努利首先提出将弦振动方程的解表示为是分不开的.三角级数的形式,这为傅立叶级数题奠定了物理基础,促进了它的发展. 1822年,傅立叶在 «热的解析理论» 一书中对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的,特殊的情形采用的三角级数方法进行加工处理,发展成一般理论.傅立叶指出:可以展开成级数null其中~null证:同理可证 :正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在机动 MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1713912981669_1 上页 下页 返回 结束 (二)、三角函数系的正交性null上的积分不等于 0 .且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数问题:2. 展开的条件是什么?且能展开成三角级数null(利用正交性)null(利用正交性)null傅里叶系数null代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数问题:在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数?狄利克雷于1829年第一次对于傅立叶级数的收敛性给出了严格的证明.得到了现今教科书中的所谓狄利克雷判定准则.定理(收敛定理, 展开定理)定理(收敛定理, 展开定理)设 f (x) 是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 x 为间断点其中( 证明略 )为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点注意: 函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.简介 目录 上页 下页 返回 结束 null则有则有有既例1. 例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为解: 先求傅里叶系数将 f (x) 展成傅里叶级数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 null机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:说明:1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于2) 傅氏级数的部分和逼近f (x) 的情况见右图.机动 目录 上页 下页 返回 结束 不同频率正弦波逐个叠加成方波物理意义nullnullnullnullnullnull傅里叶级数展开式的意义——函数的整体逼近.null解所给函数满足狄利克雷充分条件.例2nullnull非周期函数展开成傅里叶级数非周期函数展开成傅里叶级数并且满足收敛定理的条件，可利用周期的延拓展开成傅里叶级数，定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法定义在[– ,]上的函数 f (x)的傅氏级数展开法周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数其它机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 将函数例3. 将函数级数 .则解: 将 f (x)延拓成以 展成傅里叶2为周期的函数 F(x) , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 null机动 目录 上页 下页 返回 结束 null物理意义不同频率余弦波逐个叠加成锯齿波null利用此傅氏展开式求几个特殊的级数的和null例4. 将函数例4. 将函数展成傅里叶级数, 其中E 为正常数 .解:延拓成以2为周期 的函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 null机动 目录 上页 下页 返回 结束 null例5解 三、正弦级数或余弦级数 1.奇函数与偶函数的傅里叶级数 三、正弦级数或余弦级数 1.奇函数与偶函数的傅里叶级数null证奇函数同理可证(2)．偶函数证毕null定义null解所给函数满足狄利克雷充分条件.例１null和函数图象nullnull观察两函数图形2. 在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数2. 在[0,]上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓 F (x) f (x) 在 [0 ,  ] 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数 f (x) 在 [0 ,  ]上展成机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 将函数例1. 将函数分别展成正弦级数与余弦级数 . 解: 先求正弦级数.去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,机动 目录 上页 下页 返回 结束 null注意:在端点 x = 0,  , 级数的和为0 ,与给定函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . null再求余弦级数.再求余弦级数.将则有作,偶周期延拓 机动 目录 上页 下页 返回 结束 null说明: 令 x = 0 可得即机动 目录 上页 下页 返回 结束 null内容小结内容小结1. 周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理 其中注意: 若为间断点,则级数收敛于机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3. 在 [ 0 ,  ] 上函数的傅里叶展开法 作奇周期延拓 ,展开为正弦级数 作偶周期延拓 ,展开为余弦级数1. 在 [ 0 ,  ] 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 傅里叶 (1768 – 1830)傅里叶 (1768 – 1830)法国数学家. 他的著作《热的解析 理论》(1822) 是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分, 他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具. 以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献, 他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响. 狄利克雷 (18 05 – 1859)狄利克雷 (18 05 – 1859)德国数学家. 对数论, 数学分析和数学物理有突出的贡献, 是解析数论 他是最早提倡严格化方法的数学家.函数 f (x) 的傅里叶级数收敛的第一个充分条件; 了改变绝对收敛级数中项的顺序不影响级数的和, 举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.他的主要的创始人之一, 并 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 都收在《狄利克雷论文集 (1889一1897)中. 1829年他得到了给定证明